Sistemas de Ecuaciones Lineales

Empieza escribiendo la matriz ampliada y calcula el determinante de la matriz de coeficientes. Si el determinante es distinto de 0, ya sabes que el sistema es compatible determinado (SCD) y solo queda resolverlo por Gauss.

Si el determinante vale 0, no significa que no tenga solución. Debes aplicar el método de Gauss para calcular el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada (teorema de Rouché-Frobenius).

• Si rg(A) = rg(A|B) = n.º de incógnitas, el sistema es SCD.
• Si rg(A) = rg(A|B) < n.º de incógnitas, el sistema es SCI (infinitas soluciones).
• Si rg(A) ≠ rg(A|B), el sistema es SI (incompatible, sin solución).

Si el ejercicio pide clasificar según un parámetro, primero calcula los valores que hacen det(A)=0. Esos son los únicos casos especiales. Para el resto de valores, el sistema será SCD. Después, sustituye cada valor especial y vuelve a aplicar Gauss para ver qué ocurre.

Resolución:

• En un SCD, termina Gauss y despeja las incógnitas.
• En un SCI, deja como libres las variables que no tengan pivote. El número de parámetros es n.º de incógnitas − rango.

Trucos para Sistemas

• Empieza siempre por el determinante. Si no es 0, te ahorras casi toda la clasificación.
• Los únicos valores que hay que estudiar son los que hacen det(A)=0.
• Si aparece una fila del tipo 0 0 0 | 1, el sistema es SI directamente.
• Si aparece una fila 0 0 0 | 0, no significa automáticamente infinitas soluciones; aún hay que mirar los rangos.
• En la resolución por Gauss, intenta hacer ceros usando filas sencillas para evitar fracciones hasta el final.
• En un examen, clasifica primero y resuelve después. Si resuelves sin clasificar, puedes perder puntos aunque el resultado sea correcto.

Optimización y Conjuntos

Empieza dibujando el conjunto. Lo primero es representar cada restricción por separado (rectas, circunferencias, parábolas, etc.) y después quedarse únicamente con la zona que cumple todas las desigualdades. Dibuja también la frontera (las curvas donde la desigualdad es una igualdad) y marca el interior.

Clasificación del conjunto:

• Abierto: no contiene la frontera (desigualdades estrictas <, >).
• Cerrado: contiene toda la frontera (≤, ≥).
• Acotado: cabe dentro de una circunferencia de radio finito (no se va al infinito).
• Compacto: cerrado + acotado.
• Convexo: para cualquier dos puntos del conjunto, el segmento que los une permanece dentro del conjunto.

Teorema de Weierstrass

Enunciado: Si una función es continua sobre un conjunto compacto, entonces alcanza un máximo global y un mínimo global.

Pasos para aplicar:

1. Comprueba que la función es continua (polinomios, exponenciales, raíces bien definidas suelen ser continuas).
2. Comprueba que el conjunto es compacto (cerrado y acotado).

Si ambas condiciones se cumplen → Sí se puede aplicar Weierstrass y existen máximo y mínimo globales.

Si el conjunto no es compacto → No se puede aplicar. Ojo: eso no significa que no existan extremos, solo que el teorema no los garantiza.

Curvas de nivel

Iguala la función a una constante: f(x,y) = k. Representa qué tipo de curva aparece e indica la dirección en la que aumenta la función:

• Si es una función lineal ax + by, aumenta en la dirección del vector (a,b).
• Si es una distancia como √(x²+y²), aumenta al alejarse del origen.
• Si es una exponencial e^g(x,y), aumenta donde aumenta g(x,y).

Máximos y mínimos globales

No hace falta derivar. Usa las curvas de nivel:

• Desplaza las curvas de nivel en la dirección de crecimiento.
• El último punto que toca el conjunto es el máximo global.
• El primer punto que toca el conjunto es el mínimo global.

Teorema de la Función Implícita

Empieza escribiendo el sistema como F₁(x,y,z)=0 y F₂(x,y,z)=0. Calcula la matriz Jacobiana respecto a las variables dependientes (y y z), sustituye el punto dado y calcula su determinante. Si es distinto de 0, existen dos funciones diferenciables y(x) y z(x) en un entorno del punto.

Para calcular y'(x) y z'(x), deriva las dos ecuaciones respecto a x utilizando la regla de la cadena y la regla del producto. Obtendrás un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (y’ y z’).

Si piden y»(x) y z»(x), vuelve a derivar las ecuaciones obtenidas. Sustituye el punto y los valores de y’ y z’ calculados antes.

Formas Cuadráticas

Escribe la matriz asociada. Los términos al cuadrado (x², y², z²) van en la diagonal. Los términos mezclados (xy, xz, yz) se reparten entre dos posiciones, por lo que debes dividir su coeficiente entre 2.

Calcula los menores principales (D₁, D₂, D₃) y aplica el criterio de Sylvester:

• (+,+,+) → Definida positiva.
• (-,+,-) → Definida negativa.
• Cualquier otro caso → Indefinida (salvo que el determinante sea 0).

Multiplicadores de Lagrange

Escribe la función objetivo f y la restricción g=0. Construye la Lagrangiana: L = f – λg.

1. Calcula las derivadas parciales respecto a todas las variables y respecto a λ.
2. Resuelve el sistema para obtener los puntos candidatos.
3. Calcula la matriz Hessiana de la función objetivo y aplica las condiciones de segundo orden.
4. Compara el valor de f en los puntos candidatos para hallar los extremos globales.