Ejes de coordenadas

Son dos rectas perpendiculares que dividen el plano en cuatro cuadrantes.

Origen de coordenadas

Es el punto donde se cortan las 2 rectas.

Eje de abscisas

Es la recta horizontal, y se representa por la letra X.

Eje de ordenadas

Es la recta vertical, y se representa por la letra Y.

Graduación de los ejes

Con valores positivos hacia la derecha y hacia arriba, y con valores negativos hacia la izquierda y hacia abajo.

Coordenadas

De un punto son el par de valores (x, y). La abscisa es el valor x y la ordenada es el valor y. Las coordenadas del origen son O (0,0).

Función

Es una relación entre dos variables x e y, de forma que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. A x se le llama variable independiente. A y se le llama variable dependiente, y su valor se calcula a partir del valor de x.

Gráfica de una función

Es la representación de los pares de valores (x, y) en los ejes de coordenadas.

Variables

Variable discreta

Si toma valores aislados.

Variable continua

Si toma todos los valores dentro de un intervalo.

Funciones con variable independiente discreta

Se representan con puntos.

Funciones con variable independiente continua

Se representan con líneas continuas o a trozos.

Función de proporcionalidad directa

Una tabla de valores es de una función de proporcionalidad directa si los valores son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad directa se calcula al dividir una cantidad cualquiera de 2ª magnitud entre la cantidad correspondiente de la 1ª magnitud.

La gráfica es de una función de proporcionalidad directa si todos los puntos están sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas y que no es horizontal ni vertical.

La pendiente de la recta es la constante de proporcionalidad directa y se calcula al dividir un valor cualquiera de las ordenadas entre su correspondiente valor de las abscisas. Da la inclinación de la recta respecto del eje X.

La ecuación de una función de proporcionalidad directa es y = mx con m distinta de 0. Donde m es la pendiente de la recta que coincide con la constante de proporcionalidad directa.

Si la pendiente es positiva (m mayor que 0), la recta es creciente. Si la pendiente es negativa (m menor que 0), la recta es decreciente.

Una función lineal o de proporcionalidad directa viene dada por una tabla o una gráfica, para hallar m se tiene en cuenta que al despejar m de y = mx se obtiene m = y partido de x; s es distinto de 0. Luego m es el cociente de cualquier valor de y dividido entre el valor correspondiente de x, siempre que x distinto de 0. El mejor punto es el primero en el que la abscisa sea positiva y entera, y que la ordenada sea entera.

Función afín

Si su ecuación es del tipo: y = mx + n, siendo m y n reales, m distinto de 0 y n distinto de 0. Su representación gráfica es una recta que tiene se pendiente m y que pasa por el punto P (0,0). A n se le llama valor de la ordenada en el origen.

La gráfica de la función afín se obtiene al hacer una traslación vertical de b unidades de la recta correspondiente a la función lineal. Para dibujarla se hace una tabla con los valores de x = 0 y x = 1. Si la pendiente es de un número fraccionario, se debe tomar como segundo valor de x el denominador de la pendiente.

Ecuación de la recta

Se halla la pendiente de la recta aplicando la fórmula: y₂ – y₁ partido de x₂ – x₁.

Se aplica la ecuación punto-pendiente de la recta: y = m (x – x₁) + y₁.

Para hallar la ecuación de una recta a partir de su gráfica, se utiliza la ecuación y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la ordenada en el origen.

Ecuación de una recta horizontal

Y = k (siendo k la ordenada del punto en el que la recta corta el eje Y). Corresponde a una función constante, porque para cualquier valor de la variable independiente, x, la variable dependiente, y, es siempre la misma. En particular, la ecuación del eje de las abscisas X es y = 0.

Ecuación de una recta vertical

X = k (siendo k la abscisa del punto en el que la recta corta al eje X). No es una función, porque para el valor de x = k hay infinitos valores de y. En particular, la ecuación del eje de ordenadas Y es x = 0.

Función de proporcionalidad inversa

Una tabla de valores es de una función de proporcionalidad inversa si el producto de una cantidad de la 1ª magnitud multiplicada por la cantidad correspondiente de la 2ª magnitud es constante.

La gráfica de una función de proporcionalidad inversa se le llama hipérbola y es una curva en la que siempre se cumple que el resultado que se obtiene al multiplicar el valor cualquiera de las abscisas, x, por el valor correspondiente de la ordenada, y, es la constante de proporcionalidad, k.

En la gráfica, la constante de proporcionalidad, k, es el área del rectángulo que tiene como vértices opuestos un punto cualquiera P (x, y) de la hipérbola y el origen de coordenadas.

La ecuación de la función de proporcionalidad inversa es y = k partido de x, donde k es la constante de proporcionalidad inversa, k es distinto de 0.

Si la constante de proporcionalidad inversa es positiva (k mayor que 0), la hipérbola está en el 1º y 3º cuadrantes y es decreciente.

Si la constante de proporcionalidad inversa es negativa, (k menor que 0), la hipérbola está en el 2º y 4º cuadrantes y es creciente.

Para dibujar una función de proporcionalidad inversa se hace una tabla de valores. Los valores más cómodos son los divisores de k. Debe tenerse en cuenta el signo de la constante k y que una función de proporcionalidad inversa no está definida para x = 0; se acerca mucho a los ejes cuando se aleja del origen y es simétrica respecto del origen de coordenadas O (0,0).