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Resolución de Problemas Matemáticos: Ecuaciones y Sistemas

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Problema 1

Busca dos números tales que la suma del doble del mayor con la mitad del menor sea menos de 150, y sabiendo que cuatro veces el menor supera en 22 unidades al triple del mayor.

Solución:

  • 1º (mayor): x
  • 2º (menor): y

Sistema de ecuaciones:

  • 2x + y/2 = 150
  • 4y = 3x + 22

Resolución por sustitución:

  1. 4x + y = 300
  2. y = (3x + 22) / 4
  3. 4x + (3x + 22) / 4 = 300
  4. 16x + 3x + 22 = 1200
  5. 19x = 1200 – 22
  6. x = 1178 / 19
  7. x = 62
  8. y = (3 * 62 + 22) / 4 = (186 + 22) / 4 = 208 / 4
  9. y = 52

Respuesta:

Fórmulas y Conceptos Esenciales de Matemáticas: Geometría, Álgebra y Trigonometría

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Fórmulas y Conceptos Esenciales de Matemáticas

Geometría

Poliedros

Cálculo del número de aristas (A)

A = Fn / 2

Ejemplo: Determinar el número de aristas de un poliedro con 3 caras cuadrangulares, 2 caras pentagonales y 4 caras triangulares.

A = (3 * 4 + 2 * 5 + 4 * 3) / 2 = 17

Teorema de Euler

V + F = A + 2

Donde:

  • V: Número de vértices
  • F: Número de caras
  • A: Número de aristas

Área y Volumen de una Esfera

  • Área (A): A = 4πR2
  • Volumen (V): V = (4/3)πR3

Volumen de una Pirámide y un Cono

V = (Abase * h) Seguir leyendo “Fórmulas y Conceptos Esenciales de Matemáticas: Geometría, Álgebra y Trigonometría” »

Conceptos y Propiedades Matemáticas: Álgebra y Cálculo

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Propiedades de un Cuerpo

Las propiedades de un cuerpo se dividen en dos operaciones: suma y producto.

Suma

Para todo x, y, z que pertenecen a los números reales (x, y, z ∈ ℝ):

  • Asociatividad: (x + y) + z = x + (y + z)
  • Conmutatividad: x + y = y + x
  • Elemento neutro: Existe un único 0 ∈ ℝ tal que x + 0 = 0 + x = x
  • Simetría: Para cada x ∈ ℝ, existe un (-x) ∈ ℝ tal que x + (-x) = (-x) + x = 0

Producto

Para todo x, y, z que pertenecen a los números reales (x, y, z ∈ ℝ):

Propiedades y Demostraciones de Aplicaciones: Inyectividad, Suprayectividad y Biyección

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Propiedades de las Aplicaciones

  1. Si X1 ⊆ X2 ⊆ A, entonces f(X1) ⊆ f(X2).
  2. Si X1, X2 ⊆ A, entonces f(X1 ∪ X2) = f(X1) ∪ f(X2).
  3. Si X1, X2 ⊆ A, entonces f(X1 ∩ X2) ⊆ f(X1) ∩ f(X2).
  4. Si Y1 ⊆ Y2 ⊆ B, entonces f −1(Y1) ⊆ f −1(Y2).
  5. Si Y1, Y2 ⊆ B, entonces f −1(Y1 ∪ Y2) = f −1(Y1) ∪ f −1(Y2).
  6. Si Y1, Y2 ⊆ B, entonces f −1(Y1 ∩ Y2) = f −1(Y1) ∩ f −1(Y2).

Demostraciones

  1. Si b ∈ f(X1) existe x ∈ X1 tal que b = f(x) pero, como también x ∈ X2 pues X1 ⊆ X2, se Seguir leyendo “Propiedades y Demostraciones de Aplicaciones: Inyectividad, Suprayectividad y Biyección” »

Explorando Sucesiones, Progresiones, Vectores y Matrices: Conceptos Clave

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Sucesiones y Progresiones

Sucesiones: Una sucesión es una función definida de los naturales en los reales. Las sucesiones se escriben como un conjunto numérico, donde el conjunto de partida es la posición del término. En una sucesión siempre necesitamos el término general, que se denota como

Progresión Aritmética

Es una sucesión en la cual, cada término se halla “sumándole al anterior un valor constante llamado razón”.

NOTA: No todas las sucesiones son progresiones.

Suma de los “n” Seguir leyendo “Explorando Sucesiones, Progresiones, Vectores y Matrices: Conceptos Clave” »

Exploración de Relaciones Binarias, Espacios Vectoriales y Topología

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    RELACIONES BINARIAS

DEFINICIÓN (de relación binaria) Sea A un conjunto. Una relación binaria definida en A es un subconjunto R de X x X. Se usa la notación xRy para indicar que (x,y) ∈ R.

PROPIEDADES Sea A un conjunto. Una relación binaria R definida en A.

(1)   Reflexiva:     ∀a∈A,   aRa

(2)   Simétrica:     ∀a,b∈A   si   aRb ⇒ bRa.

(3)   Transitiva:     ∀a,b,c∈A     si  aRb  y   bRc ⇒ aRc.

(4)   Antisimétrica:   ∀a,b∈A    si  Seguir leyendo “Exploración de Relaciones Binarias, Espacios Vectoriales y Topología” »

Entendiendo la Tasa de Variación Media, Recta Tangente y Pendiente en Matemáticas

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Tasa de Variación Media (TVM)

La TVM indica las unidades en que una función aumenta o disminuye por cada unidad que aumenta su variable independiente x.

Recta Tangente

Una recta tangente es aquella que toca a un objeto geométrico en un solo punto. La recta tangente a una circunferencia en un punto A o B siempre es perpendicular al radio formado desde el centro de la circunferencia hasta ese punto.

Pendiente

La pendiente es la razón entre la variación de la variable y con respecto a la variación Seguir leyendo “Entendiendo la Tasa de Variación Media, Recta Tangente y Pendiente en Matemáticas” »

Las Fracciones y sus Operaciones: Una Guía Completa para la Enseñanza

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Las Fracciones y sus Operaciones

1. Introducción a las Fracciones

Las fracciones son una parte fundamental de las matemáticas y se utilizan para representar partes de un todo. Su comprensión es esencial para el desarrollo de habilidades matemáticas más avanzadas.

2. Tipos de Problemas Multiplicativos

2.1. Isomorfismo de Medias

Este esquema, también conocido como regla de tres, es fundamental en la enseñanza elemental. Se basa en una relación cuaternaria entre cuatro cantidades, donde se conoce Seguir leyendo “Las Fracciones y sus Operaciones: Una Guía Completa para la Enseñanza” »

Introducción a la Teoría de Conjuntos: Tipos, Operaciones y Diagramas de Venn

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Introducción a la Teoría de Conjuntos

Definición de Conjunto

Un conjunto es un grupo de objetos, llamados elementos, que comparten entre sí características o propiedades semejantes.

Tipos de Conjuntos

Conjuntos por Comprensión y Extensión

Por comprensión: Consiste en indicar la característica o propiedad común de todos los elementos.

Por extensión: Consiste en nombrar cada uno de los elementos.

Conjuntos Finitos e Infinitos

Conjuntos finitos: Son los que tienen un número conocido de elementos. Seguir leyendo “Introducción a la Teoría de Conjuntos: Tipos, Operaciones y Diagramas de Venn” »

Números Reales: Propiedades Básicas y Orden

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1. Números Reales

Daremos por supuesto ciertas propiedades básicas de los números reales, que están grabadas en la consciencia de cualquier persona educada desde la niñez (a, b y c representan números reales arbitrarios). Supondremos conocida la suma de dos números reales a, b, escrito a + b, y su producto ab. Las propiedades básicas a que nos referimos son las siguientes.

1.1. Propiedades de la Suma

  1. Asociativa de la suma: a + (b + c) = (a + b) + c
  2. Existencia del cero: 0 + a = a
  3. Existencia de Seguir leyendo “Números Reales: Propiedades Básicas y Orden” »