Conceptos de Lugares Geométricos

Llamamos lugar geométrico al conjunto de puntos del plano o del espacio que cumplen una determinada propiedad. Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro, y a esa distancia se le llama radio.

La Mediatriz de un Segmento

Se llama mediatriz de un segmento AB a los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. La mediatriz será la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Para trazar la mediatriz de un segmento, seguiremos este procedimiento:

• Pincharemos con un compás en los dos extremos.
• Abriremos el compás más de la mitad del segmento y, con esa misma abertura, trazaremos dos semicírculos desde cada uno de los extremos del segmento.
• Uniendo los dos puntos de corte de esos semicírculos, obtendremos la mediatriz.

Todos los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento en el punto m.

Ángulos y Bisectrices

Recordemos que un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que se cortan. Las partes de un ángulo son:

• Lados: Cada una de las semirrectas.
• Vértice: El punto donde se cortan las semirrectas.
• Amplitud: Su abertura, que se mide en grados o en radianes.

Llamamos bisectriz de un ángulo al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. La bisectriz, por lo tanto, divide el ángulo por la mitad.

Procedimiento para trazar la bisectriz: Trazaremos un arco pinchando en el vértice del ángulo que corte a los dos lados del mismo. Desde los puntos donde ese arco corta a los lados, trazaremos sendos arcos que se cortarán a su vez en un punto. Uniendo ese punto con el vértice, tendremos la recta bisectriz del ángulo.

Nota: La distancia entre un punto y una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta trazada desde el punto.

La Circunferencia y sus Propiedades

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo C, llamado centro. A esa distancia se le denomina radio, r.

Circunferencia que pasa por tres puntos

Para trazar una circunferencia que pasa por tres puntos no alineados (A, B y C), debemos considerar que el centro de la circunferencia debe equidistar de dichos puntos. Por tanto, el centro estará en la intersección de la mediatriz de los segmentos AB, BC y AC. El radio será la distancia del centro a cualquiera de los vértices. A este centro se le llama circuncentro.

Circunferencia Inscrita en un Triángulo

Para trazar una circunferencia tangente interior a un triángulo, debemos considerar que el centro de la circunferencia buscada equidista de los lados del triángulo y, por lo tanto, se encontrará en la intersección de las bisectrices de los ángulos. Este punto se denomina incentro.

Una circunferencia tangente a un segmento tiene el radio que pasa por el punto de contacto de forma perpendicular al segmento.

Cálculo de Longitud y Área

Veamos a continuación cómo calcular la longitud y el área de las figuras circulares:

• Longitud (L): L = π * D = 2 * π * r
• Área (a): a = π * r²

Ángulos Interiores de un Polígono

Observemos que cualquier polígono con n lados se puede dividir en (n – 2) triángulos. Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, podemos afirmar:

• La suma de los ángulos interiores de un polígono con n lados es: (n – 2) * 180º

Teorema de Tales

División de un segmento

Para aplicar el Teorema de Tales y dividir un segmento AB en tres partes iguales, el procedimiento es:

1. Trazamos una recta auxiliar con origen en A.
2. Trazamos en esa recta tantos segmentos iguales como partes queramos dividir el segmento dado.
3. Unimos el extremo B con el extremo del último segmento trazado en la recta auxiliar.
4. Trazando paralelas a ese último segmento desde las marcas en la recta auxiliar, obtendremos las divisiones del segmento AB.

Enunciado general: Si dos rectas r y s son cortadas por tres o más rectas paralelas, los segmentos correspondientes que se obtienen son proporcionales.

Semejanza de Triángulos

Decimos que dos triángulos están en posición de Tales cuando tienen un ángulo en común y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. Ambos triángulos son semejantes pues:

• Sus ángulos son iguales.
• Comparten un ángulo, y los otros son correspondientes por tener sus lados paralelos.
• Sus lados son proporcionales.

En general, dos triángulos en posición de Tales son semejantes, y dos triángulos semejantes siempre se pueden poner en posición de Tales. Para comprobar la semejanza, basta con cumplir uno de estos criterios:

• Tener dos ángulos iguales.
• Tener dos lados proporcionales y el ángulo que forman igual.
• Tener los tres lados proporcionales.

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

h² = c₁² + c₂²

Perímetros y Áreas de Figuras Planas

El perímetro de una figura plana es la longitud total de su contorno. El área es la medida de la superficie que ocupa.

• Rectángulo: a = b * h
• Cuadrado: a = l²
• Romboide: a = b * h
• Rombo: a = (D * d) / 2
• Trapecio: a = [(B + b) / 2] * h
• Triángulo: a = (b * h) / 2
• Polígonos Regulares: a = (perímetro * apotema) / 2

Estudio de los Poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado limitado por polígonos. Sus elementos son:

• Cara: Cada uno de los polígonos que limita el poliedro.
• Arista: Cada uno de los lados de cada cara.
• Vértice: Cada uno de los puntos donde concurren las aristas.
• Diagonal: Segmento que une vértices de caras diferentes.
• Ángulo diedro: Determinado por dos caras secantes.

Un poliedro es convexo cuando todos sus ángulos diedros son menores de 180º. Si algún ángulo es mayor de 180º, el poliedro es cóncavo.

Teorema de Euler

En cualquier poliedro convexo se cumple la relación entre el número de caras (C), aristas (A) y vértices (V):
C + V = A + 2

Poliedros Regulares

Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice concurre el mismo número de caras. Solo existen 5 poliedros regulares (Sólidos Platónicos): Tetraedro, Cubo (Hexaedro), Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro.

Prismas y Pirámides

El Prisma

Llamamos prisma a los poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases, y el resto de las caras, llamadas caras laterales, son paralelogramos. La altura es la distancia entre las bases.

• Clasificación por base: Triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.
• Clasificación por forma: Rectos (caras laterales rectangulares) u oblicuos.

Un prisma es regular si es recto y sus bases son polígonos regulares. Si las bases son paralelogramos, se llama paralelepípedo. Si es recto y sus bases son rectángulos, se llama ortoedro.

La Pirámide

Una pirámide es un poliedro con una base poligonal y caras laterales triangulares que concurren en un punto llamado vértice de la pirámide. Se clasifican según su base y su inclinación (rectas u oblicuas).

Cuerpos de Revolución

Llamamos cuerpos de revolución a aquellos generados por el giro de una figura plana alrededor de un eje.

• Cilindro recto: Generado por el giro de un rectángulo. Tiene bases perpendiculares al eje. Si son oblicuas, se denomina cilindro oblicuo.
• Cono recto: Generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
• Tronco de cono: Generado por el giro de un trapecio rectángulo o seccionando un cono con un plano paralelo a la base.
• Esfera: Generada al girar un semicírculo sobre su diámetro. Todos los puntos de su superficie equidistan del centro (radio).

El área total de un cuerpo geométrico se obtiene sumando el área lateral y el área de sus bases.