Fundamentos de Geometría: Conceptos Primitivos

Punto:

Marca una posición y no tiene tamaño.

Línea:

Sucesión continua de puntos; puede ser curva o recta.

Recta:

Línea que es perfectamente recta y se extiende indefinidamente en ambas direcciones (sin principio ni fin).

Plano:

Superficie plana que se extiende en todas direcciones (dos dimensiones).

Ángulo:

Abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto (vértice).

Clasificación y Tipos de Ángulos

Tipos de Ángulos según su Medida

1. Ángulo Agudo

   Menor que 90°.

2. Ángulo Recto

   Igual a 90°.

3. Ángulo Obtuso

   Mayor que 90° y menor que 180°.

4. Ángulo Llano (o Plano)

   180°.

5. Ángulo Reflejo

   Mayor que 180° y menor que 360°.

6. Ángulo Completo

   360° (también llamado perígono o ángulo de vuelta completa).

Relaciones entre Ángulos

Además de la clasificación por medida, existen conceptos relacionales:

• Complementarios: Suman 90°.
• Suplementarios: Suman 180°.
• Adyacentes.
• Opuestos por el vértice, etc.

¿Cuánto suman los ángulos suplementarios?

Suman 180°.

¿Dos ángulos complementarios son agudos? (Justificación)

Sí. Si dos ángulos son complementarios, suman 90°. Por lo tanto, cada uno debe ser menor que 90° (por eso son agudos) — salvo el caso extremo 0°/90° que no se considera un ángulo positivo habitual; en la práctica, ambos serán agudos.

¿Cuáles son los ángulos complementarios?

Definición: Dos ángulos cuya suma es 90°.

Ejemplos: 30° y 60°; 45° y 45°.

¿Cuáles son los ángulos suplementarios?

Definición: Dos ángulos cuya suma es 180°.

Ejemplos: 110° y 70°; 90° y 90°.

Polígonos y Cuadriláteros

Definición de Polígono

¿Qué es un polígono?

Figura plana cerrada formada por segmentos de recta (lados) que se encuentran por pares en vértices.

Clasificación de Triángulos

¿Por qué se llama triángulo escaleno?

Porque los tres lados tienen longitudes diferentes (ningún par de lados iguales).

¿Por qué se llama triángulo isósceles?

Porque tiene dos lados iguales (y, por tanto, dos ángulos iguales).

¿Por qué se llama triángulo equilátero?

Porque tiene los tres lados iguales (y los tres ángulos iguales de 60°).

¿Por qué se llama triángulo acutángulo?

Acutángulo: Sus tres ángulos son agudos (cada uno < 90°).

¿Por qué se llama triángulo obtusángulo?

Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (mayor que 90°) y los otros dos agudos.

Cuadriláteros Notables

¿A qué se llama romboide?

Un paralelogramo cuyos lados opuestos son pares de lados iguales y paralelos, pero no necesariamente todos los lados iguales (es decir, paralelogramo “no cuadrado, no rombo”).

¿A qué se llama rombo?

Cuadrilátero con los cuatro lados iguales y lados opuestos paralelos; sus diagonales se cortan perpendicularmente y se bisecan mutuamente.

Elementos Fundamentales y Teoremas

Conceptos de Rectas y Segmentos

¿Qué es una semirrecta y un segmento?

• Semirrecta (o rayo): Parte de una recta que tiene un punto de inicio (vértice) y se extiende indefinidamente en una dirección.
• Segmento: Porción de recta delimitada por dos puntos (tienen longitud finita).

¿Qué es la distancia entre dos puntos?

Es la longitud del segmento que une ambos puntos (medida usualmente con unidades: cm, m, etc.).

¿A qué se llama bisectriz de un ángulo?

Es la semirrecta que divide un ángulo en dos ángulos iguales.

Teoremas y Propiedades

¿Cuál es la fórmula del área de un círculo?

Respuesta correcta: b) A = πr².

¿Cuál es una propiedad del rombo?

a) Todos los ángulos son agudos. — Falso.

b) Tiene lados opuestos paralelos. — Correcto.

c) Tiene cuatro ángulos rectos. — No necesariamente (eso sería un cuadrado).

Respuesta: b).

Nombre del teorema (triángulo rectángulo: hipotenusa² = suma catetos²)

a) Tales. — No.

b) Pitágoras. — Correcto.

c) Euler. — No.

Cuando dos segmentos de una recta tienen la misma longitud se conocen como:

a) Incongruentes — No.

b) Colineales — Indica que están en la misma línea, pero no dice que midan igual.

c) Paralelos — No aplica (en la misma recta no son paralelos).

d) Congruentes. Correcto.

¿Qué tipo de polígono tiene todos sus lados y ángulos iguales?

Opciones: a) Triángulo equilátero. b) Cuadrado. c) Trapecio.

Respuesta: Tanto a) Triángulo equilátero como b) Cuadrado cumplen (son polígonos regulares). El trapecio no. Si se pide UNA sola opción habitual: “polígono regular” (ambos a y b son casos).

Puntos y Rectas Notables del Triángulo

Mediatriz y Circuncentro

¿Qué es la mediatriz de un triángulo?

Mediatriz (de un lado): La recta perpendicular que pasa por el punto medio de ese lado. En un triángulo, las tres mediatrices son las perpendiculares a cada lado por sus puntos medios.

¿Qué es el circuncentro?

Punto donde se cortan las tres mediatrices del triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita (esta circunferencia pasa por los tres vértices).

Instrucciones para dibujar la mediatriz y su circuncentro

1. Para cada lado del triángulo: Encuentra el punto medio del lado.
2. Traza la perpendicular por ese punto medio (esa es la mediatriz del lado).
3. Repite para otro lado (o los tres); la intersección de dos mediatrices es el circuncentro.
4. Señala el circuncentro con O y traza la circunferencia con centro O que pase por un vértice (esa circunferencia pasará por los 3 vértices).

Bisectriz e Incentro

¿Qué es la bisectriz de un triángulo?

La bisectriz de un triángulo es la semirrecta que divide cada ángulo interior en dos ángulos iguales. En total hay tres bisectrices (una por vértice).

¿Qué es el incentro?

Punto donde se cortan las tres bisectrices internas. Es el centro de la circunferencia inscrita (la que toca los tres lados).

Instrucciones para dibujar la bisectriz y el incentro

En cada vértice: traza la bisectriz (divide el ángulo en dos). Las tres se intersectan en el incentro I. Desde I traza la perpendicular a un lado: será el radio de la circunferencia inscrita y tocará cada lado en un punto de tangencia.

Mediana y Baricentro

¿Qué es la mediana de un triángulo?

Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

¿Qué es el baricentro?

Baricentro (o centroide): Punto donde se intersectan las tres medianas. Es el centro de masa del triángulo; está a 2/3 de la mediana contado desde el vértice.

Instrucciones para dibujar la mediana y el baricentro

Para cada vértice: localiza el punto medio del lado opuesto y une con el vértice (esa es la mediana). Las tres medianas se intersectan en el baricentro G. Marca G.

Altura y Ortocentro

Traza en cada caso la altura (a, b, c)

Altura (o altura relativa): Segmento desde un vértice perpendicular al lado opuesto (o su extensión).

Instrucciones: Desde el vértice correspondiente traza una recta perpendicular al lado opuesto; la intersección con ese lado (o su prolongación) es el pie de la altura.

Resumen de Puntos Notables

En las figuras traza en a) el incentro y en b) el baricentro

a) Incentro: Traza las bisectrices internas y marca su intersección.

b) Baricentro: Dibuja las medianas (vértice → punto medio) y marca su intersección.

Relaciones entre Rectas en el Plano

Paralelismo y Perpendicularidad

¿Qué son los segmentos o rectas paralelas?

Dos rectas (o segmentos) son paralelas si están en el mismo plano y no se intersectan nunca, sin importar cuánto se prolonguen.

Dibuja 2 rectas o segmentos paralelas

Instrucciones: Dibuja dos líneas rectas con la misma dirección y separación constante; etiquétalas l y m. (Ejemplo visual: //)

Dibuja 2 rectas o segmentos perpendiculares

Instrucciones: Dibuja una recta vertical y otra horizontal que se crucen formando 90°. Etiquétalas y marca el ángulo recto con un cuadradito.

Recta Tangente

¿Qué es una recta tangente?

Recta que toca una circunferencia en exactamente un punto. En ese punto la recta es perpendicular al radio que une el centro con el punto de tangencia.