1. Debido a que en una interfaz no es posible utilizar la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell porque las derivadas espaciales quedarían indeterminadas se debe usar la forma integral. Utilice la forma integral para hallar las condiciones de frontera entre dos dieléctricos para los campos eléctricos y magnéticos tanto para las componentes tangenciales como las normales a la superficie.

omponentes normales

el producto interno selecciona solamente las componentes normales de los flujos por lo que:

Donde  : densidad superficial de carga, Coulombs/m². Definido como

La expresión anterior se puede escribir como:

Por los mismos argumentos se demuestra que   debido a que no existe la carga magnética libre.

Componentes Tangenciales

La forma integral de la primera ecuación de Maxwell es:

Cuando se hace tender h a cero, la integral de B se desvanece porque el área  tiende a cero.  . En consecuencia

Que se puede escribir en forma vectorial como

De igual manera se puede obtener que: 

Donde    Amper/m.

1. 2. Utilizando la representación general de ondas planas, halle una expresión para el gradiente (asumiendo que la onda se propaga en dirección progresiva). A partir del resultado obtenido, halle una expresión general para representar otros operadores espaciales tales como la divergencia, el rotor y el laplaciano.
   

Puesto que la onda se propaga en dirección progresiva, se define

Gradiente

Divergencia

Rotor

Laplaciano

1. Al aplicar fronteras en el  medio de propagación, las soluciones a la ecuación de propagación se restringen a un número finito de soluciones. En sus propias palabras explique que son los autovalores y como se obtienen? ¿Qué son las fercuencias de corte y como se relacionan con los autovalores?

Usando la representación general de ondas planas u tomando como dirección de propagación el eje z se tiene:

Donde el último término define una frecuencia de corte (frecuencia por debajo de la cual los modos no puede ser transmitido) y nos indica que los valores de la constante de propagación se obtienen a partir del valor en espacio libre y de los autovalores k_c,nm, estos autovalores definen as frecuencias de corte, las velocidades de fase y de grupo y en consecuencia el ancho de banda de la guía.

1. Asumiendo un sistema de coordenadas cartesianas reescriba la ecuación de propagación de manera de poder aplicar el método de separación de variables en un medio general (que puede tener o no pérdidas). Utilice el método para demostrar que en un medio infinito (sin condiciones de frontera) la solución es una onda plana cuya dirección de propagación vendrá definida por una constante de propagación vectorial.

Si se considera a la ecuación de propagación expresada en coordenadas rectangulares se tiene:

Al aplicar el operador a cada una de las componentes del vector se tiene:

 , donde . Nótese que esta es una ecuación escalar. Resolviendo por el método de variables separables nos queda:

, y al dividir por fgh se tiene.

Aunque esta solución es general, frecuentemente se considera el caso particular del medio sin pérdidas donde , entonces:

Como las variables x,y y z son independientes entre sí y no hay derivadas cruzadas, entonces cada uno de los sumandos debe ser igual a una constante. Vamos a definir tres constantes de separación de manera que:

    y    

Cada una de las ecuaciones individuales es una ecuación armónica y sus soluciones son exponenciales complejas, es decir

El doble signo es para indicar que hay dos soluciones, cada una desplazándose en sentido opuesto de cada eje.

Vamos a considerar solamente las ondas progresivas, de manera que

Se sustituye           y          

Se obtiene    

Y de igual manera para las componentes  y  nos quedan:

1. Al aplicar fronteras en el  medio de propagación, las soluciones a la ecuación de propagación se restringen a un número finito de soluciones. En sus propias palabras explique que son los autovalores y como se obtienen? ¿Qué son las fercuencias de corte y como se relacionan con los autovalores?

Usando la representación general de ondas planas u tomando como dirección de propagación el eje z se tiene:

Donde el último término define una frecuencia de corte (frecuencia por debajo de la cual los modos no puede ser transmitido) y nos indica que los valores de la constante de propagación se obtienen a partir del valor en espacio libre y de los autovalores k_c,nm, estos autovalores definen as frecuencias de corte, las velocidades de fase y de grupo y en consecuencia el ancho de banda de la guía.

1. Halle las soluciones al problema de la guía de ondas cargada con un dieléctrico que ocupe parcialmente el ancho de la guía utilizando el método variacional. Describa todos y cada uno de los pasos hasta llegar a la ecuación trascendente para los autovalores   y .

Vamos a considerar una guía de ondas rectangular parcialmente llena con un dieléctrico y simétrica para tomar solo los modos de la forma TE_m0. Los cuales no tienen dependencia en “y” así que solamente consideraremos las variaciones en “x”.

Entonces, las ecuaciones de propagación se escribirán por separado para las dos secciones, la de dieléctrico y la de aire. Las ecuaciones de propagación quedan:

Las constantes k_d y k_a son los números de onda de corte para las regiones dieléctrica y de aire respectivamente.

Las constantes k_d y k_a son los números de onda de corte para las regiones dieléctrica y de aire respectivamente. Se definen a partir de la constante de propagación b (a lo largo del eje de las “z”):

 es la constante de propagación en espacio libre. La constante de propagación en la guía, β, debe ser la misma en ambos medios para que haya coherencia de fase en la interfaz x=t.

Como las ecuaciones diferenciales son armónicas, las soluciones son senos y cosenos de manera que:

La forma del argumento de la segunda ecuación se eligió para simplificar la evaluación en la frontera x=a

Las componentes del campo magnético se obtienen del gradiente de h_z y las del campo eléctrico  al multiplicar por la impedancia de onda.

El resultado para la componente vertical del campo eléctrico (que es la que necesitamos para aplicar las condiciones de frontera en x=0, t y a) es:

Como el campo eléctrico tangencial en las paredes metálicas x=0 y x=a debe ser cero entonces se requiere que B=D=0

A continuación se fuerza la condición de continuidad de los campos tangenciales (E_y y H_z) en la interfaz x=t de manera que:

Para obtener la solución no trivial se debe cumplir que: