Coordenadas polares:
1º Sustituimos en la función f los valores x1 y x2 por sus corrrespondientes valores en función de las coordenadas polares:
x1=a+pcosO
x2=b+psenO
Obtenemos la función F(p,O) donde solo aparecen p y O que hay que simplificar al máximo.
2º Aplicamos el siguente diagrama:
¿Existe (p,O) con F (p,O)=+ ?
SI: El limite doble no existe—–FIN.
NO: Cálcular L= lim F(p,O)
-Si existe L, es finito y NO depende deO——-límite doble existe y vale L-—–FIN
-Si existe L, es finito y depende de O———–límite doble no existe——-FIN
Condiciones o propiedades de continuidad:
1) El punto(a) pertenece al Dom de f es decir existe f(a)
2) Existe el lim f(x) y es finito
3) lim f(x)= f(a)
Si falla al menos una de las 3 condiciones la función f es discontinua en el punto a.
La suma, resta y producto de funciones continuas es una función continua.
El cociente de funciones continuas es una función continua si el denominador es distinto de cero.
La potencia de funciones es continua si f>0.
En las funciones «por bloques» se comprueban las propiedades de la función de cada bloque y las tres condiciones en los puntos de separación de un bloque con otro.
Incremetos:
Incremento exacto: f = f (x1+t1,x2+t2,…,xn+tn)-f (x1,x2,…,xn) El punto de llegada también debe estar en el dominio para que exista.
Si se modifica una variable : Incremento parcial exacto o incremento parcial.
Si existen dos o más incrementos ti diferentes de cero: Incremento total exacto o incremento total.
2 variables:
Incrementos parciales: x1f=f(x1+h,x2)-f(x1,x2)
x2f=f(x1,x2+k)-f(x1,x2)
Incremento total: f=f(x1+h,x2+k)-f(x1,x2)
3 variables:
Incrementos parciales: x1f=f(x1+t1,x2,x3)-f(x1,x2,x3)
x2f=f(x1,x2+t2,x3)-f(x1,x2,x3)
x3f=f(x1,x2,x3+t3)-f(x1,x2,x3)
Incremento total: f=f(x1+t1,x2+t2,x3+t3)-f(x1,x2,x3)
El incremento exacto mide los cambios de la función en forma exacta.
Cuando modificamos solo una variable del punto usamos el incremento parcial y si variamos más de una variable usamos el incremento total.
Derivadas parciales:
Si la variable incrementa 1 unidad, la función varía aproximadamente el valor de la derivada en el punto de partida.
Las derivadas parciales miden los cambios de la función de forma aproximada y se utilizan cuando se modifica sólo una de las variables.
Operaciones con derivadas:
suma y diferencia: f+g=f+g
producto: (fg)=fg+fg (fgh)=fgh+fgh+fgh
producto por escalar: (af)=af
cociente: (f/g)=(fg-fg)/g2
exponencial: (fg)=fgglnf+gfg-1f
función creciente: df/dxi>0
Si xi aumenta y el resto es constante permanecen fijas—–f
Si xi disminuye y el resto es constante permanecen fijas —-f
función decreciente: df/dxi<0
Si xi aumenta y el resto es constante permanecen fijas —–f
Si xi disminuye y el resto es constante permanecen fijas—-f
Vector gradiente: f=(df/x1,df/dx2,…..,df/dxn)
Matriz Jacobiana J(f): es la matriz de orden m*n que tienepor filas los gradientes de las funciones fi en el orden que se nombran.
Interpretación económica: El coste marginal respecto de la variable xi será la derivada parcial y mide la variación aproximada que experimenta el coste al aumentar la cantidad xi en una unidad y manteniendo fijas las restantes cantidades de los otros productos.
Matriz Hessiana H(f): es la matriz cuadrada de orden n cuyos elementos son las derivadas parciales segundas de la función f.
Diferencial total o incremento aproximado:
La diferencial total mide los cambios de la función de forma aproximada cuando modificamos más de una variable.
Cuando la función es diferenciable (tiene derivadas parciales y estas son funciones continuas) la aproximación es buena
Elasticidades:
Elasticidad-precio: E=(dQ1/dp1)*(p1/Q1) E>1dmd elástica, E<1dmd inelastica, E=1dmd elasticidad unitaria
Elasticidad cruzada: E=(dQ1/dp2)*(p2/Q1) Un aumento del 1% en p2 supone un: incremento si dQ1/dp2>0, decremento si dQ1/dp2<0 aproximado del E% en la dmd del bien A.
E>0bienes sustitutivos, E<0bienes complementarios, E=0 bienes independientes
Como p2>0 y Q1>0 el signo de la elasticida renta es el mismo que el de la derivada parcial.
Elasticidad-renta: E=(dQ1/dY)*(Y/Q1)
Un aumento del 1% en Y supone un: incremento si dQ1/dY>0, decremento si dQ1/dY<0 aproximado del E% en la dmd del bien A.
E>0 bien normal, E<bien inferior.
Autovalores:
Cálculo: Se construye la matriz la matriz A restando a los elementos de la diagonal principal de A. Se cálcula el determinante de esta nueva matriz. Se iguala a cero este determinante y se resuelvela ecuación.
Propiedades:
La suma de los autovalores de la matriz es igual a la traza de A.
El producto de loa autovalores de la matriz A es igual al determinante de A, por tanto si el determinante de A es cero el cero es alguno de sus autovalores.
Si la matriz es diagonal todos los elementos son nulos salvo los de la diagonal principal.
Si lo matriz es cuadrada de orden 2, su polinomio característico es:
Clasificación de matrices simétricas:
Método de los autovalores: A es DP ++++ , A es DN —- ,A es SDP +++0+, A es SDN —0-, A es INDEF +-++-
Método de los menores principales: A es DP ++++, A es DN-+-+-, A es SDP+++0, A es SDN—0, A es INDEF No es DP ni DN y si los demás menores principales son distintos de cero y no es SDP ni SDN. Si +00++ No se puede clasificar
Matriz orlada:
Método de la matriz orlada:
N-m últimos menores principales
Caso1: n-m>2 Si todos tiene el mismo signo y es el de (-1)m es DP, Si alternan de signo empezando por (-1)m+1 es DN, otros casos no se puede clasificar
Caso2: n-m=1 Si el determinante tiene el signo de (-1)m es DP, Si el determinante tiene el signo de (-1)m+1es DN
Optimización sin restrinciones:
Cálculo: Primero se calculan sus puntos estacionarios,críticos o singulares que son las soluciones del sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Después se cálcula la matriz Hessiana de la función f, se evalúa en cada punto estacionario.
Si Hf es DP.El punto es un Min.Si Hf es DN.El punto es un Max.Si Hf es INDEF es un punto de silla.Si SDP o SDN no se puede clasificar.
Optimización con restricciones:
Cálculo: Primero se define la función lagrangiana y luego se calculan los puntos estacionarios derivando respecto de las variables de la función objetivo, después se cálcula la matriz orlada.
Si L es DP será un min, Si L es DN será un max
Funciones homogéneas:
Propiedades:
Las funciones constantes son homogéneas de grado cero.
Las variables f(x)=x son homogéneas de grado 1
Si f y g son homogéneas del mismo grado las funciones suma y resta son homogéneas del mismo grado
Si f y g son homogéneas del mismo grado el producto es una función homogénea con grado la suma de los grados
Si f y g son homogéneas del mismo grado el cociente es una función homogénea con grado la resta de los grados