Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra al menos una derivada de una función desconocida de una o más variables. La ecuación puede contener más de una función desconocida, una, algunas o todas las variables de las que dependen, una o varias funciones conocidas de dichas variables y constantes definidas.
En estos términos, no es posible considerar como ecuaciones diferenciales a aquellas que contienen constantes cuyo valor se puede establecer arbitrariamente.
Soluciones de Ecuaciones Diferenciales
Una ecuación diferencial se utiliza cuando se necesita hallar una función que represente un proceso. Si es posible determinar o proponer una expresión que muestre cómo varía esa función desconocida al variar las variables, se pueden obtener diferentes tipos de soluciones:
Solución General
La solución general incluye un determinado número de constantes arbitrarias. Representa a la función desconocida como una familia de curvas. Esta familia de curvas tiene la propiedad de satisfacer la ecuación diferencial.
Soluciones Particulares
A cada una de estas curvas, que no contienen constantes arbitrarias y son funciones que satisfacen la ecuación diferencial, se les llama soluciones particulares. Estas soluciones se obtienen al asignar valores determinados a las constantes arbitrarias de la solución general.
Problemas con Condiciones Iniciales y de Frontera
- Condiciones iniciales: Los valores de la función y de sus derivadas están definidos para un valor determinado de la variable independiente.
- Valores de frontera: Las restricciones están dadas sobre los valores que toma la función para distintos valores de la variable independiente.
Solución Singular
Una función que satisface la ecuación diferencial pero que no es el resultado de integrarla y aplicar luego una combinación particular de los valores de las constantes arbitrarias.
Clasificación de Ecuaciones Diferenciales
Cantidad de Variables Independientes
- EDO (Ecuación Diferencial Ordinaria): La función desconocida depende de 1 variable independiente.
- EDP (Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales): La función desconocida depende de más de 1 variable independiente.
Orden de la Ecuación Diferencial
Es el orden de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación diferencial.
Linealidad
La ecuación diferencial es lineal si puede escribirse en la forma:
y(n)+pn-1(x)y(n-1)+…+p1(x)y’+p0(x)y=r(x)
donde tanto p0, p1, …, pn-1, que se denominan coeficientes de la ecuación diferencial lineal, como r(x) son funciones cualesquiera de la variable independiente x.
- Si r(x)= 0, la ecuación es homogénea.
Homogeneidad
Si cada uno de los términos de la ecuación diferencial contiene ya sea a la variable dependiente o a alguna de sus derivadas, se dice que la ecuación es homogénea.
Relación entre Orden, Constantes Arbitrarias y Condiciones Particulares
Dada una ecuación diferencial ordinaria, su solución general surge de la integración sucesiva de las derivadas de la función desconocida.
En consecuencia, el número correspondiente al orden de la ecuación diferencial es el mismo número de constantes arbitrarias que aparecerán en la solución general.
Para determinar estas constantes y encontrar una solución particular, será necesario un número de condiciones, ya sea iniciales o de contorno. Este número será igual al número de constantes a determinar, ya que cada condición da lugar a una ecuación, para formar así un sistema de ecuaciones algebraicas con la misma cantidad de ecuaciones que incógnitas. Una vez eliminadas las constantes arbitrarias, la función desconocida no incluye constantes arbitrarias.
Teoremas de Existencia y Unicidad
Existen teoremas que garantizan la existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial bajo ciertas condiciones. Estos teoremas son fundamentales para el estudio de las ecuaciones diferenciales.
Métodos de Resolución
Existen diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales, dependiendo de su tipo y características. Algunos métodos comunes incluyen:
- Variables separables
- Ecuaciones homogéneas
- Ecuaciones lineales de primer orden
- Factor integrante
- Transformada de Laplace
El estudio de las ecuaciones diferenciales es un campo amplio y complejo, con aplicaciones en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería.