Definición y Fundamentos del Logaritmo

Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.

Ejemplo

A partir de la base 5, observamos las siguientes potencias:

• 5⁰ = 1
• 5¹ = 5
• 5² = 25
• 5³ = 125, etc.

Luego, siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe log₅ 1) es 0, porque 0 es el exponente al que hay que elevar la base 5 para que dé 1; el log₅ 5 es 1; el log₅ 25 es 2, el log₅ 125 es 3, etc.

Restricciones Fundamentales del Logaritmo

• No existe el logaritmo de los números negativos.
• El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión log_b a, siempre, por definición, a ∈ R⁺ y b ∈ R⁺ – {1}.
• La expresión log_b a se lee como: “logaritmo de a en base b”.

Volvamos a la definición de logaritmo: “exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado”. Si lo escribimos como ecuación, corresponde a resolver log_b a = x, donde b es la base del logaritmo y a es su argumento, con a y b positivos.

Ejemplo: Cálculo de log₇ 343

Calcula el valor de log₇ 343. Esto equivale a resolver la ecuación:

log₇ 343 = x

Entonces, ya que la base del logaritmo es 7, el exponente no se conoce y 343 es el argumento (el valor de la potencia), se puede escribir:

1. 7^x = 343
2. 7^x = 7³
3. Luego, igualando los exponentes, se concluye que x = 3.

Por lo tanto, log₇ 343 = 3.

Ejemplo: Cálculo de log_0,7 0,343

Calcula el valor de log_0,7 0,343. Esto equivale a resolver la ecuación:

log_0,7 0,343 = x

Luego:

1. 0,7^x = 0,343
2. 0,7^x = (0,7)³
3. Luego, igualando exponentes tenemos: x = 3.

log_0,7 0,343 = 3.

Para una definición más completa de logaritmos, se determinarán restricciones respecto de su base y su argumento.

2. Propiedades de los Logaritmos

A continuación, se detallan las principales propiedades operacionales de los logaritmos.

2.1. Logaritmo de la unidad

El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.

log_b (1) = 0 ; con b ≠ 1, b > 0

Ejemplo

• log₅ (1) = 0 porque 5⁰ = 1
• log₇ (1) = 0 porque 7⁰ = 1
• log₂₀ (1) = 0 ⇔ 20⁰ = 1

2.2. Logaritmo de la base

El logaritmo de la base es igual a 1.

log_b (b) = 1 ; con b ≠ 1, b > 0

Ejemplo

• log₅ (5) = 1 ⇔ 5¹ = 5
• log₆ (6) = 1 ⇔ 6¹ = 6
• log₁₂ (12) = 1 ⇔ 12¹ = 12

2.3. Logaritmo de una potencia con igual base

El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número.

log_b bⁿ = n, con b ≠ 1, b > 0

Ejemplo

log₆ 6³ = 3

2.4. Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log_b (a • c) = log_b a + log_b c

Ejemplo

log_b (5 • 2) = log_b 5 + log_b 2

2.5. Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo del divisor.

Ejemplo

2.6. Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

log_a cⁿ = n log_a c

Ejemplo

log₃ 10² = 2 log₃ 10

2.7. Logaritmo de una raíz

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.

Ejemplo

2.8. Cambio de base

para todo p, a, b > 0; b, c ≠ 1

Ejemplo

log₂ 5 = log 5 / log 2

Advertencias sobre las Propiedades

En relación con las propiedades de los logaritmos se debe tener presente que no se cumplen en general las siguientes operaciones:

• log_b (p · q) ≠ log_b p · log_b q
• log_b (p + q) ≠ log_b p + log_b q
• log_b (p – q) ≠ log_b p – log_b q

3. Ejercicios de Cálculo de Logaritmos

Calcula cada uno de los siguientes logaritmos:

1. log₂ 64
2. log₉ 243
3. log₅ 1
4. log₃ 3
5. log₅ 5⁷
6. log₈₁ 27
7. log₁₂₈ 1
8. log₆ 6³

Respuestas

1. 6
2. 5/2
3. 0
4. 1
5. 7
6. 3/4
7. 0
8. 3

4. Ecuaciones Logarítmicas

Se llama ecuación logarítmica a aquella cuya incógnita se encuentra en el argumento de un logaritmo. Para resolver una ecuación logarítmica se utilizan las propiedades de los logaritmos o su definición.

Para resolverlas, consideraremos esencialmente cuatro aspectos:

1. Reducir las expresiones, cuando sea posible, utilizando las propiedades de logaritmos, hasta establecer una igualdad de logaritmos.
2. Si dos logaritmos de igual base son iguales, sus argumentos son iguales.
3. Utilizar la definición de logaritmo para obtener el valor de la incógnita que se encuentra en el argumento.
4. Verificar la solución para considerar las posibles restricciones.

4.1. Resolución por Definición

Se llega a una ecuación del tipo:

log_b f(x) = c

Donde f(x) es una expresión de x, y c es un número real.

Se aplica la definición de logaritmo para obtener:

b^c = f(x)

Ejemplo

Resolver: log₅ 5x + log₅ 30 = 3

Aplicando la propiedad del producto y luego la definición:

log₅ (5x · 30) = 3
log₅ (150x) = 3
150x = 5³
150x = 125
x = 125 / 150
x = 5/6

Ahora comprobamos el resultado reemplazando el valor de x en la ecuación:

log₅ (5 · 5/6) + log₅ 30 = 3
log₅ (25/6) + log₅ 30 = 3
log₅ (25/6 · 30) = 3
log₅ (25 · 5) = 3
log₅ (125) = 3
log₅ (5³) = 3
3 = 3 (Verificado)

4.2. Resolución por Igualación de Argumentos

Se llega a una ecuación del tipo:

log_b f(x) = log_b g(x)

Donde f(x) y g(x) son expresiones en x.

De la ecuación se deduce que:

f(x) = g(x)

Ejemplo

Resolver la siguiente ecuación: log (4x + 6) − 1 = log (2x − 1)

Desarrollo:

log (4x + 6) − log 10 = log (2x − 1)
log [(4x + 6) / 10] = log (2x − 1)
(4x + 6) / 10 = 2x − 1
4x + 6 = 10(2x − 1)
4x + 6 = 20x − 10
16 = 16x
x = 1

Se comprueba el resultado reemplazando el valor de x en la ecuación, igual que en el ejemplo anterior.