Archivo de la categoría: Matemáticas

Conceptos Fundamentales del Cálculo Integral y Ecuaciones Diferenciales

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Integral de Riemann

La integral de Riemann se define como:

|ba f(x)dx= limh→∞ ∑ni=1 f(xi*) . ∆x = limh→∞ ∑ni=1 f(a + (b-a)/n) . (b-a)/n

Donde:

  • f es la función integrando.
  • xi* se toma como el extremo derecho o superior del i-ésimo subintervalo.
  • xi = xi* = a + i∆x = a + i(b-a)/n

Integración por Partes

Este método se utiliza generalmente cuando el integrando es un producto entre dos funciones, f(x) y g(x).

Partiendo de la regla del producto para derivadas:

d[f(x) . g(x)]/dx = f'(x) . g(x) Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales del Cálculo Integral y Ecuaciones Diferenciales” »

Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Lógica, Conjuntos, Funciones y Estadística

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Lógica Proposicional y Tablas de Verdad

Cuadro de verdad

pq
VV
VF
FV
FF
  • La disyunción inclusiva (V), es todo V, excepto cuando ambas proposiciones son falsas (F + F = F).
  • La conjunción (Λ), es todo F, excepto cuando ambas proposiciones son verdaderas (V + V = V).
  • La implicación (→), es todo V, excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (V + F = F).

Ejemplos:

Conceptos Fundamentales de Cálculo: Ecuaciones Diferenciales, Integrales y Vectores

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Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial establece una relación entre la variable independiente (x), la función buscada y=f(x) y sus derivadas, y´, y´´, …, yn o sus diferenciales dx, dy.

Forma general: F(x,y,y´,y´´,…,yn)=0 (forma implícita)

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Conceptos Fundamentales del Cálculo: Puntos Fijos, Sucesiones y Teoremas Clave

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Punto Fijo

Sea f:[a,b]→[a,b] una función continua. Entonces f tiene al menos un punto c∈[a,b] tal que f(c)=c. Estos puntos se llaman puntos fijos de f.

Demostración: Notar que si f:[a,b]→[a,b] entonces f(a),f(b)∈[a,b] luego a≤f(a),f(b)≤b. Definiendo la función auxiliar g(x)=f(x)-x, continua en [a,b], ésta verifica que g(a)=f(a)-a≥0 y g(b)=f(b)-b≤0.

  • Si g(a)=0 entonces f(a)=a (a es un punto fijo)
  • Si g(b)=0 entonces f(b)=b (b es un punto fijo)

En otro caso, g(a)>0 y g(b)<0.

Sucesiones

Definición Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales del Cálculo: Puntos Fijos, Sucesiones y Teoremas Clave” »

Ejercicios resueltos de trigonometría y proporcionalidad de triángulos

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1. Cálculo de lados de triángulos semejantes

La razón de proporcionalidad “k” de dos triángulos semejantes T y T’ es 2,3. Sabiendo que los costados del pequeño son a = 5 cm, b = 7 cm y c = 8 cm, calcula los lados del triángulo grande.

  • a’ = 2,3 * 5 cm = 11,5 cm
  • b’ = 2,3 * 7 cm = 16,1 cm
  • c’ = 2,3 * 8 cm = 18,4 cm

2. Cálculo de la razón de proporcionalidad

El perímetro del triángulo T es 12 dm y el de T’ es 2,8 m. Calcula la razón de proporcionalidad.

Para trabajar con la misma magnitud, Seguir leyendo “Ejercicios resueltos de trigonometría y proporcionalidad de triángulos” »

Soluciones a Ecuaciones Diferenciales: Métodos y Aplicaciones

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Decaimiento Radiactivo: Determinación de la Masa en Función del Tiempo

Ejercicio 2.3.23

Suponga que la tasa con la que un elemento radiactivo (RA) decae es 40e-20t y la constante de decaimiento k = 5/s. Determine la masa para t con y0 = 10.

Procedemos de manera similar al Ejemplo 2 en la página 52 y obtenemos un análogo del problema del valor inicial (13), es decir,

dy / dt + 5y = 40e-20t,      y(0) = 10.           (2.10)

Así  P(t) ≡ 5 y µ(t) = e∫5dt = e5t. Multiplicando la ecuación Seguir leyendo “Soluciones a Ecuaciones Diferenciales: Métodos y Aplicaciones” »

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal y Teoría de Conjuntos

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Aplicaciones Lineales

Definiciones

Una aplicación lineal f: E → E’ es un homomorfismo de K-espacios vectoriales. Dados e1, e2 ∈ E y λ, μ ∈ K, se cumple que f(λe1 + μe2) = λf(e1) + μf(e2).

Una aplicación lineal f: E → E de un K-espacio vectorial en sí mismo es un endomorfismo.

Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal

Sea f: E → E’ una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales.

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Teoremas y Demostraciones

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Teorema de Rouché-Frobenius

Sea AX = B un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

  • Si rg(A) ≠ rg(A*), el sistema es incompatible.
  • Si rg(A) = rg(A*) = n, el sistema es compatible determinado.
  • Si rg(A) = rg(A*) < n, el sistema es compatible indeterminado.

Espacio Vectorial: Definición y Propiedades

Sea V un conjunto no vacío. Supongamos que en V hay definida una operación suma, que denotaremos por +, y una operación producto por un escalar, que denotaremos por *. Diremos que (V, +, Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Teoremas y Demostraciones” »

Ejercicios Resueltos de Integrales Múltiples: Conceptos y Aplicaciones

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Hoja 2

Ejercicio 1

Comprueba que ??[a,b]× [c,d]f(x)g(y) dxdy = (?ab f(x) dx )(?cdg(y) dy)

Ejercicio 2

Calcular ??R f(x, y)dxdy en los siguientes casos:

  1. f(x, y) = 2(x + 2y) R = [? 1, 2] × [0, 2]
  2. f(x, y) = xy3ex2y2 R = [1, 3] × [1, 2]
  3. f(x, y) = x/(y + 1 ) + yexy R = [1, 4] × [1, 2]
  4. f(x, y) = y5 sen xey3 cos x R = [0, π] × [?1, 0]
  5. f(x, y) = x3 + sen(x + y) R = [1, 2] × [?3, 2]
  6. f(x, y) = x2 sen(xy) R = [0, 1] × [0, 1]

Ejercicio 3

Calcular las siguientes integrales:

  1. ??D x dxdy D = {(x, y), 0 < x < π, Seguir leyendo “Ejercicios Resueltos de Integrales Múltiples: Conceptos y Aplicaciones” »

Ejercicios prácticos de comandos Linux: Expresiones regulares y redirecciones

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Sección 1: Uso de `grep`, `egrep` y `fgrep`

Ejercicio 1: Escriba a qué ficheros corresponderían las líneas que seleccionaría la última orden. Separe los nombres de los ficheros por comas (escriba «NADA» si la salida fuera vacía):

1) `$ ls -l`

  • `-rw-r–r– 1 tiopepe users 0 dic 14 07:00 f1`
  • `-rw-r–r-x 1 tiopepe users 0 dic 14 07:00 f2`
  • `-r–r–r– 1 tiopepe users 0 dic 14 07:00 f3`

`$ ls -l | grep «r*w»`

Respuesta: f1, f2.

2) `$ ls -l`