Archivo de la etiqueta: álgebra lineal

Resolución de Sistemas Lineales, Optimización y Cálculo Diferencial

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

Empieza escribiendo la matriz ampliada y calcula el determinante de la matriz de coeficientes. Si el determinante es distinto de 0, ya sabes que el sistema es compatible determinado (SCD) y solo queda resolverlo por Gauss.

Si el determinante vale 0, no significa que no tenga solución. Debes aplicar el método de Gauss para calcular el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada (teorema de Rouché-Frobenius).

Álgebra Lineal Esencial: Fundamentos de Matrices, Vectores y Sistemas

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Álgebra Lineal Esencial: Fundamentos de Matrices y Vectores

Producto de Matrices: Propiedades Esenciales

  • Asociativa: (A · B) · C = A · (B · C)
  • Distributiva:
    • A · (B + C) = A · B + A · C
    • (B + C) · A = B · A + C · A
  • No Conmutativa: En general, A · B ≠ B · A

Transposición de una Matriz: Propiedades Clave

  1. (A + B)t = At + Bt
  2. (At)t = A
  3. (k · B)t = k · Bt (donde k es un escalar)
  4. (A · B)t = Bt · At

Matriz Inversa (A-1)

La matriz inversa A-1 de una matriz A cumple que A · A-1 = A-1 · A = I, donde Seguir leyendo “Álgebra Lineal Esencial: Fundamentos de Matrices, Vectores y Sistemas” »

Conceptos Clave Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

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Espacios Vectoriales

1. Definición de subespacio vectorial de ℝⁿ

Indica cuándo un subconjunto no vacío de ℝⁿ es un subespacio vectorial de ℝⁿ.

Sea V (o ℝⁿ) un espacio vectorial, y sea W un subconjunto de V no vacío (W ⊂ V, W ≠ ∅).

Decimos que W es un subespacio vectorial de V si (W, +, ∗) tiene estructura de espacio vectorial con las mismas operaciones de V, es decir, si verifica lo siguiente:

Álgebra Lineal: Conceptos Fundamentales de Espacios Vectoriales y Aplicaciones

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Espacios Vectoriales

1.- Definición de subespacio vectorial de Rn

Indica cuándo un subconjunto no vacío de Rn es un subespacio vectorial de Rn:

Sea V (o Rn) un espacio vectorial, y sea W un subconjunto no vacío de V (W ⊂ V, W ≠ ∅). Decimos que W es un subespacio vectorial de V si (W, +, ∗) tiene estructura de espacio vectorial con las mismas operaciones de V, es decir, si verifica:

  • u + v ∈ W, ∀u, v ∈ W
  • αu ∈ W, ∀α ∈ R, ∀u ∈ W

2.- Enunciar la condición necesaria y suficiente Seguir leyendo “Álgebra Lineal: Conceptos Fundamentales de Espacios Vectoriales y Aplicaciones” »

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal y Cálculo: Espacios Vectoriales, Aplicaciones Lineales y Funciones

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Espacios Vectoriales

Definición de Base de un Espacio Vectorial V

Sean 𝑢1, 𝑢2, …, 𝑢𝑛 un conjunto de vectores del espacio vectorial V. Se dice que un conjunto 𝐵 = 〈𝑢1, 𝑢2, …, 𝑢𝑛〉 es una base del espacio vectorial V si:

  1. 𝐵 es linealmente independiente.
  2. 𝐵 es generador de V → 〈𝐵〉 = 𝑉.

Por lo tanto, todo vector de V se puede escribir como una combinación lineal única de la base. Es decir, una base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores linealmente Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal y Cálculo: Espacios Vectoriales, Aplicaciones Lineales y Funciones” »

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Espacios Vectoriales y Matrices

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Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial sobre un cuerpo ℝ es un conjunto V dotado de dos operaciones: una operación interna (suma de vectores) y una operación externa (producto de un vector por un escalar), que verifican una serie de propiedades.

Propiedades de la Operación Interna (Suma de Vectores)

La suma de vectores (V, +) cumple:

  1. Propiedad asociativa: (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) ∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉
  2. Propiedad conmutativa: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 ∀ 𝑢, 𝑣 Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Espacios Vectoriales y Matrices” »

Fundamentos de Álgebra Lineal: Matrices, Subespacios y Aplicaciones

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Fundamentos de Álgebra Lineal

Obtener la matriz de P en las bases canónicas

Sea vector **x** cualquiera de **Rn1** y sean *x1, x2…* sus coordenadas. Existirá un vector **y** tal que *F(x) = y*. Sean *y1, y2…* sus coordenadas en **Bc**. **y** pertenece a **Rn2**.
*(y1…yn2) = (F(e1) F(e2) F(e3)…F(en1)) * (x1…xn1)*
**Y = PX**
**M(BRn1, BRn2)**
Ejemplo: Cuando te da *f(1,1) = (1,3,2)* y *f(1,-1) = (1,1,0)*, sacar implícitas y hacer una matriz de tantas filas como términos de *f* y luego:

Fundamentos de Álgebra Lineal: Espacios Vectoriales, Matrices y Aplicaciones

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Espacio Vectorial

Se llama espacio vectorial sobre un cuerpo ℝ a todo conjunto V dotado de dos operaciones: una operación interna (suma de vectores) y una operación externa (producto de un vector por un escalar), y que verifican una serie de propiedades.

Propiedades de la operación interna

La suma de vectores (𝑉, +) cumple:

  1. Propiedad asociativa (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑢 + 𝑤) ∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉
  2. Propiedad conmutativa 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉
  3. Tiene Seguir leyendo “Fundamentos de Álgebra Lineal: Espacios Vectoriales, Matrices y Aplicaciones” »

Fundamentos del Álgebra Lineal: Espacios Vectoriales, Transformaciones y Teoremas Clave

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Base de un Espacio Vectorial: Teorema

Un vector x ∈ E puede expresarse de forma única como combinación lineal de los vectores de una base de E. Sea B = {e1, e2, …, eq} una base del espacio vectorial E. Entonces, x = α1e1 + α2e2 + … + αqeq.

Demostración:

Supongamos que x puede expresarse de dos formas distintas en función de la base B = {e1, e2, …, eq}:

x = α1e1 + α2e2 + … + αqeq

x = α’1e1 + α’2e2 + … + α’qeq

Restando ambas expresiones:

0 = (α1 – α’1)e1 + (α2 – α’2)e2 + … Seguir leyendo “Fundamentos del Álgebra Lineal: Espacios Vectoriales, Transformaciones y Teoremas Clave” »

Aplicaciones Lineales, Isomorfismos y Diagonalización de Matrices: Conceptos Clave

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Aplicaciones Lineales e Isomorfismos

Sean E y F dos espacios vectoriales sobre K y sea T : E→F una aplicación. Diremos que T es una aplicación lineal si verifica:

  • T(u + v) = T(u) + T(v), ∀u, v ∈ E.
  • T(αu) = αT(u), ∀α ∈ K, ∀u ∈ E.

Isomorfismo: Si T : E→ F es una aplicación lineal biyectiva (inyectiva y suprayectiva), diremos que T es un isomorfismo.

Núcleo e Imagen

Sea T : E→F una aplicación lineal.