Definiciones de Probabilidad

Definición Clásica

Se define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de casos en los que ocurre A (casos favorables) y el número de casos posibles. Ejemplo: Probabilidad de que lanzando un dado salga el 1.
P(A) =

Definición Frecuentista

Se define la probabilidad de un suceso A como la proporción de veces que ocurriría si realizamos el experimento infinitas veces. Se utiliza para fenómenos que tienen la misma probabilidad de ocurrir, pero cuando el número de pruebas es muy grande:
P(A) = lim_n→∞ f(a) = lim_n→∞

Ejemplo: Probabilidad de votar al PP.

Definición Subjetiva

Se utiliza para fenómenos que no se pueden repetir (bajo las mismas condiciones) y define la probabilidad de un suceso como el grado de creencia que una persona tenga. Esta posibilidad, posiblemente, se base en su experiencia o en sus conocimientos (experiencia empírica), pero es una opinión subjetiva y, por tanto, puede cambiar de una persona a otra.

Ejemplo: Probabilidad de tener que rescatar a la economía española.

Definición Logicista

Define la probabilidad como el grado de creencia según la evidencia empírica; es lógico pensar que esa probabilidad sea válida. A diferencia de la subjetiva, se basa únicamente en el conocimiento empírico existente.

Ejemplo: Probabilidad de que llueva mañana.

Tipos de Experimentos

Experimento Aleatorio

Puede que conozcamos los posibles resultados, pero en una prueba concreta, no podemos determinar (saber de antemano) el resultado de esta.

Ejemplo: Lanzamiento de una moneda.

Experimento Determinista

Conocemos de antemano el resultado del experimento (físico o químico).

Espacio Muestral

Conjunto de posibles resultados de un experimento: Ω = cara o cruz.

Variable Aleatoria

Un experimento puede ser cuantitativo (los resultados son números). Ejemplo: Lanzar una moneda, la nota de un examen.

También puede ser cualitativo (los resultados son letras, cualidades, características). Ejemplo: Lanzar una moneda. En los experimentos cualitativos no se puede trabajar directamente con los valores en las operaciones matemáticas. Una variable aleatoria es una función que transforma en números los resultados del experimento para poder trabajar con ellos matemáticamente. Ejemplo: La cara de una moneda es 0 y la cruz es 1.

Conceptos Clave en Probabilidad

Sucesos Incompatibles

Si ocurre uno, no puede ocurrir el otro.

Sucesos Independientes

Si sucede uno, no influye en que ocurra el otro.

Variables Aleatorias Discretas

Es aquella que entre dos valores de esta siempre hay números finitos (números enteros).

Variables Aleatorias Continuas

Es aquella que entre dos valores siempre podemos encontrar infinitos valores (números decimales).

Funciones de Probabilidad

Función de Probabilidad

Asigna a cada valor de la variable su probabilidad concreta, y se llama para las variables discretas “función de cuantía” Pi = P(x = Xi) y para las variables continuas “función de densidad” f(x). El problema es que en las variables continuas la probabilidad en los puntos concretos es 0, por lo tanto, con la función de densidad no calculamos probabilidades en puntos concretos, sino probabilidades en intervalos. La función de cuantía cumple que ∑Pi = 1.

Función de Distribución

Calcula la probabilidad de que la variable tome un valor ≤ al que queremos calcular: F(x) = P(x ≤ x). Nota: En las variables discretas, la función de distribución se calcula con probabilidades individuales; en las variables continuas, la función de distribución se calcula integrando la función de densidad, por lo tanto, la función de densidad es la derivada de la función de distribución.

Momentos de una Variable

Son los valores que caracterizan una variable y se calculan como E(x – a)^r de algunas funciones de esa variable. Siendo a un número cualquiera, aunque en general a = 0 o a = E(x). De esta forma, podemos hablar de dos tipos de momentos:

1. Momentos con respecto al origen (a = 0) → E(X^r) → Para r = 1 → E(x) → Esperanza matemática.
2. Momentos centrados o respecto a la media a = E(x) → E(x – E(x))^r → r = 2 → E(x) → E(x – E(x))² = Varianza de x.

Experimento de Bernoulli

Función de cuantía. E(x). Var(x): Experimento que se realiza una vez y solo tiene 2 resultados mutuamente excluyentes: éxito y fracaso, siendo:

P(E) = P
P(F) = q = 1 – P

Variable x = nº de éxitos en una prueba (0 fracaso, 1 éxito).

E(x) = ∑xi pi = 0q + 1p = P.

Var(x) = E(x²) – (E(x))² → Var(x) = p – p² = p(1 – p) = pq.

E(x²) = ∑xi² pi = 0²q + 1²p = p.

Distribución de Poisson

Se utiliza para 2 casos:

1. Teoría de colas: sucesos que ocurren por unidad de tiempo o de espacio.
2. Teoría de casos raros: (enfermedades raras) sucesos que, realizándose muchas veces, tienen una probabilidad de éxito muy pequeña. Esto nos permite definir la Poisson como una aproximación de la binomial cuando n es relativamente grande y p pequeña.

Teorema Central del Límite

Es un teorema estadístico que dice que la suma de un número grande de variables tiende a distribuirse como una normal, aunque las variables individualmente no sigan esa distribución.