Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden: Métodos y Procedimientos

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Verificar si una función es solución de una EDO

  • Derivar la función tantas veces como el orden de la ecuación diferencial lo indique.
  • Simplificar la expresión resultante.
  • Sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial original y verificar si se cumple la igualdad.

Encontrar la EDO a partir de la solución

  • Derivar la solución tantas veces como constantes arbitrarias (C) tenga la solución general.
  • Despejar las constantes de las ecuaciones resultantes (simultanear).
  • Comprobar que la ecuación diferencial obtenida es satisfecha por la solución general dada.

Métodos de Resolución

Método para Ecuaciones Exactas con Constante

Verificar si la ecuación es exacta:

  • Identificar M(x, y) y N(x, y) en la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.
  • Calcular la derivada parcial de M con respecto a y (∂M/∂y).
  • Calcular la derivada parcial de N con respecto a x (∂N/∂x).
  • Si ∂M/∂y = ∂N/∂x, la ecuación es exacta.

Si no es exacta, el método no aplica.

Si es exacta, seguir los siguientes pasos:

  1. Integrar M(x, y) con respecto a x, tratando y como constante. Agregar una función arbitraria de y, g(y), a la integral resultante.
  2. Derivar el resultado del paso 1 con respecto a y.
  3. Igualar el resultado del paso 2 con N(x, y).
  4. Integrar el resultado del paso 3 con respecto a y para obtener g(y).
  5. Sustituir g(y) en la expresión obtenida en el paso 1. La solución general será de la forma Φ(x, y) = C, donde C es una constante arbitraria.

Método para Ecuaciones Exactas sin Constante

  1. Verificar el criterio de exactitud (∂M/∂y = ∂N/∂x).
  2. Integrar M(x, y) con respecto a x.
  3. Integrar N(x, y) con respecto a y.
  4. La solución general será C = términos de los pasos 2 y 3 sin repetición.

Ecuaciones con Variables Separables

  1. Reorganizar la ecuación de modo que todos los términos que contienen y y dy estén en un lado de la ecuación, y todos los términos que contienen x y dx estén en el otro lado.
  2. Integrar ambos lados de la ecuación.
  3. Agregar una constante de integración (+C) en uno de los lados de la ecuación.

Ecuaciones Homogéneas

Sustituciones:

  • y = ux
  • dy/dx = u + x(du/dx)
  1. Sustituir y y dy/dx en la ecuación diferencial original.
  2. Reorganizar la ecuación de modo que todos los términos que contienen u y du estén en un lado, y todos los términos que contienen x y dx estén en el otro.
  3. Integrar ambos lados de la ecuación.

Ecuaciones Lineales de Primer Orden

  1. Escribir la ecuación en la forma estándar: dy/dx + P(x)y = Q(x).
  2. Calcular el factor integrante: µ(x) = e∫P(x)dx.
  3. Multiplicar ambos lados de la ecuación por el factor integrante µ(x).
  4. El lado izquierdo de la ecuación se convierte en la derivada del producto del factor integrante y la variable dependiente: d(µ(x)y)/dx.
  5. Integrar ambos lados de la ecuación con respecto a x.

Ecuación de Bernoulli

Forma general:

  • dy/dx + P(x)y = Q(x)yn (Ecuación de Bernoulli en y)
  • dx/dy + P(y)x = Q(y)xn (Ecuación de Bernoulli en x)

donde n ≠ 0, 1

  1. Reorganizar la ecuación en la forma estándar de Bernoulli.
  2. Multiplicar la ecuación por y-n.
  3. Realizar la sustitución: v = y1-n.
  4. Derivar la sustitución del paso 3 con respecto a x.
  5. dv/dx = (1-n)y-n(dy/dx)
  6. Despejar y-n(dy/dx): (1/(1-n))(dv/dx) = y-n(dy/dx)
  7. Sustituir v y su derivada en la ecuación obtenida en el paso 2 para transformarla en una ecuación lineal en términos de v.
  8. Resolver la ecuación lineal resultante utilizando el método del factor integrante.