I. Conjuntos Numéricos y Operaciones Fundamentales
1.1. Conjuntos Numéricos
Números Naturales: Son los que usamos para contar o enumerar y se simbolizan con la letra $\boldsymbol{N}$.
Números Enteros: Están formados por los naturales, el cero y los naturales precedidos por el signo menos (los enteros negativos). Se simbolizan con la letra $\boldsymbol{Z}$.
Números Racionales: Son aquellos que pueden expresarse como un cociente de enteros con denominador distinto de cero. Se simbolizan con la letra $\boldsymbol{Q}$.
Números Irracionales: Son aquellos que no pueden expresarse como un cociente de enteros y su expresión decimal es infinita no periódica.
Números Reales: El conjunto de los números Reales está formado por los números racionales y los números irracionales y se denota por $\boldsymbol{R}$.
1.2. Operaciones Básicas
Suma o Adición: La suma o adición de dos números naturales $a$ y $b$ es otro número natural $a + b$ que se obtiene de agregarle a uno de ellos tantas unidades como represente el otro.
Multiplicación o Producto: La multiplicación o producto de dos números naturales $a$ y $b$ es otro número natural $a \cdot b$ que se obtiene de sumar uno de ellos tantas veces como indique el otro.
Potencia Enésima: Dado un número racional $a$ y un número natural $n$, llamamos potencia enésima de $a$ al número que se obtiene de multiplicar $a$ por sí mismo tantas veces como indique $n$.
Raíz Enésima: Dado un número racional $a$ y un natural $n$, llamamos raíz enésima de $a$ al número $b$ que elevado a la $n$ nos da $a$, exceptuando el caso en el que $a < 0$ y $n$ es par.
II. Expresiones Algebraicas y Polinomios
2.1. Conceptos Fundamentales
Valor Absoluto: El valor absoluto de un número “$a$” se denota $|a|$.
Expresión Algebraica: Es toda combinación de números, expresados por letras, o por letras y cifras, vinculadas entre sí mediante las operaciones de suma, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Valor Numérico: El valor numérico de una expresión algebraica para $x = a$, es el número que se obtiene reemplazando en la expresión la indeterminada $x$ por $a$ y resolviendo las operaciones indicadas.
2.2. Monomios y Polinomios
Monomio: Es aquella expresión algebraica entera que tiene un solo término, es decir, que las indeterminadas están vinculadas solamente por las operaciones de multiplicación y potenciación con exponente entero no negativo.
Polinomio: Es aquella expresión algebraica entera en la que las indeterminadas están vinculadas solamente por las operaciones de suma, resta, multiplicación y potenciación con exponente entero no negativo. En definitiva, un polinomio puede definirse como una suma algebraica de monomios.
Polinomio de Grado $n$: Se llama polinomio de grado $n$ en la indeterminada $x$ a toda expresión algebraica entera de la forma $P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$, siendo $a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$ números reales y $n$ un número que pertenece a los enteros no negativos.
III. Operaciones con Polinomios
3.1. Suma, Resta y Producto
Suma de Polinomios: La suma de dos o más polinomios es otro polinomio, cuyos términos son los términos de los polinomios sumandos, reduciendo previamente los semejantes.
Diferencia de Polinomios: La diferencia de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene de sumar al minuendo, el opuesto del sustraendo.
Producto de Polinomios: El producto de dos o más polinomios es otro polinomio que se obtiene sumando los productos parciales que surgen de aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y reduciendo términos semejantes.
3.2. Productos Notables
Producto de Binomios Conjugados: Es igual a la diferencia de los cuadrados de sus términos: $(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$.
Potencia Enésima de un Polinomio: Calcular la potencia enésima de un polinomio significa multiplicar $n$ veces dicho polinomio por sí mismo, siendo $n$ un número natural.
Cuadrado de un Binomio: Es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos más el doble producto del primer término por el segundo: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
3.3. División de Polinomios
Algoritmo de la División: Dividir el polinomio $P(x)$ por $Q(x)$ implicará obtener los polinomios $C(x)$ (cociente) y $R(x)$ (resto), de tal forma que se verifique que el dividendo sea igual al producto del cociente por el divisor, más el resto:
$$P(x) = C(x) \cdot Q(x) + R(x)$$
Teorema del Resto: El resto de dividir un polinomio de grado $n$ por otro de la forma $x \pm a$, es el valor numérico del polinomio dividendo, para $x$ igual a $a$ cambiado de signo. Es decir, $R(x) = P(-a)$.
Divisibilidad: Un polinomio $P(x)$ es divisible por otro $Q(x)$ cuando existe un polinomio $C(x)$ tal que $P(x) = C(x) \cdot Q(x)$, es decir, $R(x) = 0$.
IV. Factorización de Expresiones Algebraicas
4.1. Métodos de Factorización
Factorizar: Expresar una expresión algebraica como el producto de dos o más factores.
Factor Común: Se extrae factor común cuando todos los términos del polinomio tienen un mismo factor numérico y/o literal, es decir, cada término de dicho polinomio es divisible por el mismo monomio.
Factor Común por Grupos: Se extrae factor común por grupos cuando en el polinomio existen grupos de igual número de términos, cada uno de los cuales tiene un factor común y, al extraerlo, la expresión obtenida en cada grupo es la misma.
Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP): Consiste en encontrar el binomio que elevado al cuadrado reproduzca el trinomio dado.
Factorización de un Cuatrinomio Cubo Perfecto (CCP): Consiste en encontrar el binomio que elevado al cubo reproduzca el cuatrinomio dado.
Diferencia de Cuadrados: Toda diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las bases: $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$.
V. Fracciones y Ecuaciones
5.1. Fracciones Algebraicas
Definición: Se llama fracción algebraica al cociente entre dos polinomios $P$ y $Q$, es decir, a la expresión $\frac{P}{Q}$ siendo $Q \neq 0$.
Producto de Fracciones Algebraicas: Es otra fracción algebraica, que tiene como numerador el producto de los numeradores de los factores y como denominador el producto de los denominadores de los factores.
Cociente de Fracciones Algebraicas: Es otra fracción algebraica, que se obtiene multiplicando la fracción algebraica dividendo por la recíproca de la fracción algebraica divisor.
5.2. Ecuaciones
Ecuación: Es una igualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para ciertos valores de las letras a las que denominamos incógnitas.
Raíces o Soluciones: Son aquellos valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación planteada.
Ecuaciones Equivalentes: Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas raíces o soluciones.
5.3. Tipos de Ecuaciones
Ecuación Lineal o de Primer Grado: En una variable “$x$” es aquella que puede ser expresada de la siguiente forma: $ax + b = 0$.
Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado: En una variable $x$ es aquella que puede ser expresada de la siguiente forma: $ax^2 + bx + c = 0$.
Ecuación Fraccionaria: En una variable $x$ es aquella que puede ser expresada de la siguiente forma:
Ecuación Lineal con Dos Incógnitas: Es aquella que tiene la siguiente estructura: $ax + by = c$.
VI. Sistemas de Ecuaciones Lineales
6.1. Clasificación de Sistemas
Compatible Determinado: Un sistema de ecuaciones lineales se dice compatible determinado cuando posee una única solución.
Compatible Indeterminado: Un sistema de ecuaciones lineales se dice compatible indeterminado cuando posee infinitas soluciones.
Incompatible: Un sistema de ecuaciones lineales se dice incompatible cuando no posee solución.