1. Propagación Electromagnética
(1a) Deducción de la ecuación de propagación en cuatro dimensiones
Partiendo de las ecuaciones de Maxwell para el campo eléctrico:
- (1) ∇ × E⃗ = −∂B⃗/∂t
- (2) ∇ × H⃗ = ∂D⃗/∂t + J⃗
Considerando un espacio libre donde B⃗ = μ₀H⃗, D⃗ = ε₀E⃗ y J⃗ = 0, tenemos:
- ∇·B⃗ = 0
- ∇·D⃗ = ρ ⟹ ∇·D⃗ = 0 ⟹ ∇·E⃗ = 0
Las ecuaciones se simplifican a:
- ∇ × E⃗ = −μ₀ ∂E⃗/∂t
- (3) ∇ × H⃗ = ε ∂E⃗/∂t
Calculamos el rotor en ambos lados: ∇ × (∇ × E⃗) = ∇(∇·E⃗) − ∇²E⃗. Dado que ∇·E⃗ = 0, obtenemos:
∇ × (∇ × E⃗) = −∇²E⃗ = −μ · ∂(∇ × H⃗) / ∂t
Sustituyendo en (3): −∇²E⃗ = −μ · ∂/∂t (∂(εE⃗) / ∂t) ⟹ ∇²E⃗ − με · ∂²E⃗ / ∂t² = 0
(1b) Soluciones de onda plana infinita
Utilizando el modelo de onda plana infinita en un medio sin pérdidas, demostramos que las soluciones representan ondas en movimiento:
E⃗ = E(z,t) t̂ ⟹ ∇²E(z,t) − με · ∂²/∂t²(E(z,t)) = 0
Esto proporciona soluciones de funciones continuas con derivadas continuas:
- f₁ = f(√με · z + t) (Onda regresiva)
- f₂ = f(√με · z − t) (Onda progresiva)
La velocidad de propagación es: c = Δz / Δt = 1 / √με
2. Teoría del Rayo y Espacio-Tiempo
(2a) Definición, ventajas y limitaciones
La teoría del rayo es un modelo de estudio de fenómenos espacio-temporales donde las 4D se parametrizan con ‘s’ (longitud del rayo), definiendo al rayo como una trayectoria con un solo grado de libertad.
- Ventajas: Permite la unidad de dimensiones bajo el parámetro ‘s’ y facilita el estudio de la curvatura del espacio-tiempo y la óptica.
- Limitaciones: Dificultad en la superposición de rayos (interferencias) y la incapacidad de analizar componentes transversales de los campos al ser un modelo unidimensional.
(2b) Espacio-tiempo y curvatura del rayo
El espacio-tiempo es la relación intrínseca entre las tres dimensiones espaciales y el tiempo. Un rayo representa una deformación en este tejido donde se propaga.
Utilizando el Triedro de Frenet (r⃗(s), T̂(s), N̂(s), B⃗(s)), definimos la curvatura (κ) y la torsión (δ). Para un medio dieléctrico no homogéneo, la curvatura depende del gradiente de permitividad:
∇·D⃗ = 0 ⟹ ε∇E⃗ + E⃗∇ε = 0 ⟹ ∇E⃗ = −E⃗ · ∇ε / ε
Aplicando el operador diferencial, obtenemos la expresión que representa la curva:
N̂(s)·κ(s) · dE⃗/ds + T̂ · d²E⃗/ds² = −d/ds(E⃗ · ∇ε/ε)
En conclusión, la propagación del rayo a través del espacio-tiempo genera una deformación dinámica dependiente de las propiedades del medio.