Álgebra Lineal Esencial: Fundamentos de Matrices, Vectores y Sistemas

Álgebra Lineal Esencial: Fundamentos de Matrices y Vectores

Producto de Matrices: Propiedades Esenciales

Asociativa: (A · B) · C = A · (B · C)
Distributiva:
- A · (B + C) = A · B + A · C
- (B + C) · A = B · A + C · A
No Conmutativa: En general, A · B ≠ B · A

Transposición de una Matriz: Propiedades Clave

(A + B)^t = A^t + B^t
(A^t)^t = A
(k · B)^t = k · B^t (donde k es un escalar)
(A · B)^t = B^t · A^t

Matriz Inversa (A^-1)

La matriz inversa A^-1 de una matriz A cumple que A · A^-1 = A^-1 · A = I, donde I es la matriz identidad.

Una propiedad importante es la inversa de un producto de matrices:

(A · B)^-1 = B^-1 · A^-1

Demostración:

(B^-1 · A^-1) · (A · B) = B^-1 · (A^-1 · A) · B = B^-1 · I · B = B^-1 · B = I

(A · B) · (B^-1 · A^-1) = A · (B · B^-1) · A^-1 = A · I · A^-1 = A · A^-1 = I

Matriz Ortogonal

Una matriz A es ortogonal si su inversa es igual a su traspuesta:

A^-1 = A^t

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Considerando un sistema de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes A y matriz ampliada A|B, y n como el número de incógnitas:

Sistema Compatible Determinado (SCD): Rango(A) = Rango(A|B) = n (solución única)
Sistema Compatible Indeterminado (SCI): Rango(A) = Rango(A|B) < n (infinitas soluciones)
Sistema Incompatible (SI): Rango(A) ≠ Rango(A|B) (sin solución)

Ejercicios Resueltos y Conceptos Adicionales

Ejercicio 1: Determinantes y Rango de una Matriz

Enunciado: Sea una matriz de orden f x c. Demuestre que si en una matriz todos los determinantes de orden k, con k menor que f y c, son 0, entonces no existe ningún determinante de orden k+1 que sea distinto de 0.

Suposición: Se asume que todos los determinantes de orden k son nulos.

Demostración:

Demostraremos, mediante un ejemplo de determinante de esta matriz, que si todos los determinantes de orden k (en nuestro caso, 2) son 0, entonces todos los de orden k+1 también son 0. Esto es fácil de observar si nos fijamos en el método para calcular el determinante, ya que cuando calculamos el determinante de orden k+1, se utilizan los determinantes de orden k en la multiplicación (y un producto por 0 es 0). Por lo tanto, si todos los determinantes de orden k son 0, los de orden k+1 también lo serán.

Observamos que lo descrito se produce en todas las submatrices posibles de 3×3 de la matriz ejemplo del punto 1 (que no está presente en el documento original, pero se infiere), y además, que se puede aplicar a cualquier matriz. Gracias a este hecho, podemos calcular el Rango de una matriz utilizando sus determinantes.

Ejercicio 2: Transformaciones Lineales

Enunciado: Tenemos una transformación lineal en la que primero hacemos una cizalla, después giramos +30 grados y finalmente estiramos al doble según el eje X.

(Nota: La solución o desarrollo de este ejercicio no se proporciona en el documento original.)

Ejercicio 3: Matrices de Transformación de Coordenadas

Enunciado: Sabemos que i₁ = i_a + 2j_a; j₁ = 2i_a – 1.5j_a. Esto nos permite escribir directamente una matriz de transformación. ¿Cuál, la de S_a a S₁ o la de S₁ a S_a?

Explicación:

i₁ = 1 vez la componente i, 2 veces la componente j del vector unitario de S_a.
j₁ = 2 veces la componente i, -1.5 veces la componente j del vector unitario en S_a.

La matriz de transformación es de S₁ a S_a, ya que expresa los vectores de la base S₁ en términos de la base S_a.

Vectores: Conceptos Fundamentales

Vector Fijo

Un vector fijo viene determinado por un par ordenado de puntos A y B, que se indica como AB.

Al punto A se le llama origen.
Al punto B se le llama extremo.

La representación de un vector en el plano o en el espacio de 3 dimensiones se hace mediante segmentos orientados que terminan en una punta de flecha en el punto extremo.

Así pues, un vector fijo viene caracterizado mediante:

Las coordenadas del punto origen.
Las coordenadas del punto extremo.

En un contexto geométrico, las tres características de un vector fijo son:

Módulo: Es la longitud del segmento.
Dirección: Es la de la recta a la que pertenece.
Sentido: Queda determinado al ir del origen al extremo; indicado por la punta de la flecha.

También es necesario saber el origen o punto de aplicación.

Vectores Libres

Se definen a partir de lo que tienen en común todos los vectores fijos equivalentes. Un vector libre queda, por tanto, definido únicamente por las componentes de todos los vectores fijos a los que representa, sin importar dónde esté el origen.

Un vector libre puede definirse conociendo:

Primera forma: Módulo, dirección y sentido.
Segunda forma: Sus componentes.

El módulo o longitud, igual que en los vectores fijos, es la longitud del segmento.
Su dirección queda definida por el ángulo que forma con la dirección positiva del eje OX.
Su sentido queda definido igualmente por el ángulo citado.

Combinación Lineal de Vectores

Dados los vectores v₁, v₂, …, v_n, llamamos combinación lineal al resultado de efectuar la operación:

c₁v₁ + c₂v₂ + … + c_nv_n

donde c₁, c₂, …, c_n son escalares (números reales).

Propiedades de la Suma de Vectores

(u + v) + w = u + (v + w) – Ley Asociativa
u + v = v + u – Ley Conmutativa
u + 0 = 0 + u = u – Elemento Neutro (vector nulo)
u + (-u) = (-u) + u = 0 – Elemento Opuesto (vector opuesto)

Propiedades del Producto de un Vector por un Escalar

a (u + v) = a u + a v – Ley Distributiva del producto por escalar respecto a la suma de vectores
(a + b) u = a u + b u – Ley Distributiva del producto por escalar respecto a la suma de escalares
(a · b) u = a (b u) – Ley Asociativa del producto entre escalares y vectores
1 · u = u – Elemento Neutro (unidad escalar)

Distancia entre Dos Puntos A y B

La distancia entre dos puntos A = (x₁, y₁, z₁) y B = (x₂, y₂, z₂) se calcula mediante la fórmula:

Fórmula: d(A, B) = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²)

Vectores Ortogonales

Dos vectores u y v son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es cero:

u · v = 0

Proyección Ortogonal de un Vector v sobre otro u

La proyección ortogonal del vector v sobre el vector u se calcula como:

Proj_u v = ((v · u) / ||u||²) · u

Producto Vectorial

El producto vectorial de dos vectores u y v (en ℝ³) es un vector perpendicular a ambos, cuyo módulo es ||u|| ||v|| sen(θ) y su sentido se determina por la regla de la mano derecha.

Si u = (u_x, u_y, u_z) y v = (v_x, v_y, v_z), entonces:

u × v = (u_yv_z – u_zv_y, u_zv_x – u_xv_z, u_xv_y – u_yv_x)

Dependencia e Independencia Lineal

Vectores Linealmente Dependientes (LD): Un conjunto de vectores es LD si al menos uno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los demás. Esto ocurre si el determinante formado por sus componentes es cero.
Vectores Linealmente Independientes (LI): Un conjunto de vectores es LI si ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los demás. Esto ocurre si el determinante formado por sus componentes es distinto de cero.

Sistema Generador

Un conjunto de vectores {v₁, v₂, …, v_n} es un sistema generador de un espacio vectorial E si cualquier vector de E puede expresarse como combinación lineal de ellos.

Base de un Espacio Vectorial

Diremos que el conjunto de vectores {x₁, x₂, …, x_n} es una base de un espacio vectorial E si cumple dos condiciones:

Es un sistema generador de E.
Es linealmente independiente (L.I.).

Ejercicio 4: Paralelismo de Vectores

Enunciado: Demuestre que el paralelismo es transitivo, es decir, que dados tres vectores u, v y w, si u es paralelo a v y v es paralelo a w, entonces necesariamente u es paralelo a w. Demuestre también que dados dos vectores u y v, con u paralelo a v, entonces u + v es paralelo a ambos.

Demostración:

Aplicamos la definición de paralelismo de vectores: dos vectores son paralelos si uno es un múltiplo escalar del otro. Es decir, u es paralelo a v si u = λv para algún escalar λ ≠ 0. Y v es paralelo a w si v = μw para algún escalar μ ≠ 0.

Sustituyendo la segunda expresión en la primera, tenemos: u = λ(μw) = (λμ)w. Dado que λ y μ son escalares distintos de cero, su producto (λμ) también es un escalar distinto de cero. Así, vemos claramente que los vectores u y w cumplen la condición de paralelismo. Por tanto, hemos demostrado que «si u es paralelo a v y v es paralelo a w, entonces necesariamente u es paralelo a w«.

Para la segunda parte, si u es paralelo a v, entonces u = λv para algún escalar λ ≠ 0. Entonces, u + v = λv + v = (λ + 1)v. Si λ ≠ -1, entonces (λ + 1) es un escalar distinto de cero, lo que implica que u + v es paralelo a v. De manera similar, u + v = u + (1/λ)u = (1 + 1/λ)u. Si λ ≠ -1, entonces (1 + 1/λ) es un escalar distinto de cero, lo que implica que u + v es paralelo a u. Si λ = -1, entonces u = –v, y u + v = 0, el vector nulo, que se considera paralelo a cualquier vector.

Ejercicio 5: Ecuaciones Vectoriales y Escalares

Enunciado: Sean los vectores conocidos u y v, un vector desconocido x, un escalar conocido a y uno desconocido y. Ni los vectores conocidos ni el escalar conocido son 0. Las siguientes ecuaciones, ¿tienen solución siempre? No se olvide de justificar sus respuestas.

(Nota: Las ecuaciones a las que se refiere el enunciado no están presentes en el documento original. Se asume que son ecuaciones típicas como x = u – v, u = yv, etc. Se responderá de forma general.)

Justificaciones:

Ecuaciones de la forma x = u – v: Sí que tienen solución siempre, porque siempre existe la diferencia entre vectores. Lo que puede pasar es que los vectores sean iguales y, por tanto, el resultado sea el vector nulo (0).
Ecuaciones de la forma u = yv: Por definición, sabemos que dos vectores son paralelos cuando cumplen que u = λv. Por lo tanto, en el caso de esta ecuación, tiene solución solo cuando los vectores u y v sean paralelos. Si no son paralelos, no existe un escalar y que cumpla la igualdad.
Ecuaciones de la forma u + x = v: Sí que tienen solución, ya que siempre existe la diferencia entre vectores (x = v – u). Además, si descomponemos cada componente, nos quedan dos o tres ecuaciones con dos o tres incógnitas (dependiendo de la dimensión del espacio), de las que podríamos sacar las soluciones.

Ejercicio 6: Definición de Vectores Linealmente Independientes

Enunciado: DEFINICIÓN DE LINEALMENTE INDEPENDIENTE:

Desarrollo:

Primero escribimos la definición de vectores linealmente independientes: Un conjunto de vectores {v₁, v₂, …, v_n} es linealmente independiente si la única combinación lineal que da como resultado el vector nulo es aquella en la que todos los escalares son cero. Es decir:
c₁v₁ + c₂v₂ + … + c_nv_n = 0
implica que c₁ = c₂ = … = c_n = 0.
Suponemos que al menos un valor de c no es 0. Por ejemplo, c₁ ≠ 0.
Con esta suposición, si la combinación lineal es igual a cero y al menos un escalar es distinto de cero, entonces los vectores son linealmente dependientes. En este caso, se podría despejar uno de los vectores como combinación lineal de los demás. Por ejemplo, si c₁ ≠ 0:
v₁ = (-c₂/c₁)v₂ + … + (-c_n/c₁)v_n

Si todos los valores de c son 0 (como dice la definición de independencia lineal), no se podría despejar la ecuación como se ha hecho en el punto 3. Por tanto, no se podría escribir un vector como combinación lineal de los otros. También observamos que para la dependencia lineal, no solo es suficiente que un valor de c sea distinto de 0, sino que si al menos uno es distinto de 0, ya implica dependencia lineal. Esto es debido a que si c₁ ≠ 0, podemos dividir por c₁ y expresar v₁ en función de los demás. Si todos los c_i fueran 0, la división no sería posible.

Conclusión: Hemos demostrado que si como mínimo un valor de c₁, c₂, …, c_n es distinto de 0, entonces los vectores son linealmente dependientes y se puede poner uno de los vectores como combinación lineal de los demás.

Conceptos Adicionales de Álgebra Lineal

Propiedades de los Determinantes y Rango

El rango de una matriz no podrá ser 4 o 5 (si la matriz es de menor orden, por ejemplo, 3×3), ya que para que se puedan dar estos casos, tiene que haber un determinante menor distinto de 0 de ese orden.
Si dos columnas o filas son iguales, el determinante es 0.
Si toda una fila o columna es de 0, el determinante es 0.
Si los elementos de una fila son múltiplos de otra, el determinante es 0.
Si en el determinante de A, una fila o columna es combinación lineal de otras filas o columnas, el determinante es 0.

Sistemas de Ecuaciones: Compatibilidad

Si tenemos un Sistema Compatible Determinado (SCD) y añadimos una ecuación más que sea linealmente independiente de las anteriores, el sistema resultante podría volverse incompatible o seguir siendo compatible determinado (si la nueva ecuación es redundante o consistente con la solución única).

Geometría: Círculo y Elipse

Sabemos que el área de un círculo es πr², ya que su distancia horizontal y vertical (el radio) son iguales. Sin embargo, en la elipse no lo son (semiejes a y b), por lo tanto, su área es πab. Con esto nos damos cuenta de que el círculo es un tipo específico de elipse, donde los semiejes son iguales (a = b = r).