Inecuaciones polinómicas

Podemos resolver este tipo de inecuaciones estudiando el signo del polinomio (conjuntos de positividad y negatividad), descomponiéndolo en producto de factores y analizando los ceros y la multiplicidad de cada factor.

Inecuaciones racionales

Dados dos polinomios P(x) y Q(x), tal que Q(x) es distinto de cero, se denomina inecuación racional a toda expresión de la forma. Para resolverlas se estudia el signo de la fracción, descomponiendo el numerador y el denominador en producto de factores y teniendo en cuenta que el denominador no se puede anular. Por ejemplo, se consideran comparaciones del tipo P(x)/Q(x) > 0, < 0, ≥ 0 o ≤ 0; se construye una recta numérica con los ceros del numerador y los puntos donde el denominador se anula, y se determina el signo en cada intervalo.

Ángulos

Un ángulo AOB consta de dos semirrectas r₁ y r₂ con origen común O. Si el sentido de la rotación (lectura del ángulo) es antihorario, el ángulo se considera positivo; si el sentido es horario, se considera negativo.

Ángulos orientados en un sistema cartesiano

Un ángulo orientado en un sistema de coordenadas cartesianas (ejes x e y) tiene las siguientes características:

• Su vértice está en el origen de coordenadas.
• Está generado por la rotación de una semirrecta con origen en (0,0).
• La semirrecta parte de una posición inicial, que coincide con el semieje positivo x (lado inicial del ángulo), y gira manteniendo fijo el origen hasta llegar a la posición final (lado terminal).

Los ejes cartesianos dividen el plano en cuatro cuadrantes. Un ángulo pertenece a un cuadrante si en él está ubicado su lado terminal.

Sistemas de medición

Sistema sexagesimal: es uno de los sistemas más usados. Su unidad de medida se llama grado sexagesimal (°). Los submúltiplos son el minuto (‘) y el segundo («), que se definen como 1° = 60′ y 1’ = 60».

Sistema radial (radianes): se define la unidad de medida trazando una circunferencia de radio 1 con el vértice del ángulo coincidiendo con su centro; la medida de ese ángulo es de un radián (rad) si el arco de circunferencia que abarca tiene una longitud igual al radio de la misma.

Razones trigonométricas

Consideramos un triángulo rectángulo que tiene α como uno de sus ángulos agudos. Podemos definir relaciones entre sus lados del siguiente modo:

• Seno de un ángulo agudo: sin α = (cateto opuesto) / (hipotenusa).
• Coseno de un ángulo agudo: cos α = (cateto adyacente) / (hipotenusa).
• Tangente de un ángulo agudo: tan α = (cateto opuesto) / (cateto adyacente) = sin α / cos α.

Trigonometría: resolución de triángulos

Consideraciones

Resolver un triángulo es encontrar la medida de todos sus ángulos y lados. Si en un triángulo se conocen un lado y dos de sus ángulos, o bien dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, es posible calcular fácilmente los restantes elementos del triángulo utilizando la herramienta adecuada.

Triángulos especiales

En algunos triángulos rectángulos se pueden calcular sus elementos con facilidad aplicando el teorema de Pitágoras y propiedades geométricas:

• En un cuadrado de lado 1, al trazar la diagonal se obtiene un triángulo rectángulo cuyos ángulos miden 45°, 45° y 90°, y cuya hipotenusa es √2.
• En un triángulo equilátero de lado 2, al trazar la altura se obtiene un triángulo rectángulo cuyos ángulos miden 30°, 60° y 90°, y cuyos lados son 1, 2 y √3 (respectivamente, cateto menor, hipotenusa y cateto mayor).

Con estos datos y las definiciones dadas es posible calcular las razones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60°.

Observación: Para calcular los valores de las razones trigonométricas para otros ángulos utilizaremos la calculadora. Se debe verificar si la calculadora está en el modo correspondiente. Por ejemplo: sin 2 indica el seno de un ángulo cuya medida es 2 radianes; se pasa la calculadora al modo radianes (RAD) y se obtiene: sin 2 ≈ 0,9093. Si se necesita calcular sin 2°, se pasa la calculadora al modo grados (DEG) y se obtiene sin 2° ≈ 0,0349.

Resolución de triángulos rectángulos

Por ejemplo, si un observador está viendo un objeto, la recta desde el ojo del observador hacia el objeto se conoce como línea de visión. Si el objeto observado está por encima de la horizontal, el ángulo entre la línea de visión y la horizontal se conoce como ángulo de elevación. Si el objeto está por debajo de la horizontal, ese ángulo se conoce como ángulo de depresión.

En los problemas a resolver, los ángulos de depresión y de elevación para un observador hipotético se plantean a nivel del piso, salvo que se especifique lo contrario. Si la línea de visión se refiere a un objeto físico, como un plano inclinado o la ladera de una colina, utilizamos el término ángulo de inclinación.

Resolución de triángulos oblicuángulos

Las funciones trigonométricas se pueden utilizar para resolver triángulos no rectángulos, conocidos como oblicuángulos. Éstos contienen tres ángulos agudos o un ángulo obtuso y dos agudos. En estos casos se aplican las fórmulas del Teorema del seno o del Teorema del coseno según los datos del problema.

Teorema del seno

Relaciona mediante cocientes las longitudes de los lados con el seno del ángulo opuesto. Dichas relaciones son proporcionales. En el triángulo ABC se verifica:

a / sin A = b / sin B = c / sin C

Teorema del coseno

Conocido como teorema generalizado de Pitágoras, plantea que para encontrar la longitud de un lado se deben relacionar las longitudes de los restantes y el ángulo que forman entre ellos mediante la función coseno. En el triángulo ABC se verifica:

a² = b² + c² – 2·b·c·cos A

De forma análoga: b² = a² + c² – 2·a·c·cos B y c² = a² + b² – 2·a·b·cos C.