Archivo de la etiqueta: álgebra lineal

Operaciones con Matrices, Diagonalización y Formas Cuadráticas

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Operaciones con Matrices

Suma de Matrices

  • Propiedad Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
  • Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A
  • Elemento Simétrico (Matriz Opuesta): -A + A = 0
  • Propiedad Conmutativa: A + B = B + A

Producto de un Número Real por una Matriz

  • t * (A + B) = t * A + t * B
  • (t * s) * A = t * (s * A)
  • 1 * A = A

Producto de Matrices

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal y Teoría de Conjuntos

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Aplicaciones Lineales

Definiciones

Una aplicación lineal f: E → E’ es un homomorfismo de K-espacios vectoriales. Dados e1, e2 ∈ E y λ, μ ∈ K, se cumple que f(λe1 + μe2) = λf(e1) + μf(e2).

Una aplicación lineal f: E → E de un K-espacio vectorial en sí mismo es un endomorfismo.

Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal

Sea f: E → E’ una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales.

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Teoremas y Demostraciones

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Teorema de Rouché-Frobenius

Sea AX = B un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

  • Si rg(A) ≠ rg(A*), el sistema es incompatible.
  • Si rg(A) = rg(A*) = n, el sistema es compatible determinado.
  • Si rg(A) = rg(A*) < n, el sistema es compatible indeterminado.

Espacio Vectorial: Definición y Propiedades

Sea V un conjunto no vacío. Supongamos que en V hay definida una operación suma, que denotaremos por +, y una operación producto por un escalar, que denotaremos por *. Diremos que (V, +, Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Teoremas y Demostraciones” »

Códigos Python: Ejercicios Resueltos y Explicados

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Ejercicio 1: Cálculo de Cuadrante y Rotación de Vectores

Este programa solicita al usuario que ingrese las coordenadas x e y de un vector y determina el cuadrante en el que se encuentra. Luego, pide un ángulo para rotar el vector y calcula el cuadrante resultante después de la rotación.

# -*- coding: utf-8 -*-
# Programa que solicita al usuario ingresar las coordenadas x,y de un vector,
# para indicar el cuadrante de dicho vector.
# Luego, solicita el ingreso de un ángulo para rotar el vector. Seguir leyendo “Códigos Python: Ejercicios Resueltos y Explicados” »

Exploración de Relaciones Binarias, Espacios Vectoriales y Topología

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    RELACIONES BINARIAS

DEFINICIÓN (de relación binaria) Sea A un conjunto. Una relación binaria definida en A es un subconjunto R de X x X. Se usa la notación xRy para indicar que (x,y) ∈ R.

PROPIEDADES Sea A un conjunto. Una relación binaria R definida en A.

(1)   Reflexiva:     ∀a∈A,   aRa

(2)   Simétrica:     ∀a,b∈A   si   aRb ⇒ bRa.

(3)   Transitiva:     ∀a,b,c∈A     si  aRb  y   bRc ⇒ aRc.

(4)   Antisimétrica:   ∀a,b∈A    si  Seguir leyendo “Exploración de Relaciones Binarias, Espacios Vectoriales y Topología” »

Matrices: Conceptos, Tipos y Operaciones

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MATRICES

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester
El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853
En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de Seguir leyendo “Matrices: Conceptos, Tipos y Operaciones” »

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cálculo Numérico

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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cálculo Numérico

Problema 41

if(A.dim1()==0 || A.dim1()!=A.dim2()) return 0.;

if(A.dim1()==1) return A[0][0];

real determinante=0.;
  for(int k=0;k    Array2D B(A.dim1()-1,A.dim1()-1);
    for(int i=0;i      for(int j=0;j        if(j        else  B[i][j]=A[i+1][j+1];
      }
    }
    if(k%2==0) determinante+=A[0][k]*mn_determinante_recursivo(B);
    else determinante-=A[0][k]*mn_determinante_recursivo(B);
  }
  return determinante; Seguir leyendo “Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cálculo Numérico” »

Propiedades de las Matrices y Determinantes

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Propiedades de los Determinantes

1. El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta.

2. Si una matriz cuadrada tiene una fila (o columna) de ceros, el determinante es 0.

3. Si se intercambian dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.

4. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es 0.

5. Al multiplicar todos los elementos de una fila de una matriz cuadrada por un mismo factor, el determinante se multiplica por ese factor. Seguir leyendo “Propiedades de las Matrices y Determinantes” »

Espacios Fundamentales en Álgebra Lineal

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1. Espacio Fila de A

La eliminación gaussiana actúa sobre una matriz A para producir una matriz escalonada U. El espacio fila de U se obtiene directamente: su dimensión es el rango r y sus filas distintas de cero constituyen una base. Cada operación elemental no altera el espacio fila, ya que cada fila de la matriz U es una combinación lineal de las filas originales de A. Como cada paso puede revertirse mediante una operación elemental, entonces fil(A) = fil(U); por lo tanto, fil(A) tiene la Seguir leyendo “Espacios Fundamentales en Álgebra Lineal” »

Relaciones de Orden, Equivalencia y Espacios Vectoriales

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Relaciones de Orden

Una relación de orden R en un conjunto A verifica las siguientes propiedades:

  • Propiedad reflexiva: ∀a ∈ A, aRa
  • Propiedad antisimétrica: Sean a, b ∈ A. Si aRb y bRa, entonces a = b.
  • Propiedad transitiva: Sean a, b, c ∈ A. Si aRb y bRc, entonces aRc.

Orden Total

Un orden total cumple las propiedades anteriores y además relaciona cualquier par de elementos del conjunto:

∀a, b ∈ A se verifica que aRb o bRa.

Relaciones de Equivalencia

Una relación de equivalencia R en un conjunto Seguir leyendo “Relaciones de Orden, Equivalencia y Espacios Vectoriales” »