Introducción a los casos de Euler
Vamos a trabajar con 2 casos de Euler:
- Uno fácil para entender la mecánica.
- Otro de examen.
Ambos están explicados de forma concisa y directa.
La base teórica es la siguiente: una ecuación de Euler homogénea tiene la forma:
[x^2y»+axy’+by=0]
Su solución real se obtiene mediante la ecuación indicial:
[m^2+(a-1)m+b=0]
- Si las raíces son distintas, la solución es: (c_1x^{m_1}+c_2x^{m_2}).
- Si la raíz es doble, la solución es: (c_1x^m+c_2x^m\log x).
Además, el cambio estándar es:
[x=e^t,\qquad t=\log x]
Una forma equivalente en la homogénea es ensayar directamente (y=x^r).
Caso 1: Ejercicio básico
Ejercicio
[x^2y»-xy’+y=0,\qquad x>0]
Este ejemplo ilustra el caso de raíz doble.
Planteamiento
Es una ecuación de Euler con:
- (a=-1)
- (b=1)
Desarrollo
Paso 1. Ensayamos
[y=x^r]
Paso 2. Derivamos
[y’=r x^{r-1}]
[y»=r(r-1)x^{r-2}]
Paso 3. Sustituimos
[x^2[r(r-1)x^{r-2}] – x[rx^{r-1}] + x^r = 0]
Simplificando términos (x^2\cdot x^{r-2}=x^r) y (x\cdot x^{r-1}=x^r):
[r(r-1)x^r-rx^r+x^r=0]
Sacando factor común (x^r) y dado que (x>0):
[r(r-1)-r+1=0]
Paso 4. Simplificamos
[r^2-r-r+1=0]
[r^2-2r+1=0]
[(r-1)^2=0]
Por tanto, (r=1) es una raíz doble.
Paso 5. Solución
Para raíz doble en Euler:
[\boxed{y(x)=C_1x+C_2x\log x}]
Caso 2: Ejercicio de examen
Ejercicio
[x^2y»-xy’+2y=x\log x,\qquad x>0]
Planteamiento
Es una ecuación de Euler no homogénea. Utilizaremos el método estándar:
[x=e^t,\qquad t=\log x]
Desarrollo
Paso 1. Cambio de variable
[\frac{dy}{dx}=e^{-t}\dot y]
[\frac{d^2y}{dx^2}=e^{-2t}(\ddot y-\dot y)]
Paso 2. Sustitución
Tras sustituir en la ecuación original, obtenemos:
[\ddot y-2\dot y+2y=te^t]
Paso 3. Homogénea asociada
[\lambda^2-2\lambda+2=0 \implies \lambda=1\pm i]
[y_H(t)=C_1e^t\cos t+C_2e^t\sin t]
Paso 4. Solución particular
Probamos (y_p(t)=(a+bt)e^t). Resolviendo, obtenemos (y_p(t)=te^t).
Paso 5. Solución general y cambio inverso
Deshaciendo el cambio (t=\log x, e^t=x):
[\boxed{y(x)=C_1x\cos(\log x)+C_2x\sin(\log x)+x\log x}]
Resumen rápido
Caso fácil
Si (r=1) es raíz doble, la solución es (y=C_1x+C_2x\log x).
Caso examen
Al realizar el cambio (x=e^t), transformamos la ecuación en una de coeficientes constantes, resolvemos la homogénea y la particular, y finalmente volvemos a la variable (x).
Regla de oro para Euler
- Si es homogénea: Puedes usar (y=x^r) o el cambio (x=e^t).
- Si es no homogénea: Utiliza siempre el cambio (x=e^t) para convertirla en una ecuación de coeficientes constantes.