Método de Integración por Partes
Enunciado: Si f y g son dos funciones continuas con derivada continua en [a, b], entonces se cumple la siguiente igualdad:
∫ab f’ · g = f(b) · g(b) – f(a) · g(a) – ∫ab f · g’
Demostración:
Considerando la regla de la derivada de un producto tenemos que: (f · g)’ = f’ · g + f · g’
Con lo cual se puede deducir que (f · g) es primitiva de (f’ · g + f · g’). Entonces podemos plantear lo siguiente:
∫ab (f’ · g + f · g’) = [f · g] evaluado de a a b = f(b) · g(b) – f(a) · g(a)
Por linealidad tenemos que:
∫ab f’ · g + ∫ab f · g’ = f(b) · g(b) – f(a) · g(a)
Pasando la segunda integral del lado derecho al otro lado de la igualdad, obtenemos la tesis o resultado del teorema:
∫ab f’ · g = f(b) · g(b) – f(a) · g(a) – ∫ab f · g’
Método de Integración por Sustitución
Enunciado: Sea g una función con derivada continua en [a, b] y f una función continua en [g(a), g(b)]. Entonces:
- Integral I: ∫ab f(g(x)) · g'(x) dx
- Integral II: ∫g(a)g(b) f(u) du
Se cumple que: Integral I = Integral II
Demostración:
Vamos a resolver la Integral I:
Sea F(x) la primitiva de f(x). Consideremos la función F(g(x)). Si la derivamos, por la Regla de la Cadena obtenemos:
[F(g(x))]’ = F'(g(x)) · g'(x) = f(g(x)) · g'(x)
Dado que F(x) es la primitiva de f(x), entonces F’ = f.
Por lo tanto, podemos concluir que F(g(x)) es una primitiva de f(g(x)) · g'(x), entonces:
∫ab f(g(x)) · g'(x) dx = [F(g(x))] evaluado de a a b = F(g(b)) – F(g(a)) <– (Resultado 1)
Ahora vamos a resolver la Integral II:
Suponiendo nuevamente que F(x) es la primitiva de f(x) tenemos que:
∫g(a)g(b) f(u) du = [F(u)] evaluado de g(a) a g(b) = F(g(b)) – F(g(a)) <– (Resultado 2)
Vemos que el Resultado 1 y el Resultado 2 son iguales, lo que significa que las integrales I y II lo son.
Entonces queda probada la igualdad.
Regla de Barrow
Enunciado: Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y G una primitiva de f:
∫ab f = G(b) – G(a)
Demostración:
Si G es primitiva de f, entonces tenemos que G'(x) = f(x) para todo x en [a, b]. Además, del Teorema Fundamental sabemos que F(x) = ∫ax f también es primitiva de f en [a, b].
Como dos primitivas de una misma función difieren en una constante, tenemos que: F(x) – G(x) = k para todo x en [a, b]
Por lo tanto: ∫ax f – G(x) = k para todo x en [a, b]
Debemos hallar la constante k. Para ello evaluamos la igualdad anterior en un x conveniente dentro de [a, b]. Este valor conveniente es x = a. De este modo:
∫aa f – G(a) = k ⇒ 0 – G(a) = k ⇒ k = -G(a)
⇒ ∫ax f – G(x) = -G(a) para todo x en [a, b]
Si evaluamos la última igualdad en x = b, tenemos que:
∫ab f – G(b) = -G(a) ⇒ ∫ab f = G(b) – G(a)
Teorema del Valor Medio
Enunciado: Sea f una función continua en el intervalo [a, b] ⇒ existe algún c en [a, b] tal que:
∫ab f(x) dx = f(c) · (b – a)
Demostración:
Como f es continua en el intervalo [a, b] entonces, por el teorema de Weierstrass, podemos afirmar que existe un máximo M y un mínimo m de f en [a, b]. Por la propiedad de acotación de la integral tenemos que:
m · (b – a) ≤ ∫ab f(x) dx ≤ M · (b – a)
Podemos entonces dividir la desigualdad anterior entre (b – a), obteniendo el siguiente resultado:
m ≤ [1 / (b – a)] · ∫ab f(x) dx ≤ M
Entonces y = [1 / (b – a)] · ∫ab f(x) dx es un número que se encuentra entre el mínimo m y el máximo M de la función f en el intervalo [a, b]. Por el teorema de Darboux, podemos decir que existe algún c en (a, b) tal que f(c) = y.
Por lo tanto: [1 / (b – a)] · ∫ab f(x) dx = f(c)
⇒ ∫ab f(x) dx = f(c) · (b – a)
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Enunciado: Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y F(x): [a, b] → R tal que F(x) = ∫ax f(t) dt para todo x en [a, b].
Entonces:
F es derivable en [a, b]
F'(x) = f(x) para todo x en [a, b]
Demostración:
Queremos demostrar que F(x) es derivable para todo x en [a, b]. Empecemos considerando un x0 en (a, b). Queremos probar que F'(x0) = f(x0). Aplicando la definición de derivada de una función en un punto, tenemos que:
F'(x0) = limx → x0 [F(x) – F(x0)] / (x – x0)
Vamos a trabajar con el cociente incremental:
[F(x) – F(x0)] / (x – x0) = [1 / (x – x0)] · [F(x) – F(x0)] = [1 / (x – x0)] · [ ∫ax f – ∫ax0 f ] = [1 / (x – x0)] · [ ∫ax0 f + ∫x0x f – ∫ax0 f ] = [1 / (x – x0)] · ∫x0x f
Por el Teorema del Valor Medio, sabemos que existe cx en [x0, x] (si x > x0, o cx en [x, x0] si x < x0) tal que: ∫x0x f = f(cx) · (x – x0)
Volviendo entonces a la definición de derivada, tenemos que:
F'(x0) = limx → x0 [1 / (x – x0)] · f(cx) · (x – x0) = limx → x0 f(cx)
De la continuidad de f en el intervalo [a, b] y por lo tanto en [x0, x], tenemos que: limx → x0 f(cx) = f(x0)
Entonces: F'(x0) = f(x0)
De forma análoga se demuestra que:
F'(a) = limx → a+ [F(x) – F(a)] / (x – a) = f(a)
F'(b) = limx → b– [F(x) – F(b)] / (x – b) = f(b)