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Defina entorno reducido de Centro en P0 (x0,y0) y radio δ. Dar un ejemplo


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Defina punto interior de un conjunto y conjunto abierto. Dar un ejemplo


Conjunto abierto:


se forma con todos los puntos interiores

El punto interior de un conjunto:


es un punto que está completamente contenido dentro del conjunto y que no está en el límite o borde del conjunto. De manera más formal, dado un conjunto A en un espacio métrico X, un punto x se considera punto interior de A si existe un radio positivo &épsilon; tal que la bola abierta de radio &épsilon; centrada en x está completamente contenida en A.
Un ejemplo para ilustrar esto es el conjunto A de todos los números reales mayores que 0 y menores que 1. Este conjunto es abierto porque para cada punto x en A, puedes elegir una vecindad, por ejemplo, un intervalo abierto centrado en x y de radio menor a la distancia entre x y los límites 0 y 1. Esa vecindad estará completamente contenida en A, por lo tanto, todos los puntos de A son puntos interiores y el conjunto es abierto.


Defina punto exterior y punto aislado de un conjunto. Dar un ejemplo


Un punto exterior de un conjunto es un punto que no pertenece al conjunto pero que tiene una vecindad que está completamente contenida fuera del conjunto. De manera más formal, dado un conjunto A en un espacio topológico X, un punto x se considera punto exterior de A si existe un conjunto abierto U tal que x pertenece a U y U está completamente contenido fuera de A.
Un punto aislado de un conjunto es un punto que pertenece al conjunto y que no tiene puntos del conjunto en su vecindad, excepto él mismo. En otras palabras, es un punto que no tiene otros puntos del conjunto cerca de él. Formalmente, dado un conjunto A en un espacio topológico X, un punto x se considera punto aislado de A si existe una vecindad de x tal que la intersección de esa vecindad con A solo contiene a x.
Un ejemplo para ilustrar estos conceptos es el conjunto A de los números enteros. En este caso, cualquier número entero es un punto aislado de A, ya que no hay otros números enteros en su vecindad. Por ejemplo, el número 0 es un punto aislado de A porque no hay otros enteros entre -1 y 1.
Por otro lado, considera el conjunto B de los números reales mayores que 0 y menores que 1. En este caso, cualquier número real fuera del intervalo (0, 1) es un punto exterior de B. Por ejemplo, el número -1 es un punto exterior de B, ya que podemos elegir una vecindad alrededor de -1 que está completamente contenida fuera del intervalo (0, 1).


Defina un punto de frontera de un conjunto y conjunto cerrado. Dar un ejemplo


Conjunto cerrado:


se forma con los puntos interiores y los puntos de frontera
Un punto de frontera de un conjunto es un punto que cumple dos condiciones: pertenece al conjunto y cualquier vecindad del punto contiene al menos un punto del conjunto y al menos un punto del complemento del conjunto. En otras palabras, es un punto que se encuentra en el límite o borde del conjunto, ya que tiene elementos tanto dentro como fuera del conjunto en su entorno.
Un ejemplo para ilustrar esto es el conjunto A de los números reales mayores o iguales que 0. En este caso, el punto 0 es un punto de frontera de A porque cualquier vecindad alrededor de 0 contiene puntos tanto de A (números mayores o iguales a 0) como de su complemento (números negativos). Además, el conjunto A es cerrado porque incluye todos sus puntos de frontera, incluido el punto 0.
Por otro lado, considera el conjunto B de los números reales mayores que 0 y menores que 1. En este caso, tanto el punto 0 como el punto 1 son puntos de frontera de B, ya que cualquier vecindad de estos puntos contiene elementos tanto de B (números entre 0 y 1) como de su complemento (números negativos y números mayores que 1). El conjunto B también es cerrado porque contiene todos sus puntos de frontera.


Defina punto de acumulación de un conjunto. Dar un ejemplo


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Un punto A, perteneciente o no a un conjunto S, es de acumulación de dicho conjunto cuando en todo entorno reducido suyo existe algún punto de S.A es un punto de acumulación de S⇔ ∀ E* (A) / E* (A)∩S ≠φ .
El punto A es interior al conjunto S y es de acumulación de S porque en todo entorno reducido de él siempre hay otros puntos del conjunto S.
El punto B está sobre la frontera, también es de acumulación de S porque en todo entorno reducido de él se encuentra al menos otro punto del conjunto S.
Pero el punto C no es de acumulación porque hay entornos del punto en el cual no se encuentran otros puntos del conjunto S, es exterior.


Defina conjunto conexo y simplemente conexo


Conjunto conexo:


un conjunto es conexo si dos de sus puntos pueden ser unidos por una poligonal íntegramente contenida con en el conjunto.

Conjunto simplemente conexo:


es un conjunto donde cualquier poligonal cerrada trazada en el se puede reducir a un punto por deformación continua sin salirse del conjunto.

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DESARROLLO: Defina un campo escalar de dos variables, dominio e imagen. En cuanto a su representación gráfica: ¿A qué se denomina gráfico de una función de dos variables?

Campos escalares de dos variables independientes
F: R2->R / Z=F(x,y)
X,y: variables independientes
Z: variable dependiente o función.
Una función de dos variables independientes “x” e “y” es una relación que hace corresponder a cada par P(x,y) del dominio un único valor para la función Z.

Dominio:


es el conjunto de pares P(x,y) para los cuales existe o está definida la función.

Imagen:


es el conjunto de valores que puede asumir la función Z

Representación GRÁFICA:


El lugar geométrico de los puntos P(x,y,z) que satisfacen la ecuación Z=F(x,y) se llama gráfica de una función de dos variables independientes. La gráfica es una superficie en el espacio tridimensional.

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¿Cuándo una función esta expresada en forma explícita o implícita? Dar ejemplos


La proyección de la superficie t=F(x,y) sobre el plano oxy nos da el dominio de la función.

La función puede ser explícita:


Z=F(x,y)
EJ: Z=X2+Y2 PARABOLOIDE

La función puede ser implícita:


(x,y,z)=0
EJ: 2x+3y-2z-6=0 PLANO


Defina curva de nivel. Dar un ejemplo


Una curva de nivel de una superficie Z=F(x,y) es el conjunto de puntos P(x,y) para los cuales la función alcanza el mismo valor.

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Defina superficie de nivel. Dar un ejemplo


Una superficie de nivel de una función W=F(x,y,z) es el conjunto de puntos P(x,y,z) para los cuales la función alcanza el mismo valor.

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