1. Ángulo de elevación y depresión

1. Torre Eiffel

Datos:

• Distancia horizontal = 890 m
• Ángulo = 30°
• Altura = h

Como conocemos el cateto opuesto y el adyacente, usamos la tangente:

tan(30°) = h / 890

Despejamos h:

h = 890 × tan(30°)

h = 890 × 0,577

h ≈ 514 m

RESPUESTA: B) 514 m.

2. Rampa

Datos:

• Longitud de la rampa = 10 m
• Ángulo = 16°
• Altura = x

Usamos seno porque x es el cateto opuesto y 10 m es la hipotenusa:

sen(16°) = x / 10

Despejamos x:

x = 10 × sen(16°)

x ≈ 10 × 0,276

x ≈ 2,8 m

RESPUESTA: A) 2,8 m.

2. Ley de senos y ley de cosenos

1. ¿Cuánto mide el lado a?

Como conocemos dos lados y el ángulo que está entre ellos, usamos la ley de cosenos:

a² = b² + c² – 2bc × cos(A)

a² = 7,1² + 6,36² – 2(7,1)(6,36) × cos(75,47°)

a ≈ 8,26

RESPUESTA: D) 8,26.

2. El lado b

Usamos nuevamente la ley de cosenos:

b² = a² + c² – 2ac × cos(B)

b² = 9,57² + 6,04² – 2(9,57)(6,04) × cos(91,96°)

b ≈ 11,49

RESPUESTA: B) 11,49.

3. El ángulo B

Como conocemos los tres lados, usamos la ley de cosenos:

cos(B) = (a² + c² – b²) / (2ac)

cos(B) = (9,57² + 7,12² – 7,41²) / (2 × 9,57 × 7,12)

B ≈ 50,13°

RESPUESTA: D) 50,13°.

4. Longitud del lado c

Como conocemos un lado y su ángulo opuesto, usamos la ley de senos:

c / sen(43,53°) = 8,06 / sen(46,47°)

Despejamos c:

c = [8,06 × sen(43,53°)] / sen(46,47°)

c ≈ 7,67

RESPUESTA: A) 7,67.

3. Identidades trigonométricas

1. Demostrar: tan(α) + cot(α) = sec(α) × csc(α)

Primero convertimos tangente y cotangente:

tan(α) = sen(α) / cos(α)

cot(α) = cos(α) / sen(α)

Entonces:

tan(α) + cot(α) = sen(α) / cos(α) + cos(α) / sen(α)

Buscamos un denominador común:

= [sen²(α) + cos²(α)] / [sen(α) × cos(α)]

Como sen²(α) + cos²(α) = 1:

= 1 / [sen(α) × cos(α)] = sec(α) × csc(α)

IDENTIDAD DEMOSTRADA.

2. Demostrar: cot²(α) = cos²(α) + [cot(α) × cos(α)]²

Desarrollamos el cuadrado:

cot²(α) = cos²(α) + cot²(α) × cos²(α)

Sacamos cos²(α) como factor común:

= cos²(α) × [1 + cot²(α)] = cos²(α) × csc²(α)

= cos²(α) / sen²(α) = cot²(α)

IDENTIDAD DEMOSTRADA.

3. Demostrar: 1 / sec²(α) = sen²(α) × cos²(α) + cos⁴(α)

Sabemos que 1 / sec²(α) = cos²(α). En el lado derecho sacamos cos²(α) como factor común:

cos²(α) × [sen²(α) + cos²(α)] = cos²(α) × 1 = cos²(α)

IDENTIDAD DEMOSTRADA.

4. Demostrar: sec²(α) + csc²(α) = 1 / [sen²(α) × cos²(α)]

Convertimos secante y cosecante:

1 / cos²(α) + 1 / sen²(α) = [sen²(α) + cos²(α)] / [sen²(α) × cos²(α)] = 1 / [sen²(α) × cos²(α)]

IDENTIDAD DEMOSTRADA.

4. Estadística

Tabla de datos:

a) Rango

R = 73 – 10 = 63. RESPUESTA: 63.

b) Media

Media = 2039 / 50 = 40,78. RESPUESTA: 40,78.

c) Desviación media

Σfi × |xi – Media| = 775,44. Desviación media = 775,44 / 50 = 15,51. RESPUESTA: 15,51.

d) Varianza

Σfi × (xi – Media)² = 15526,08. Varianza = 15526,08 / 50 = 310,52. RESPUESTA: 310,52.

e) Desviación estándar

√310,52 ≈ 17,62. RESPUESTA: 17,62.

5. Percentiles

• P20: Datos ordenados (10, 10, 11, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 18). P20 = 10. RESPUESTA: D) 10.
• P40: Datos (10, 10, 11, 14, 15, 16, 16, 17, 18). P40 = 14. RESPUESTA: C) 14.
• P50: Datos (7, 7, 9, 10, 11, 12, 12). P50 = 10. RESPUESTA: D) 10.
• P20: Datos (7, 7, 9, 10, 11, 12, 12, 14, 14). P20 = 7. RESPUESTA: C) 7.

6. Problemas matemáticos

1. Dinero por sucursal

Saldo final = (125.850.000 + 348.675.500 – 156.480.750 – 87.325.600 – 95.750.000 + 75.000.000) / 35 = 5.999.118,57.

RESPUESTA: $5.999.119.

2. Dinero obtenido por la fábrica

Producción neta = (18.750 × 28) – 37.850 = 487.150 unidades. Cajas = 487.150 / 48 ≈ 10.148. Total = 10.148 × 185.750 = $1.884.991.000.

RESPUESTA: $1.884.991.000.

7. Sólidos de revolución

• Desarrollo 1: Cilindro.
• Desarrollo 2: Cono.
• Desarrollo 3: Pirámide.
• Giro de figuras: Triángulo = Cono; Rectángulo = Cilindro.

8. Área y longitud de la circunferencia

• D = 39 cm: A = 0,1194 m², L = 1,2246 m.
• r = 14 cm: A = 6,1544 dm², L = 8,792 dm.
• D = 23,25 mm: A ≈ 4,2434 cm², L = 7,3005 cm.
• R = 5,6 cm: A = 9847,04 mm², L = 351,68 mm.

Resumen de fórmulas

Álgebra y Trigonometría

• SOH-CAH-TOA: Sen=Op/Hip, Cos=Ady/Hip, Tan=Op/Ady.
• Ley de senos: a/sen(A) = b/sen(B).
• Ley de cosenos: a² = b² + c² – 2bc × cos(A).

Geometría

• Área = π × r²; Longitud = 2 × π × r.

Estadística

• Media = Σ(xi × fi) / N.
• Desviación estándar = √Varianza.