1. Experimento de Thomson

1.1 Ideas clave

• Rayos catódicos: Se trata de un haz de electrones producido en un tubo con gas enrarecido y una diferencia de potencial entre electrodos.
• Tubo de Crookes: Es un tubo de descarga a baja presión que permite observar el haz producido desde el cátodo hacia el ánodo.
• Interacción con campos:
  • Frente a un campo magnético, los rayos catódicos se desvían por la fuerza de Lorentz. La magnitud relevante del campo es B.
  • Frente a un campo eléctrico, los rayos catódicos se desvían por la fuerza eléctrica. Si el campo se produce entre placas, E = V/d, donde V es la diferencia de potencial y d es la separación entre placas.
• Relación carga/masa: Thomson midió la relación e/m_e del electrón combinando desviaciones producidas por campos eléctricos y magnéticos.
• Resultado central: Como e/m_e era el mismo para distintos materiales, concluyó que el electrón era un constituyente común de la materia.
• Descubrimiento del electrón: Identificado como la primera partícula subatómica.
• Cambio de paradigma: El átomo dejó de considerarse indivisible.
• Modelo del “budín de pasas”: Thomson propuso que los electrones (negativos) estaban distribuidos dentro de una carga positiva difusa.

Preguntas frecuentes sobre el experimento

• ¿Qué son los rayos catódicos? Son haces de electrones que se observan en tubos de descarga con gas a baja presión.
• ¿Por qué se desvían con campos eléctricos y magnéticos? Porque poseen carga eléctrica. El campo eléctrico ejerce una fuerza eléctrica y el campo magnético ejerce una fuerza de Lorentz sobre cargas en movimiento.
• ¿Qué significa medir e/m_e? Significa obtener la relación entre la carga eléctrica y la masa del electrón; por sí sola no entrega e ni m_e de forma separada.
• ¿Por qué el resultado de Thomson fue importante? Porque demostró que todos los átomos contienen electrones, contradiciendo la idea del átomo como unidad indivisible.

2. Experimento de Rutherford

2.1 Montaje experimental

• Procedimiento: Se hace incidir un haz de partículas alfa sobre una lámina metálica delgada (por ejemplo, de oro).
• Detección: Alrededor de la lámina se ubica una pantalla o detector para registrar las partículas dispersadas a distintos ángulos.
• Observación inesperada: Según el modelo de Thomson, se esperaban desviaciones pequeñas. Sin embargo, algunas partículas alfa se desviaron en ángulos grandes, incluso cercanos a 180°.

2.2 Conclusiones principales

• El átomo está compuesto principalmente por espacio vacío.
• La carga positiva y casi toda la masa se concentran en una región extremadamente pequeña: el núcleo.
• Las grandes desviaciones se explican por la repulsión eléctrica entre la partícula alfa (positiva) y el núcleo (positivo).

Ideas físicas para recordar

• A mayor número atómico (Z) del núcleo, mayor es la repulsión eléctrica y mayor la probabilidad de desviaciones grandes.
• La distancia mínima de aproximación entrega una cota superior para el tamaño del núcleo, no una medida exacta de su radio.
• A mayor energía cinética de la partícula alfa, menor tiende a ser la desviación promedio.

2.3 Relaciones conceptuales útiles

• Cantidad de dispersiones: Aumenta aproximadamente con Z² y disminuye fuertemente al aumentar el ángulo mediante el factor 1/sin⁴(φ/2).
• Distancia mínima de aproximación (r_min): Se estima igualando la energía cinética inicial con la energía potencial eléctrica máxima.
• Relación proporcional: r_min ∝ Z/K. Si la energía cinética (K) aumenta, r_min disminuye.

Casos de estudio

• Dos núcleos, Z=13 y Z=79: Si una partícula alfa incide con la misma energía, el núcleo de Z=79 produce mayores desviaciones porque la fuerza de repulsión eléctrica aumenta con la carga nuclear.
• Variación de la energía cinética: Si aumenta la energía cinética de la partícula alfa, la desviación angular promedio tiende a disminuir, ya que la partícula tiene más energía para vencer la repulsión y altera menos su trayectoria.
• Impacto frontal: Una partícula alfa de 15,4 MeV impacta un núcleo de aluminio. Respecto al caso de 7,7 MeV, el r_min disminuye. Si la energía se duplica, la distancia mínima de aproximación se reduce aproximadamente a la mitad.

3. Ondas de materia y dualidad onda-partícula

• Definición: La dualidad onda-partícula significa que, según el experimento, un sistema cuántico puede describirse mediante propiedades ondulatorias o corpusculares.
• Interpretación: No debe entenderse como que «a veces es onda y a veces es partícula» en sentido clásico. Es una limitación de los modelos clásicos para describir objetos cuánticos.
• Dependencia: El comportamiento observado depende del tipo de medición, la escala del experimento y la energía involucrada.
• Hipótesis de De Broglie: Toda partícula con momentum p tiene asociada una longitud de onda λ = h/p.

Ejemplos de comportamiento

• Comportamiento ondulatorio: Interferencia en doble rendija; difracción de electrones en cristales (experimento de Davisson-Germer).
• Comportamiento corpuscular: Fotones en el efecto fotoeléctrico o en el efecto Compton.

Principio de complementariedad

• No se observan simultáneamente, en un mismo montaje, todos los aspectos ondulatorios y corpusculares.
• El aparato experimental determina qué propiedad puede manifestarse y medirse.

Principio de incertidumbre de Heisenberg

• Expresión: Δx Δp ≥ ħ/2.
• Significado: Indica que no es posible reducir simultáneamente y de manera indefinida la incertidumbre en posición y momentum.
• Naturaleza: No es una falla de los instrumentos, sino una característica fundamental de la descripción cuántica.

4. Mecánica cuántica en una dimensión

Función de onda e interpretación probabilística

• La función de onda (Ψ) contiene toda la información física accesible del sistema.
• Interpretación de Born: |Ψ|² representa una densidad de probabilidad.
• Normalización: Significa ajustar la función de onda para que la probabilidad total de encontrar la partícula en todo el espacio permitido sea igual a 1.
• Condición matemática: ∫ |ψ(x)|² dx = 1.

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

• Forma en una dimensión: [-ħ²/(2m) d²/dx² + U(x)] ψ(x) = E ψ(x).
• Relaciona la función de onda con la energía total E, la energía potencial U(x) y la masa m de la partícula.
• Permite obtener los estados posibles del sistema y sus energías permitidas.

Diferencia con la mecánica clásica

• En mecánica clásica se intenta describir una trayectoria definida (posición y velocidad en cada instante).
• En mecánica cuántica se describe una distribución de probabilidad, abandonando la idea de trayectoria clásica perfectamente definida.

Partícula en un pozo de potencial infinito

• Configuración: Dentro del pozo (0 < x < L), U(x) = 0. Fuera del pozo, U(x) → ∞, confinando a la partícula.
• Condiciones de borde: ψ(0) = 0 y ψ(L) = 0.
• Cuantización: Estas condiciones obligan a que k = nπ/L, donde n es un número entero positivo. Solo ciertas ondas cumplen las condiciones del pozo.
• Función de onda normalizada: ψ_n(x) = √(2/L) sin(nπx/L).
• Energías permitidas: E_n = n²π²ħ² / (2mL²).

Energía mínima y comparación clásica

• La energía mínima corresponde a n=1: E₁ = π²ħ² / (2mL²).
• E₁ ≠ 0: Una partícula confinada no puede tener energía nula. En el caso clásico, una partícula podría estar en reposo con energía cinética cero; en el pozo cuántico aparece una energía basal mínima.

Análisis de gráficos de ψ y |ψ|²

Los gráficos muestran, para distintos valores de n, la función de onda y la densidad de probabilidad dentro del pozo.

• Gráfico de ψ(x): Puede tomar valores positivos y negativos. Sus cruces por cero se denominan nodos.
• Gráfico de |ψ(x)|²: Siempre es positivo o cero y representa dónde es más probable encontrar la partícula.
• Al aumentar n, aumentan los nodos y la energía del estado.
• En las paredes del pozo infinito, la probabilidad es cero porque ψ(0) = ψ(L) = 0.

Pozo finito: idea conceptual

• En un pozo finito, la función de onda no se anula exactamente fuera del pozo.
• Existe una probabilidad pequeña de encontrar la partícula en regiones clásicamente prohibidas.
• Esta idea es la base para entender fenómenos como el túnel cuántico.