En esta sección, exploraremos los fundamentos de las fracciones, desde su definición y clasificación hasta las operaciones básicas y sus aplicaciones en diversos contextos matemáticos.

1. Números Fraccionarios

Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan números enteros.

• Ejemplos: Los siguientes números son números fraccionarios:

• Los siguientes números no son números fraccionarios:

2. Fracción

Se denomina fracción al número fraccionario que presenta sus dos términos positivos.

• Forma general:

  • A los términos que conforman la fracción se les denomina de la siguiente manera:

    • Ejemplo:

3. Representación Gráfica

A partir de la relación entre estos dos términos, podemos determinar que el término llamado denominador nos indica las partes en que se ha dividido una determinada unidad, y el otro término, llamado numerador, nos indica las partes que tomamos de esta división.

• Ejemplo: Veamos qué representa la fracción 5/8.

• A partir del gráfico podemos observar:
  • El denominador 8 indica en cuántas partes se divide el todo (la unidad de referencia).
  • El numerador 5 representa las partes del todo que se toman o que se observan.

4. Clasificación de Fracciones

• 4.1. Por la comparación entre sus términos

  1. Fracciones Propias: Cuando el numerador es menor que el denominador.

     • Ejemplos:

  2. Fracciones Impropias: Cuando el numerador es mayor que el denominador.

     • Ejemplos:

       • Observación: Las fracciones impropias originan los números mixtos.
         Ejemplos:

• 4.2. Por grupo de fracciones

  1. Fracciones Homogéneas: Dos o más fracciones se consideran homogéneas si todos sus denominadores son iguales.

     • Ejemplos:

  2. Fracciones Heterogéneas: Dos o más fracciones se consideran heterogéneas si todos sus denominadores son diferentes.

     • Ejemplos:

• 4.3. Por los divisores comunes entre sus términos

  1. Fracciones Reductibles: Son aquellas fracciones cuyo numerador y denominador poseen algún divisor común distinto de 1. Es decir, no son primos entre sí (PESI); por lo tanto, son simplificables.

     • Ejemplos:

  2. Fracciones Irreductibles: Son aquellas fracciones cuyo numerador y denominador poseen como único divisor común la unidad. Es decir, son primos entre sí (PESI); por lo tanto, no son simplificables.

     • Ejemplos:

• 4.4. Por su denominador

  1. Fracciones Ordinarias: Cuando su denominador es diferente de una potencia de 10 (denominador diferente de 10ⁿ; n pertenece a los enteros positivos).

     • Ejemplos:

  2. Fracciones Decimales: Cuando su denominador es igual a una potencia de 10.

     • Ejemplos:

• 4.5. Fracciones Equivalentes

  Dos fracciones son equivalentes cuando, con términos distintos, expresan la misma porción de la unidad. Las fracciones equivalentes se pueden obtener si a los dos términos de una fracción se les multiplica o divide por una misma cantidad; de esa forma, la fracción no varía.

  • Se denotan de la siguiente forma:

  • Y se obtienen de la siguiente forma:

    • Ejemplos:

5. Número Mixto

Son aquellos números que tienen parte entera y fraccionaria, y provienen de una fracción impropia.

• • Ejemplo:

• 5.1. Conversión de Número Mixto a Fracción Impropia

  Para convertir un número mixto a fracción impropia, se multiplica la parte entera por el denominador y a este producto se le suma el numerador. El denominador de la fracción resultante es el mismo.

  • Ejemplo:

6. Conversión de Fracción Impropia a Número Mixto

Para convertir una fracción impropia a número mixto, se divide el numerador por el denominador; el cociente será la parte entera del número mixto, y el resto, el numerador de la fracción, manteniendo el mismo denominador.

• • Ejemplo:

7. Comparación de Fracciones

1. 7.1. Fracciones Homogéneas

   Si las fracciones son homogéneas, será mayor la que tenga mayor numerador.

   • Ejemplo: Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones:

     • Como: 8

2. 7.2. Fracciones Heterogéneas

   Si las fracciones son heterogéneas, debemos homogeneizarlas aplicando el siguiente procedimiento: Dar común denominador a las fracciones. Para esto, se halla el MCM de los denominadores. El nuevo numerador se hallará multiplicando el numerador inicial por el cociente del MCM entre el denominador inicial.

• • • Ejemplo: Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones:

Homogeneizamos las fracciones, hallando el MCM de los denominadores.

El MCM(8; 4; 12) = 24

Cocientes:

Nuevos numeradores: 7 * 3 = 21; 1 * 6 = 6; 5 * 2 = 10

Luego:

Ahora tenemos:

Ordenando tenemos:

8. Operaciones con Fracciones

• 8.1. Adición y Sustracción de Fracciones

  1. Fracciones Homogéneas: Se suman los numeradores y al resultado se le mantiene el mismo denominador común.

     • Ejemplo:

  2. Fracciones Heterogéneas: Se homogeneizan los denominadores de las fracciones y se procede como en el caso anterior.

     • Ejemplo:

Calculamos el MCM(7;13;5) = 455

• 8.2. Multiplicación de Fracciones

  1. Multiplicación de una Fracción por Otra Fracción: Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

     • Ejemplo:

  2. Multiplicación de una Fracción por un Número Entero: Se multiplica el numerador por el número entero y se mantiene el mismo denominador.

     • Ejemplo:

• 8.3. División de Fracciones

  Para dividir una fracción entre otra, se multiplica la primera fracción por la fracción inversa de la segunda.

  • • Ejemplo:

Otra forma es aplicando producto de extremos entre producto de medios.

9. Propiedades de las Fracciones

1. Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.

   • Ejemplo:

2. Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor la que tiene menor denominador.

   • Ejemplo:

3. Si a los términos de una fracción propia se les suma o se les resta un mismo número, la fracción aumenta o disminuye, respectivamente.

   • Ejemplo:

4. Si a los términos de una fracción impropia se les suma o se les resta un mismo número, la fracción disminuye o aumenta, respectivamente.

   • • • Ejemplo:

10. Aplicaciones de las Fracciones

1. 10.1. Fracción de Fracción

   Se denomina así a las partes que se consideran de una fracción que ha sido dividida en partes iguales.

   • Ejemplo:

Indica que la fracción

se ha dividido en 4 partes iguales, de las cuales se ha tomado 1.

• 1. • Ejemplo: Calcular los

       de los

       de 160

  2. 10.2. Fracción como Relación (Parte – Todo)

     

     • Ejemplo: En una reunión asistieron 80 personas, de las cuales 30 eran varones. En determinado momento de la reunión, se encontraban bailando 15 parejas. ¿Qué parte de los reunidos son hombres?

       ¿Qué parte del número de varones es el número de mujeres?

¿Qué parte es el número de personas que bailan respecto al número de personas que no bailan?

10.3. Método de Reducción a la Unidad

Este método se aplica en problemas que relacionan obra, trabajo, caños, grifos, piscinas, desagües, etc., donde no se conoce la magnitud del trabajo o tarea, pero sí el tiempo total necesario para realizar dicha obra. El procedimiento consiste en determinar el avance por unidad de tiempo, para lo cual basta con tomar la inversa del tiempo total.

• • • Ejemplo: Si Juan hace una obra en 9 días, ¿qué parte de la obra hace en 1 día?

      • En un día hace

        de la obra.

De manera similar, si deseamos calcular el tiempo total, basta con invertir el avance por unidad de tiempo.

• • • Ejemplo: Si en 1 hora se realiza

      de una obra, toda la obra se realiza en 4 horas.

    • Ejemplo: Ricardo hace una obra en 6 días y Luis en 3 días. ¿En qué tiempo la hacen juntos?

Ricardo en 1 día hace 1/6 de la obra.

Luis en 1 día hace 1/3 de la obra.

Luego, juntos en 1 día hacen:

En 1 día realizan 3/6 de la obra, por lo tanto, la obra la realizan en:

Problemas Resueltos

1. Calcular la suma de todos los valores de “a” sabiendo que la fracción

   es propia e irreductible.

   • Como la fracción es propia ⇒ a < 12. Como la fracción es irreductible ⇒ a y 12 son PESI.
     Luego, los valores que puede tomar a son: 1, 5, 7 y 11.
     La suma sería: 1 + 5 + 7 + 11 = 24.
     • Respuesta: 24
2. ¿Cuál es la diferencia de los términos de la fracción equivalente a 3/5 cuya suma de términos es 9696?

   • Como se trata de una fracción equivalente, tenemos:

     
     Luego, la suma de los términos es 9696, entonces:

     
     Por lo tanto, la diferencia de los términos sería: b – a = 5k – 3k = 2k = 2 * (1212) = 2424.

     • Respuesta: 2424
3. El denominador excede al numerador de una fracción en la unidad. Si al denominador se le agregan 4 unidades, el resultado es 2 unidades menos que el triple de la fracción original. ¿Cuál es el numerador de la fracción original?

   • 

     

     • Respuesta: 5