Corrientes Laminares, de Línea y Dipolos Elementales

Las corrientes M y J utilizadas en las ecuaciones de Maxwell generalizadas son densidades volumétricas en unidades de V/m² y A/m². Explique cómo se pueden convertir a corrientes laminares, de línea o dipolos elementales para tratar casos particulares de excitación, como los que pueden ocurrir en las interfaces.

Respuesta: Para simplificar el análisis electromagnético en las interfaces, se idealizan las distribuciones de corriente considerando que están confinadas en regiones infinitesimales del espacio. Como la corriente es nula fuera de esa región, se emplea la función Delta de Dirac en los ejes perpendiculares donde no hay corriente:

1. Corrientes Laminares / Superficiales (Js en A/m, Ms en V/m): La corriente se confina en un plano infinitesimal (por ejemplo, z = z₀). Se multiplica por una Delta de Dirac en el eje perpendicular (z): J(x,y,z) = Js(x,y) · δ(z – z₀) [A/m²].
2. Corrientes de Línea (I₀ en A, V₀ en V): La corriente existe únicamente a lo largo de un filamento o línea. Se multiplica por dos Deltas de Dirac, una en cada eje donde la corriente se anula (y y z): J(x,y,z) = x̂ I₀(x) · δ(y – y₀) · δ(z – z₀) [A/m²].
3. Dipolos Elementales / Puntuales (Il en A·m, Vl en V·m): La corriente está concentrada en un único punto del espacio (x₀, y₀, z₀). Se multiplica por tres Deltas de Dirac (una en cada eje cartesiano): J(x,y,z) = x̂ Il · δ(x – x₀) · δ(y – y₀) · δ(z – z₀) [A/m²].

Ecuación de Propagación, Separación de Variables y Onda Plana

Asumiendo un sistema de coordenadas cartesiano, reescriba la ecuación de propagación de manera que se pueda aplicar el método de separación de variables en un medio general (que puede tener o no pérdidas). Utilice el método para demostrar que en un medio infinito (sin condiciones de frontera) la solución es una onda plana cuya dirección de propagación vendrá definida por una constante de propagación vectorial.

Respuesta: Partiendo de la ecuación de onda vectorial en un medio general:

(∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²) E(x,y,z) – γ² E(x,y,z) = 0

Aplicando separación de variables Ex(x,y,z) = f(x)g(y)h(z):

f»gh + fg»h + fgh» – γ²fgh = 0 ⇒ f»/f + g»/g + h»/h – γ² = 0

Como x, y, z son independientes entre sí:

f»/f = γ_x², g»/g = γ_y², h»/h = γ_z² ⇒ γ_x² + γ_y² + γ_z² = γ²

Para un medio sin pérdidas o con representación de fase, γ² = -β², resultando en β_x² + β_y² + β_z² = β². Al expresar la solución armónica progresiva:

Ex(x,y,z) = A e^{-j(β_xx + β_yy + β_zz)}

Definiendo el vector de posición r = x x̂ + y ŷ + z ẑ y la constante de propagación vectorial β = β_x x̂ + β_y ŷ + β_z ẑ, se demuestra que la solución es:

E(x,y,z) = A e^{-j β · r}

Resonancias Transversales, Autovalores y Frecuencias de Corte

¿Qué entiende Ud. por resonancias transversales en una línea de transmisión (coaxial, guía de ondas, stripline o microlínea)? En sus propias palabras explique qué son los autovalores y cómo se obtienen. ¿Qué son las frecuencias de corte y cómo se relacionan con los autovalores?

Respuesta:

Resonancias Transversales

Es el fenómeno que ocurre cuando las ondas electromagnéticas se propagan transversalmente por la línea, chocando de forma continua contra las paredes conductoras o interfaces. Esta interferencia produce perturbaciones que generan ondas estacionarias en el plano transversal mientras la onda útil se desplaza longitudinalmente.

Autovalores

Son los valores propios o números de onda transversales k_c que se obtienen al resolver la ecuación armónica de onda, forzando el cumplimiento de las condiciones de frontera de la guía para los modos TE y TM.

Frecuencias de Corte (f_c)

Son parámetros límite que determinan si un modo se propaga o no. Funcionan como un filtro pasa-altos: si la frecuencia de trabajo está por debajo de f_c, el modo no se propaga (modo evanescente); si está por encima, se propaga libremente.

Relación

Los autovalores k_c determinan directamente el valor de la frecuencia de corte:

f_c,mn = k_c / (2π√(με)) = 1 / (2π√(με)) · √((mπ/a)² + (nπ/b)²)

Autovalores y Frecuencias de Corte en Medios con Fronteras

Al aplicar fronteras en el medio de propagación, las soluciones a la ecuación de propagación se restringen a un número finito de soluciones. En sus propias palabras explique qué son los autovalores y cómo se obtienen. ¿Qué son las frecuencias de corte y cómo se relacionan con los autovalores?

Respuesta:

Autovalores

Son las soluciones cuantitativas k_c que se hallan de las ecuaciones diferenciales de propagación para satisfacer las condiciones de frontera exigidas por las paredes físicas de la guía en los modos TE y TM.

Frecuencias de Corte (f_c)

Es la frecuencia mínima a la cual un modo de propagación específico puede transmitir potencia a lo largo de la estructura.

Relación con los Autovalores

Al introducir fronteras, el dominio espacial se cuantiza y los autovalores fijan el número discreto de modos transmisibles en la guía. Cada autovalor k_c define exactamente el punto de conmutación donde la constante de propagación longitudinal β_z = √(k₀² – k_c²) pasa de ser imaginaria (modo evanescente) a ser real (modo propagante).

Matriz ABCD de una Impedancia en Serie

Halle la matriz ABCD para una red constituida exclusivamente por una impedancia en serie entre los puertos 1 y 2.

Respuesta:

Por la Ley de Voltajes de Kirchhoff en el bucle serie: V₁ = V₂ + Z · I₂.

Por la Ley de Corrientes de Kirchhoff en la línea serie: I₁ = I₂ ⇒ I₁ = 0 · V₂ + 1 · I₂.

Comparando con las ecuaciones constitutivas V₁ = A · V₂ + B · I₂ e I₁ = C · V₂ + D · I₂, obtenemos A = 1, B = Z, C = 0, D = 1.

Matriz Resultante:

[A B; C D] = [1 Z; 0 1]