Archivo de la categoría: Matemáticas

Conceptos Fundamentales de Cálculo: Ecuaciones Diferenciales, Integrales y Vectores

8 enero, 2025Matemáticascálculo vectorial, ecuaciones diferenciales, ecuaciones diferenciales de variables separables, ecuaciones diferenciales homogéneas, integración por partes, integral de riemann, integrales, teorema fundamental del cálculowiki

Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial establece una relación entre la variable independiente (x), la función buscada y=f(x) y sus derivadas, y´, y´´, …, yⁿ o sus diferenciales dx, dy.

Forma general: F(x,y,y´,y´´,…,yⁿ)=0 (forma implícita)

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Orden: Es el orden de la derivada superior que interviene en la ecuación.
Tipo: Ordinarias o en derivadas parciales.
Grado: Es el exponente de la máxima potencia de la derivada de mayor orden.
Linealidad: Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Cálculo: Ecuaciones Diferenciales, Integrales y Vectores” »

Conceptos Fundamentales del Cálculo: Puntos Fijos, Sucesiones y Teoremas Clave

8 enero, 2025Matemáticasconvergencia, punto fijo, sucesiones, teorema de Stolzwiki

Punto Fijo

Sea f:[a,b]→[a,b] una función continua. Entonces f tiene al menos un punto c∈[a,b] tal que f(c)=c. Estos puntos se llaman puntos fijos de f.

Demostración: Notar que si f:[a,b]→[a,b] entonces f(a),f(b)∈[a,b] luego a≤f(a),f(b)≤b. Definiendo la función auxiliar g(x)=f(x)-x, continua en [a,b], ésta verifica que g(a)=f(a)-a≥0 y g(b)=f(b)-b≤0.

Si g(a)=0 entonces f(a)=a (a es un punto fijo)
Si g(b)=0 entonces f(b)=b (b es un punto fijo)

En otro caso, g(a)>0 y g(b)<0.

Sucesiones

Definición Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales del Cálculo: Puntos Fijos, Sucesiones y Teoremas Clave” »

Ejercicios resueltos de trigonometría y proporcionalidad de triángulos

8 enero, 2025Matemáticasárea, perímetro, proporcionalidad, razón de proporcionalidad, teorema del seno, Triángulos, trigonometríawiki

1. Cálculo de lados de triángulos semejantes

La razón de proporcionalidad “k” de dos triángulos semejantes T y T’ es 2,3. Sabiendo que los costados del pequeño son a = 5 cm, b = 7 cm y c = 8 cm, calcula los lados del triángulo grande.

a’ = 2,3 * 5 cm = 11,5 cm
b’ = 2,3 * 7 cm = 16,1 cm
c’ = 2,3 * 8 cm = 18,4 cm

2. Cálculo de la razón de proporcionalidad

El perímetro del triángulo T es 12 dm y el de T’ es 2,8 m. Calcula la razón de proporcionalidad.

Para trabajar con la misma magnitud, Seguir leyendo “Ejercicios resueltos de trigonometría y proporcionalidad de triángulos” »

Soluciones a Ecuaciones Diferenciales: Métodos y Aplicaciones

7 enero, 2025Matemáticasdecaimiento radiactivo, ecuaciones diferenciales, factor integrante, matemáticas aplicadas, método de Euler, problema de valor inicial, regla de Simpsonwiki

Decaimiento Radiactivo: Determinación de la Masa en Función del Tiempo

Ejercicio 2.3.23

Suponga que la tasa con la que un elemento radiactivo (RA) decae es 40e^-20t y la constante de decaimiento k = 5/s. Determine la masa para t con y₀ = 10.

Procedemos de manera similar al Ejemplo 2 en la página 52 y obtenemos un análogo del problema del valor inicial (13), es decir,

dy / dt + 5y = 40e^-20t, y(0) = 10. (2.10)

Así P(t) ≡ 5 y µ(t) = e^∫5dt = e^5t. Multiplicando la ecuación Seguir leyendo “Soluciones a Ecuaciones Diferenciales: Métodos y Aplicaciones” »

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal y Teoría de Conjuntos

7 enero, 2025Matemáticasálgebra lineal, aplicación lineal, endomorfismo, Espacios Vectoriales, Imagen, núcleowiki

Aplicaciones Lineales

Definiciones

Una aplicación lineal f: E → E’ es un homomorfismo de K-espacios vectoriales. Dados e₁, e₂ ∈ E y λ, μ ∈ K, se cumple que f(λe₁ + μe₂) = λf(e₁) + μf(e₂).

Una aplicación lineal f: E → E de un K-espacio vectorial en sí mismo es un endomorfismo.

Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal

Sea f: E → E’ una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales.

Se llama imagen de f, denotada por Im(f), al conjunto f(E), es decir, Im(f) = {e’ ∈ E’ / ∃e ∈ Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal y Teoría de Conjuntos” »

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Teoremas y Demostraciones

6 enero, 2025Matemáticasálgebra lineal, Espacio Vectorial, subespacio vectorial, teorema de Rouché-Frobeniuswiki

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea AX = B un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

Si rg(A) ≠ rg(A*), el sistema es incompatible.
Si rg(A) = rg(A*) = n, el sistema es compatible determinado.
Si rg(A) = rg(A*) < n, el sistema es compatible indeterminado.

Espacio Vectorial: Definición y Propiedades

Sea V un conjunto no vacío. Supongamos que en V hay definida una operación suma, que denotaremos por +, y una operación producto por un escalar, que denotaremos por *. Diremos que (V, +, Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Teoremas y Demostraciones” »

Ejercicios Resueltos de Integrales Múltiples: Conceptos y Aplicaciones

6 enero, 2025MatemáticasCálculo Integral, Integrales Dobles, Integrales Múltiples, Integrales Tripleswiki

Hoja 2

Ejercicio 1

Comprueba que ??_{[a,b]× [c,d]}f(x)g(y) dxdy = (?_a^b f(x) dx )(?_c^dg(y) dy)

Ejercicio 2

Calcular ??_R f(x, y)dxdy en los siguientes casos:

f(x, y) = 2(x + 2y) R = [? 1, 2] × [0, 2]
f(x, y) = xy³e^x²y² R = [1, 3] × [1, 2]
f(x, y) = x/(y + 1 ) + ye^xy R = [1, 4] × [1, 2]
f(x, y) = y⁵ sen xe^y³ cos x R = [0, π] × [?1, 0]
f(x, y) = x³ + sen(x + y) R = [1, 2] × [?3, 2]
f(x, y) = x² sen(xy) R = [0, 1] × [0, 1]

Ejercicio 3

Calcular las siguientes integrales:

??_D x dxdy D = {(x, y), 0 < x < π, Seguir leyendo “Ejercicios Resueltos de Integrales Múltiples: Conceptos y Aplicaciones” »

Ejercicios prácticos de comandos Linux: Expresiones regulares y redirecciones

6 enero, 2025Matemáticascomandos, egrep, Expresiones regulares, fgrep, grep, Linux, redirecciones, tuberíaswiki

Sección 1: Uso de `grep`, `egrep` y `fgrep`

Ejercicio 1: Escriba a qué ficheros corresponderían las líneas que seleccionaría la última orden. Separe los nombres de los ficheros por comas (escriba «NADA» si la salida fuera vacía):

1) `$ ls -l`

`-rw-r–r– 1 tiopepe users 0 dic 14 07:00 f1`
`-rw-r–r-x 1 tiopepe users 0 dic 14 07:00 f2`
`-r–r–r– 1 tiopepe users 0 dic 14 07:00 f3`

`$ ls -l | grep «r*w»`

Respuesta: f1, f2.

2) `$ ls -l`

`-r–r–r– 1 tiopepe users 0 dic 14 07:00 f`
`-rwxr–r– 1 tiopepe Seguir leyendo “Ejercicios prácticos de comandos Linux: Expresiones regulares y redirecciones” »

Transformaciones Lineales y Controlabilidad en Sistemas Dinámicos

5 enero, 2025Matemáticascontrolabilidad, función de transferencia, matriz de transicion, modelo de estado, observabilidad, sistemas dinamicos, sistemas lineales, transformacion linealwiki

Transformación Lineal en Espacios de Estado

Partiendo de un modelo de estado cualquiera y conociendo la matriz de transformación T(t), se puede obtener una nueva representación de estado. Esto es lo que se denomina una transformación lineal en el espacio de estado. Lo que se está haciendo es un cambio de base, por lo que el vector de estado x(t) viene definido por distintas componentes, pero sigue siendo el mismo. La matriz de transformación T(t) es tal que sus columnas representan las coordenadas Seguir leyendo “Transformaciones Lineales y Controlabilidad en Sistemas Dinámicos” »

Exploración de Conceptos Clave en Cálculo y Ecuaciones Diferenciales

5 enero, 2025Matemáticasintegración por partes, integral de riemann, integral definida, integral indefinidawiki

Conceptos Fundamentales del Cálculo

Integral Definida

La integral definida se define como:

r: D ⊂ R → R³, t → r(t) = (x, y, z) = xi + yj + zk

∫_a^b r(t) dt = lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ r(t_i^*) Δt_i

Esto se puede expresar como:

lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ [x(t_i^*)i + y(t_i^*)j + z(t_i^*)k] Δt_i = lim_n→∞ [∑ x(t_i^*)iΔt_i + ∑ y(t_i^*)jΔt_i + ∑ z(t_i^*)kΔt_i]

Finalmente, la integral definida se calcula como:

∫_a^b x(t) dt + ∫_a^b y(t) dt + ∫_a^b z(t) dt

Integral de Riemann

La integral de Riemann se define como:

∫_a^b f(x) Seguir leyendo “Exploración de Conceptos Clave en Cálculo y Ecuaciones Diferenciales” »