Archivo de la etiqueta: Cálculo

Resolución de Ecuaciones de Euler: Ejemplos Prácticos y Método de Examen

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Introducción a los casos de Euler

Vamos a trabajar con 2 casos de Euler:

  • Uno fácil para entender la mecánica.
  • Otro de examen.

Ambos están explicados de forma concisa y directa.

La base teórica es la siguiente: una ecuación de Euler homogénea tiene la forma:

[x^2y»+axy’+by=0]

Su solución real se obtiene mediante la ecuación indicial:

[m^2+(a-1)m+b=0]

  • Si las raíces son distintas, la solución es: (c_1x^{m_1}+c_2x^{m_2}).
  • Si la raíz es doble, la solución es: (c_1x^m+c_2x^m\log x).

Además, el cambio Seguir leyendo “Resolución de Ecuaciones de Euler: Ejemplos Prácticos y Método de Examen” »

Formulario Esencial de Cálculo y Funciones: Conceptos y Procedimientos

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Identidades Algebraicas y Tasa de Variación

  • (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
  • (a + b) · (a – b) = a2 – b2
  • TVM (Tasa de Variación Media): TVM = [f(b) – f(a)] / (b – a)

Recta Tangente

La ecuación es: y = f(x0) + f´(x0) · (x – x0)

Funciones, Derivadas y Asíntotas: Conceptos y Propiedades

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Conceptos Fundamentales de Funciones

Definiciones Clave

Funciones (f:D–>C / X–>y=f(x)): Para todo x ∈ D, ∃! y ∈ C ⊂ ℝ tal que y=f(x).

  • Dominio (D): Conjunto sobre el cual está definida la función: f:D⊂ℝ–> C⊂ℝ.
  • Imagen (f(D)): Subconjunto de números reales denotado f(D), formado por todos los números reales que son imágenes por f de los elementos del dominio D. f: D⊂ℝ–>ℝ, f(D)={y ∈ ℝ / ∃ x ∈ D tal que y = f(x)}.
  • Gráfica: f: D⊂ℝ–>ℝ, (x, Seguir leyendo “Funciones, Derivadas y Asíntotas: Conceptos y Propiedades” »

Propiedades y Teoremas Clave del Cálculo: Una Exploración Exhaustiva

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3.Prop del argumento de un complejo:


sean z, w de C con z y w /=0.Alph argumento de z; beta argumento de w, entonces:1) al+be argumento z*w.2)-al argumento de z conjugado y de 1/z.3)al-be argumento de z/w.

Demostración: 1)

si al es argumento de z, entonces z/|z|=cos(al)+isen(al). Si be es argumento de w, entonces w/|w|= cos(be)+ isen(be). Por tanto, (zw)/|zw|= zw/|z||w|= z/|z|*w/|w|= (cosal+ isenal)(cosbe+ isenbe)= (cosalcosbe-senalsenbe+ i(cosalsenbe+ senalconbe)= cos(al+be) +isen(al+be). Luego Seguir leyendo “Propiedades y Teoremas Clave del Cálculo: Una Exploración Exhaustiva” »

Conceptos Fundamentales de Cálculo: Sucesiones, Series, Topología e Integración

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Sucesiones de Números Reales

Una sucesión de vectores o números reales {xn} tiene límite l, o lim xn = l, si para todo Ɛ > 0 existe un n0 ∈ N tal que si n ≥ n0, entonces || xn – l || < Ɛ.

También se define:

  • lim xn = +∞ si para todo k > 0 existe un n0 ∈ N tal que si n ≥ n0, entonces xn > k.
  • lim xn = -∞ si para todo k > 0 existe un n0 ∈ N tal que si n ≥ n0, entonces xn < k.

Una sucesión converge si su límite es un número real. Diverge si lim xn = +∞ o lim Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Cálculo: Sucesiones, Series, Topología e Integración” »

Estudio de Continuidad y Derivabilidad de Funciones: Casos Prácticos

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Estudio de la Continuidad y Derivabilidad de las Siguientes Funciones

Caso a)

En primer lugar, estudiamos la continuidad en x = 0.

función

continuidad

La función es continua, por lo tanto, podemos estudiar la derivabilidad.

función

función

No es derivable en x = 0.

Caso b)

función

En primer lugar, estudiamos la continuidad en x = 0.

continuidad

La función no es continua, por lo tanto, tampoco es derivable.

Caso c)

Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

cálculo de derivadas

cálculo de derivadas

La función es continua en toda R .

cálculo de derivadas

f’(−2) Seguir leyendo “Estudio de Continuidad y Derivabilidad de Funciones: Casos Prácticos” »

Conceptos Fundamentales de Cálculo y Álgebra: Ejercicios Resueltos

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Conceptos Fundamentales de Cálculo y Álgebra: Ejercicios Resueltos

1. Fórmula para Calcular la Distancia entre Dos Puntos Relacionada con el Producto Escalar de Dos Vectores

El módulo de un vector corresponde con la longitud de dicho vector (AB) y, por lo tanto, con la distancia entre el punto A y el punto B. Por lo tanto, |AB| = √(AB * AB)

2. Definición de Límite de una Función en un Punto, Continuidad de una Función en un Punto y Continuidad de una Función en un Intervalo. Ejemplos de Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Cálculo y Álgebra: Ejercicios Resueltos” »

Conceptos y Propiedades Matemáticas: Álgebra y Cálculo

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Propiedades de un Cuerpo

Las propiedades de un cuerpo se dividen en dos operaciones: suma y producto.

Suma

Para todo x, y, z que pertenecen a los números reales (x, y, z ∈ ℝ):

  • Asociatividad: (x + y) + z = x + (y + z)
  • Conmutatividad: x + y = y + x
  • Elemento neutro: Existe un único 0 ∈ ℝ tal que x + 0 = 0 + x = x
  • Simetría: Para cada x ∈ ℝ, existe un (-x) ∈ ℝ tal que x + (-x) = (-x) + x = 0

Producto

Para todo x, y, z que pertenecen a los números reales (x, y, z ∈ ℝ):

Conceptos Básicos de Cálculo: Derivadas, Integrales y Área Bajo la Curva

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Derivadas

Definiciones:

  • a, b, k = constantes
  • u, v = variables
  • K = exponente
  • ‘ = derivada
  • U = función

Fórmulas de derivadas:

  • f(x) = k = f'(x) = 0
  • f(x) = x = f'(x) = 1
  • f(x) = uK = f'(x) = K(uK-1) • (U’)
  • f(x) = √u = f'(x) = u’ / 2√u
  • f(x) = K√U = f'(x) = U’ / Kk√Uk-1

Integrales

Fórmulas de integrales:

  • ∫Kdx = kx + c
  • ∫xndx = xn+1 / (n+1) + c

Ejemplos de integrales:

Teoremas Fundamentales del Cálculo: Demostraciones y Aplicaciones

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Teorema de Rolle

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b). Además, la función toma valores iguales en los extremos del intervalo, es decir, f(a) = f(b). Entonces, existirá un punto «c» interior al intervalo tal que f'(c) = 0.