Procesos Estocásticos Discretos y Análisis Espectral de Señales

Procesos Estocásticos Discretos

Indique qué es un proceso estocástico discreto (PED), su relación con sus realizaciones y la variable aleatoria. ¿Qué característica distingue a los PED estacionarios? Un PED asocia a cada instante discreto n una variable aleatoria ????˜[????], constituyendo una concatenación de variables aleatorias. Cada realización ????_k[????] del proceso estocástico constituye una secuencia en la que la amplitud de cada muestra es el valor que ha tomado la variable aleatoria ????˜[????] correspondiente a ese tiempo y en esa realización, es decir es una sucesión de variables aleatorias de n. DIBUJO.Los PED estacionarios son aquellos cuyas propiedades estadísticas son invariantes a una translación temporal, se caracterizan de forma más sencilla:

Características de los PED estacionarios

Promedios instantáneos independientes del instante n
Valor medio o Media ????{????˜[????]} = ????_x = ????????????
Valor cuadrático medio o Potencia media ????{|????˜[????]|2} = ????_x = ????????????
Varianza ????2= ????{|????˜[????] — ????_x |2} = ????_x — |????_x|2= ????????e

Procesos Estocásticos Discretos con Memoria

Los PED con memoria miden la dependencia del PED y solo dependen de la diferencia de tiempos. Algunos de los parámetros utilizados para medir esta dependencia son:

Autocorrelación: ????_xx????] = ????{????˜[???? + ????]????˜∗[????]}
Autocovarianza: ????_xx[????] = ????{(????˜[???? + ????] — ????_x)(????˜[????] — ????_x)∗}
Correlación cruzada: ????_xy[????] = ????{????˜[???? + ????]????˜∗[????]}
Covarianza cruzada: ????_xy[????] = ????{(????˜[???? + ????] — ????_x)(????˜[????] —????_y)∗} = ???? [????] — ????_x ????_y^*

Análisis Espectral de Señales

Indique cómo afecta el enventanado al análisis espectral de señales. Explique la relación de los principales parámetros de las ventanas con la resolución temporal y frecuencial. Que tipos de estimadores usan estas ventanas y con qué finalidad.El enventanado aparece siempre, ya que solo es posible analizar un trozo de señal. Por lo que tomar un fragmento de señal es equivalente a enventanar. ????_w[????] = ????[????] · ????[????]. Los principales parámetros de las ventanas son:

Principales Parámetros de las Ventanas

Ancho del lóbulo principal, ????_LP, directamente relacionado con la longitud de la ventana. A mayor longitud, menor Ancho y mejor resolución frecuencial. La que mejor lo tiene es la rectangular (2/L), el resto lo empeora a 4/L.
Nivel lóbulos secundarios, ????_LS, Cambia en función de la ventana, la peor es la rectangular con 13dB y va aumentando hasta la Hamming que llega a 42dB.

Relación de los Parámetros con la Resolución Temporal y Frecuencial

En el caso de análisis espectral tiempo-frecuencia, la elección de la ventana depende de la resolución frecuencial y ????_LS deseados. En el caso de STFT hablamos también de resolución temporal, que es la capacidad de detectar eventos de duración corta. Tenemos el siguiente compromiso:

Ventanas largas: Buena resolución frecuencial, pero mala temporal
Ventanas cortas: Buena resolución temporal, pero mala frecuencial

Estimadores Espectrales y Ventanas

Todos los estimadores espectrales de la DEP utilizan ventanas. Algunos de los estimadores y ventanas utilizados son:

Periodograma: usa la rectangular y es equivalente a la TFN del estimador sesgado de la Autocorrelación que usa una ventana triangular
Periodograma modificado: cambia por otro tipo de ventanas para mejorar el sesgo del periodograma
Método de Blackman-Tukey: utiliza un enventanado de la estima insesgada de la autocorrelación para mejorar la estimación, pero introduce sesgo en la media (peor resolución) lo que se puede ver como un filtrado paso bajo del espectro

Registros de EEG

Definir, con claridad y rigor, dos parámetros que ayudarían a distinguir entre las dos situaciones que representan los registros de EEG (despierto y sueño ligero).En el registro de la izquierda nos encontramos en una fase despierta y consciente, donde la actividad alfa y beta estarán más presentes. En el registro de la derecha, sueño en fase II, el paciente tendrá una actividad en la banda delta o theta. Se calcularía el periodograma de la señal y se integraría por bandas, sumando juntas las bandas inferiores por un lado (Einf) y las bandas superiores por otro lado (Esup). Comparar esos dos valores podría dar un indicador que distinga ambos estados, por ejemplo, con el cociente (Esup/Einf). En el EEG existe una relación inversa entre la frecuencia de la señal y su amplitud. Cuanto más ordenadas trabajan las neuronas, más sincronizada está la señal, menos contenido en frecuencia (de ahí que planteemos el anterior parámetro), y mayor amplitud se tendrá. Quizás no sea bueno basarse en la medida de la amplitud, pero se puede hacer una comparación entre ambos estados para determinar si uno supone mayor o menor profundidad de sueño. Tomaremos entonces el cálculo del valor eficaz en cada ventana y obtendremos un cociente.