Concepto de Matriz

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A_mxn o (a_ij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por a_ij.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Tipos de Matrices

Matriz fila:

Es una matriz constituida por una sola fila.

Matriz columna:

Es una matriz con una sola columna.

Matriz rectangular:

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada:

La que tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j=n+1.

Matriz nula:

Todos los elementos son nulos.

Matriz triangular superior:

Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son 0.

Matriz triangular inferior:

Los elementos situados por encima de la diagonal principal son 0.

Matriz diagonal:

Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar:

Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad:

Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta:

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α · A)^t = α · A^t

(A ·  B)^t = B^t  · A^t

Matriz regular:

Es aquella matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular:

Es aquella que no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente:

Si A² = A.

Matriz involutiva:

Si A² = I.

Matriz simétrica:

Es aquella matriz cuadrada que verifica: A=A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica:

Es aquella matriz cuadrada que verifica: A=-A^t.

Matriz ortogonal:

Si verifica: A·A^t= I

Suma de Matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la matriz suma como: A+B=(a_ij+b_ij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Propiedades

• Interna
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Elemento neutro: A + 0 = A
• Elemento opuesto: A + (-A) = O
• Conmutativa: A + B = B + A

Producto de un Número Real por una Matriz

Dada una matriz A=(a_ij) y un número real k ∈ R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

kA=(k a_ij)

Propiedades

• a ·  (b · A) = (a · b) · A A ∈ M_mxn, a, b ∈ R
• a  ·  (A+B) = a · A + a · B A,B ∈ M_mxn , a ∈ R
• (a+b) · A = a · A+b · A A ∈ M_mxn , a, b ∈ R
• 1 · A = A A ∈ M_mxn

Producto de Matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades

• Asociativa:
  A · (B · C) = (A · B) · C
• Elemento neutro:
  A · I = A
• No es Conmutativa:
  A · B ≠ B · A
• Distributiva del producto respecto de la suma:
  A · (B + C) = A · B + A · C

Matriz Inversa

A · A^-1  = A^-1 · A = I

Propiedades

(A · B)^-1  = B^-1 · A^-1

(A^-1)^-1  = A

(k · A)^-1  = k^-1 · A^-1

(A^t)^-1  = (A^-1)^t

Cálculo por el Método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

2º Utilizando el método Gauss se transforma la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A^-1

Rango de una Matriz

Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.

Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

Cálculo por el Método de Gauss

Podemos descartar una línea si:

• Todos los coeficientes son ceros.
• Hay dos líneas iguales.
• Una línea es proporcional a otra.
• Una línea es combinación lineal de otras.

ineal de otras.