DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA

1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA

Para que f(x) sea la función de densidad o función de probabilidad de una variable aleatoria, es decir, que:

• f(x) ≥ 0 para toda la x
• El área bajo la curva y = f (x) sea igual a 1
• Para hallar la probabilidad P [a ≤ x ≤ b], obtendremos el área que hay bajo la curva en el intervalo [a, b]:

• Las probabilidades de sucesos puntuales son cero:

P [x = a ] = 0 , P [x = b ] = 0…

1. PARÁMETROS

μ media : centro de gravedad de la distribución

desviación típica: media de la dispersión . cuantifica el grado de separación de los valores respecto a la media.

Estos parámetros pueden ser asignados a ojo, pero su cálculo exacto no lo podemos calcular, ya que no conocemos las herramientas necesarias.

1. CÁLCULO DE PROBABILIDAD A PARTIR DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD
2. Cuando la función se da gráficamente

A [ f (x)] = A [TOTAL] = A (1) + A (2) …

Cuando tengamos el área total vamos calculando las probabilidades

1. Distribución uniforme f (x) = K

Ejemplo: Representar la función de densidad uniforme definida en el intervalo [2,6].
El área total de la función de densidad es 1 y su representación es un rectángulo

Área del cuadrado = b x a

1 = 4 x k k = 1/4

1. DISTRIBUCIÓN NORMAL

Es una ley, descripta , ajustadamente en cuyo resultado final intervienen gran número de factores. La importancia de esta distribución se debe a la enorme frecuencia con que aparece en las situaciones más variadas.
Resulta ideoneo para explicar:

• Comportamientos sociales ; aceptación de una norma
• Actitudes económicas ; consumo, impacto de un producto
• Aptitudes sociológicas ; consumo de ciertos productos por individuos de un mismo grupo humano
• Medidas antropométrica ; peso, estatura …
• Medidas morfológicas ; calibre de los guisantes …
• Errores en mediciones ; la estatura de una montaña
• Carácter fisiológico ; efecto de una dosis de un fármaco
• Carácter físico ; resistencia de un material

En general como hemos dicho anteriormente cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.

1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL

La curva normal es una función de probabilidad continua y simétrica. Cuyo máximo coincide con la μ. Por su forma acampanada se denomina campana de Gauss. También se le llama curva normal o curva de Gauss

Para cada valor de una media μ y una desviación típica hay una curva normal que se denomina N ( μ , )

1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BAJO LA CURVA NORMAL

Bajo la curva normal N ( μ, ). Es del siguiente modo:

1. DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR

Una distribución normal de media 0 y desviación típica 1 N(0,1), se denomina distribución normal estandar y la variable correspondiente normal tipificada y la denotamo z.

Las diferentes áreas que pueden calcularse bajo la curva normal estandar y por tanto las probabilidades de z, están calculadas y vienen dadas por diversos modelos de tablas de las cuales utilizaremos 1.

En ella muestra las áreas comprendidad entre menos infinito y un punto k.

N (0,1) BUSCAR EN LA TABLA

P [Z ≤ K] – P [Z ≤ K ]
P [Z
P [Z ≥ K] = 1 – [ Z ≤ K ]
P [ K1≤ Z ≤ K2] = P [Z 1]

EJEMPLO:

P [Z ≥ 1,37] = O’9147

P [Z ] = 1

P [8

P [Z ≥ 1’37] = 1 – P [Z ≤ 1’37 = 0.0082]

P [1’37 ≤ Z ≤ 2’50] = P [Z ≤ 2’5] – [Z ≤ 1’37] = 0’0791

1. TIPIFICACIÓN

Las distribuciones normales que manejamos en la práctica no suelen ser estándar, este problema se soluciona con un proceso llamado tipificación, que consiste en transformar la variable X; N ( μ, ) en la Z: N (0,1)

Esto consiste en hacer el siguiente cambio.

EJEMPLO:

X: N (8,2) ————–> Z: N (0,1)

1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BAJO LA CURVA NORMAL

Bajo la curva normal N ( μ, ). Es del siguiente modo

1. DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR

Una distribución normal de media 0 y desviación típica 1 N(0,1), se denomina distribución normal estandar y la variable correspondiente normal tipificada y la denotamo z.

Las diferentes áreas que pueden calcularse bajo la curva normal estandar y por tanto las probabilidades de z, están calculadas y vienen dadas por diversos modelos de tablas de las cuales utilizaremos 1.

En ella muestra las áreas comprendidad entre menos infinito y un punto k.

N (0,1) BUSCAR EN LA TABLA
P [Z ≤ K] – P [Z ≤ K ]
P [Z
P [Z ≥ K] = 1 – [ Z ≤ K ]
P [ K1≤ Z ≤ K2] = P [Z 1]

EJEMPLO:
P [Z ≥ 1,37] = O’9147
P [Z ] = 1
P [8
P [Z ≥ 1’37] = 1 – P [Z ≤ 1’37 = 0.0082]
P [1’37 ≤ Z ≤ 2’50] = P [Z ≤ 2’5] – [Z ≤ 1’37] = 0’0791

TIPIFICACIÓN

Las distribuciones normales que manejamos en la práctica no suelen ser estándar, este problema se soluciona con un proceso llamado tipificación, que consiste en transformar la variable X; N ( μ, ) en la Z: N (0,1)

Esto consiste en hacer el siguiente cambio.

EJEMPLO:

X: N (8,2) ————–> Z: N (0,1)