Fundamentos Esenciales de la Probabilidad
Conceptos Básicos
Experimento
Se refiere a un proceso de observación del cual se obtiene un resultado entre distintos resultados posibles.
Espacio Muestral
Es el conjunto de todos los resultados posibles que se pueden obtener de un experimento y se representa con la letra S.
Evento en Probabilidad
Se le llama así a la colección de uno o varios resultados posibles o puntos muestrales que pertenecen a un espacio muestral. Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Generalmente, los eventos se representan con la letra Ef.
Evento Simple
Se le denomina a la colección de un único resultado posible o un único punto muestral.
Evento Compuesto
Se le denomina a la colección de dos o más resultados posibles o puntos muestrales.
Enfoques de la Probabilidad
Enfoque Clásico
Se refiere a la probabilidad de que un evento ocurra basado en la suposición de que todos los resultados posibles son igualmente probables. Se aplica en casos como tirar un dado justo, donde hay 6 resultados posibles.
Enfoque Frecuentista
La probabilidad de que ocurra un evento A se calcula dividiendo el número de veces que se ha presentado dicho evento (ya sea en observaciones realizadas en el pasado o a través de un muestreo), representado como n(A), entre el número total de observaciones realizadas, que se representa como N.
Enfoque Subjetivo
Empleando el punto de vista subjetivo, la probabilidad de que suceda un evento es asignada por un individuo, desde su apreciación personal o con base en el grado de creencia que tiene sobre la ocurrencia de un evento particular.
Tipos de Probabilidad y Eventos Relacionados
Probabilidad Simple
Es la posibilidad de que ocurra un evento simple; es decir, es la probabilidad de que se presente un punto muestral, misma que ya no puede ser descompuesta o desagregada en otras.
Probabilidad Conjunta
Se le denomina a la posibilidad de que ocurra un evento compuesto, es decir, la probabilidad de que se presenten dos o más puntos muestrales.
Unión de Eventos
Es la colección de puntos muestrales que se encuentran contenidos en los mismos. Si se tienen dos eventos A y B, la unión de estos es la colección de puntos muestrales que se encuentran contenidos en el evento A o en el evento B, y se representa con el símbolo ∪.
Intersección de Eventos A y B
Es el conjunto de todos los puntos muestrales que se encuentran contenidos en ambos eventos, A y B, simultáneamente y es representado por el símbolo ∩.
Evento Complementario
Se denomina a la colección de posibles resultados o puntos muestrales del espacio muestral que no fueron incluidos en otro evento ya definido.
Reglas y Fórmulas Clave
Probabilidad Condicional
Es aquella que está condicionada o determinada por la presencia de otro evento. La probabilidad condicional se representa mediante la siguiente fórmula:
- P(A/B): Probabilidad de que se presente el evento A, dado que ocurrió el evento B.
- P(A∩B): Probabilidad de la intersección del evento A con el evento B, es decir, la probabilidad de que ocurran estos eventos de forma simultánea.
- P(B): Probabilidad de que suceda el evento B. Observe que el evento B es el que condiciona la probabilidad del evento A.
Regla de la Multiplicación
Si se tienen dos eventos que son estadísticamente independientes, la ley de la multiplicación establece que la probabilidad de que suceda el evento A y el evento B de manera simultánea es P(A∩B) = P(A) * P(B).
- P(A∩B): Es la probabilidad de que se presenten los eventos A y B.
- P(A): La probabilidad de que suceda el evento A.
- P(B): La probabilidad de que suceda el evento B.
Herramientas para el Cálculo de Probabilidades
Diagrama de Venn
Es una herramienta gráfica utilizada en la probabilidad para representar la distribución de frecuencias de un conjunto de datos. Consiste en un conjunto de rectángulos que se superponen, donde la altura de cada rectángulo representa la frecuencia relativa o la probabilidad de que los datos caigan dentro de un determinado intervalo.
Tablas de Contingencia de Probabilidad
Son una herramienta estadística que se utiliza para analizar la relación entre dos variables categóricas. Estas tablas muestran la frecuencia o la probabilidad conjunta de ocurrencia de las diferentes combinaciones de categorías de las variables.
Pasos para construir una tabla de contingencia:
- Recolectar los datos: Reúna los datos necesarios para construir la tabla de contingencia. Necesitará tener información sobre dos variables categóricas y la frecuencia o el número de casos en cada combinación de categorías.
- Identificar las categorías: Identifique todas las categorías únicas para cada una de las variables. Por ejemplo, si está analizando la relación entre el género y la preferencia musical, las categorías de la variable género pueden ser «masculino» y «femenino», mientras que las categorías de la variable preferencia musical pueden ser «rock», «pop» y «jazz».
- Construir la tabla: Cree una tabla con filas y columnas que representen las categorías de las dos variables. Etiquete las filas con las categorías de una variable y las columnas con las categorías de la otra.
- Contar las frecuencias: Llene la tabla de contingencia con las frecuencias o los números de casos en cada combinación de categorías. Por ejemplo, si tiene 50 personas en total y 20 de ellas son hombres que prefieren el rock, coloque el número 20 en la celda correspondiente a la fila «masculino» y la columna «rock».
- Calcular las probabilidades: Calcule las probabilidades relativas de cada celda dividiendo el número de casos en esa celda por el total de casos. Si tiene las frecuencias, divida cada celda por el total de casos para obtener la frecuencia relativa.
- Analizar la tabla: Analice la tabla de contingencia de probabilidad para identificar patrones o relaciones entre las variables. Puede observar qué combinaciones de categorías tienen una mayor probabilidad conjunta y si hay alguna dependencia o independencia entre las variables.
Diagrama de Árbol
Es una representación gráfica de eventos que se desarrollan en secuencia. Es útil para la visualización y el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de diferentes eventos.
Ejemplos y Aplicaciones
Ejemplo 1: Tabla de Contingencia
Observe la tabla de probabilidad e identifique las siguientes probabilidades:
- La probabilidad de seleccionar a un estudiante de Administración: 0.45912
- La probabilidad de seleccionar a un estudiante que sea Mujer: 0.52516
- La probabilidad de seleccionar a un estudiante hombre de Finanzas: 0.19497
- La probabilidad de seleccionar a un estudiante mujer de Auditoría: 0.11321
- La probabilidad de seleccionar a un estudiante mujer de Administración: 0.25786
Ejemplo 2: Cálculo de Probabilidades
- Determina la P(B) = 98/231
- Determina la P(P∩B) = 28/231
- Determina la P(C∩B) = 45/231
- Determina la P(C∩R) = 5/231
- Determina la P(R∩A) = 90/231
- Determina la P(S∩B) = 30/231
Ejemplo 3: Fórmulas de Probabilidad
Probabilidad Clásica:
Probabilidad Condicional:
Probabilidad Conjunta:
P(A∩B) = P(A) * P(B)
Problema 1: Admisión Universitaria
En el proceso de admisión a las maestrías en negocios durante el año 2000, la universidad de Harvard admitió al 13.5% de los aspirantes, mientras que el 5.1% de los aspirantes fue admitido en ambas universidades.
¿Cuál es la probabilidad de que un aspirante sea admitido en al menos una de las dos universidades citadas?
Datos proporcionados:
- P(A) = 8.3%
- P(B) = 13.5%
- P(A∪B) = 5.4%
Problema 2: Economía
De acuerdo con algunos estudios realizados por analistas de mercado, se sabe que la probabilidad de que exista una devaluación del peso y una caída en la tasa de interés es de 0.2, y la probabilidad de que se presente una caída en la tasa de interés es de 0.5.
Señale cuál será la probabilidad de que exista una devaluación en el peso, dado que se presente una caída en la tasa de interés.
Se desea conocer cuál es la probabilidad de que exista una devaluación del peso influida por la caída en las tasas de interés, por lo que definimos:
- Evento A: Devaluación.
- Evento B: Caída en las tasas de interés.
Datos:
- P(A∩B) = 0.2
- P(B) = 0.5
