Archivo de la categoría: Matemáticas

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal y Teoría de Conjuntos

7 enero, 2025Matemáticasálgebra lineal, aplicación lineal, endomorfismo, Espacios Vectoriales, Imagen, núcleowiki

Aplicaciones Lineales

Definiciones

Una aplicación lineal f: E → E’ es un homomorfismo de K-espacios vectoriales. Dados e₁, e₂ ∈ E y λ, μ ∈ K, se cumple que f(λe₁ + μe₂) = λf(e₁) + μf(e₂).

Una aplicación lineal f: E → E de un K-espacio vectorial en sí mismo es un endomorfismo.

Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal

Sea f: E → E’ una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales.

Se llama imagen de f, denotada por Im(f), al conjunto f(E), es decir, Im(f) = {e’ ∈ E’ / ∃e ∈ Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal y Teoría de Conjuntos” »

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Teoremas y Demostraciones

6 enero, 2025Matemáticasálgebra lineal, Espacio Vectorial, subespacio vectorial, teorema de Rouché-Frobeniuswiki

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea AX = B un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

Si rg(A) ≠ rg(A*), el sistema es incompatible.
Si rg(A) = rg(A*) = n, el sistema es compatible determinado.
Si rg(A) = rg(A*) < n, el sistema es compatible indeterminado.

Espacio Vectorial: Definición y Propiedades

Sea V un conjunto no vacío. Supongamos que en V hay definida una operación suma, que denotaremos por +, y una operación producto por un escalar, que denotaremos por *. Diremos que (V, +, Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Teoremas y Demostraciones” »

Ejercicios Resueltos de Integrales Múltiples: Conceptos y Aplicaciones

6 enero, 2025MatemáticasCálculo Integral, Integrales Dobles, Integrales Múltiples, Integrales Tripleswiki

Hoja 2

Ejercicio 1

Comprueba que ??_{[a,b]× [c,d]}f(x)g(y) dxdy = (?_a^b f(x) dx )(?_c^dg(y) dy)

Ejercicio 2

Calcular ??_R f(x, y)dxdy en los siguientes casos:

f(x, y) = 2(x + 2y) R = [? 1, 2] × [0, 2]
f(x, y) = xy³e^x²y² R = [1, 3] × [1, 2]
f(x, y) = x/(y + 1 ) + ye^xy R = [1, 4] × [1, 2]
f(x, y) = y⁵ sen xe^y³ cos x R = [0, π] × [?1, 0]
f(x, y) = x³ + sen(x + y) R = [1, 2] × [?3, 2]
f(x, y) = x² sen(xy) R = [0, 1] × [0, 1]

Ejercicio 3

Calcular las siguientes integrales:

??_D x dxdy D = {(x, y), 0 < x < π, Seguir leyendo “Ejercicios Resueltos de Integrales Múltiples: Conceptos y Aplicaciones” »

Ejercicios prácticos de comandos Linux: Expresiones regulares y redirecciones

6 enero, 2025Matemáticascomandos, egrep, Expresiones regulares, fgrep, grep, Linux, redirecciones, tuberíaswiki

Sección 1: Uso de `grep`, `egrep` y `fgrep`

Ejercicio 1: Escriba a qué ficheros corresponderían las líneas que seleccionaría la última orden. Separe los nombres de los ficheros por comas (escriba «NADA» si la salida fuera vacía):

1) `$ ls -l`

`-rw-r–r– 1 tiopepe users 0 dic 14 07:00 f1`
`-rw-r–r-x 1 tiopepe users 0 dic 14 07:00 f2`
`-r–r–r– 1 tiopepe users 0 dic 14 07:00 f3`

`$ ls -l | grep «r*w»`

Respuesta: f1, f2.

2) `$ ls -l`

`-r–r–r– 1 tiopepe users 0 dic 14 07:00 f`
`-rwxr–r– 1 tiopepe Seguir leyendo “Ejercicios prácticos de comandos Linux: Expresiones regulares y redirecciones” »

Transformaciones Lineales y Controlabilidad en Sistemas Dinámicos

5 enero, 2025Matemáticascontrolabilidad, función de transferencia, matriz de transicion, modelo de estado, observabilidad, sistemas dinamicos, sistemas lineales, transformacion linealwiki

Transformación Lineal en Espacios de Estado

Partiendo de un modelo de estado cualquiera y conociendo la matriz de transformación T(t), se puede obtener una nueva representación de estado. Esto es lo que se denomina una transformación lineal en el espacio de estado. Lo que se está haciendo es un cambio de base, por lo que el vector de estado x(t) viene definido por distintas componentes, pero sigue siendo el mismo. La matriz de transformación T(t) es tal que sus columnas representan las coordenadas Seguir leyendo “Transformaciones Lineales y Controlabilidad en Sistemas Dinámicos” »

Exploración de Conceptos Clave en Cálculo y Ecuaciones Diferenciales

5 enero, 2025Matemáticasintegración por partes, integral de riemann, integral definida, integral indefinidawiki

Conceptos Fundamentales del Cálculo

Integral Definida

La integral definida se define como:

r: D ⊂ R → R³, t → r(t) = (x, y, z) = xi + yj + zk

∫_a^b r(t) dt = lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ r(t_i^*) Δt_i

Esto se puede expresar como:

lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ [x(t_i^*)i + y(t_i^*)j + z(t_i^*)k] Δt_i = lim_n→∞ [∑ x(t_i^*)iΔt_i + ∑ y(t_i^*)jΔt_i + ∑ z(t_i^*)kΔt_i]

Finalmente, la integral definida se calcula como:

∫_a^b x(t) dt + ∫_a^b y(t) dt + ∫_a^b z(t) dt

Integral de Riemann

La integral de Riemann se define como:

∫_a^b f(x) Seguir leyendo “Exploración de Conceptos Clave en Cálculo y Ecuaciones Diferenciales” »

Explorando Sucesiones, Progresiones, Vectores y Matrices: Conceptos Clave

5 enero, 2025MatemáticasÁlgebra, matemáticas, matrices, progresiones, sucesiones, Vectoreswiki

Sucesiones y Progresiones

Sucesiones: Una sucesión es una función definida de los naturales en los reales. Las sucesiones se escriben como un conjunto numérico, donde el conjunto de partida es la posición del término. En una sucesión siempre necesitamos el término general, que se denota como

Progresión Aritmética

Es una sucesión en la cual, cada término se halla “sumándole al anterior un valor constante llamado razón”.

NOTA: No todas las sucesiones son progresiones.

Suma de los “n” Seguir leyendo “Explorando Sucesiones, Progresiones, Vectores y Matrices: Conceptos Clave” »

Correlación de Pearson y Chi-Cuadrado: Asociación entre Variables

23 diciembre, 2024Matemáticasasociación de variables, chi-cuadrado, correlación de Pearson, Estadística, variables categóricas, variables continuaswiki

Correlación de Pearson

El coeficiente de correlación de Pearson es una técnica que permite determinar la forma y significación de asociaciones entre dos variables continuas. El R de Pearson se aplica solo cuando las dos variables se asocian en forma lineal. Lo anterior se corrobora con un gráfico de dispersión. Por ejemplo, la asociación entre la variable tiempo de estudio y rendimiento académico. La asociación lineal existe cuando la nube de puntos toma una forma de línea. El coeficiente Seguir leyendo “Correlación de Pearson y Chi-Cuadrado: Asociación entre Variables” »

Resolución de problemas de tangencias entre rectas y circunferencias

23 diciembre, 2024Matemáticascircunferencias, geometría, Mediatriz, rectas, tangenciaswiki

1. Circunferencias tangentes a una recta r que pasen por dos puntos P y Q

Todas las circunferencias que pasan por P y Q tienen su centro en la mediatriz del segmento que determinan, y como eje radical, la recta PQ. El eje radical de una circunferencia y una recta es la propia recta. El punto de intersección entre las rectas PQ y r, es el centro radical, Cr, de las circunferencias que pasan por los puntos P y Q, entre las que se hallan las soluciones que se buscan. Trazamos una circunferencia auxiliar Seguir leyendo “Resolución de problemas de tangencias entre rectas y circunferencias” »

Exploración de Relaciones Binarias, Espacios Vectoriales y Topología

18 diciembre, 2024Matemáticasálgebra lineal, análisis matemático, Espacios Vectoriales, matemáticas, relaciones binarias, topologiawiki

RELACIONES BINARIAS

DEFINICIÓN (de relación binaria) Sea A un conjunto. Una relación binaria definida en A es un subconjunto R de X x X. Se usa la notación xRy para indicar que (x,y) ∈ R.

PROPIEDADES Sea A un conjunto. Una relación binaria R definida en A.

(1) Reflexiva: ∀a∈A, aRa

(2) Simétrica: ∀a,b∈A si aRb ⇒ bRa.

(3) Transitiva: ∀a,b,c∈A si aRb y bRc ⇒ aRc.

(4) Antisimétrica: ∀a,b∈A si Seguir leyendo “Exploración de Relaciones Binarias, Espacios Vectoriales y Topología” »