Modelo 3.A: Partícula con carga de -2 nC

Datos:

• q₁ = -2 nC = -2 × 10⁻⁹ C en (-5, 0) m
• q₂ = +2 nC = +2 × 10⁻⁹ C en (5, 0) m
• K = 9 × 10⁹ N·m²/C²
• Punto A(5, 4) m

a) Campo en A:

Vector r₁ₐ = A – (-5, 0) = (10, 4) m → |r₁ₐ| = √(10² + 4²) = √116 ≈ 10.77 m

Vector r₂ₐ = A – (5, 0) = (0, 4) m → |r₂ₐ| = 4 m

E₁ₐ = K · q₁ / |r₁ₐ|³ · r₁ₐ = 9 × 10⁹ · (-2 × 10⁻⁹) / (10.77³) · (10, 4) ≈ (-0.1442, -0.05768) N/C

E₂ₐ = K · q₂ / |r₂ₐ|³ · r₂ₐ = 9 × 10⁹ · (2 × 10⁻⁹) / (4³) · (0, 4) ≈ (0, 1.125) N/C

Eₐ = E₁ₐ + E₂ₐ ≈ (-0.1442, 1.0673) N/C

É_A ≈ (-0.144, 1.067) N/C

Potencial en A:

Vₐ = K · (q₁ / |r₁ₐ| + q₂ / |r₂ₐ|) = 9 × 10⁹ · [(-2 × 10⁻⁹ / 10.77) + (2 × 10⁻⁹ / 4)]

Vₐ ≈ 9 × 10⁹ · (-0.1857 × 10⁻⁹ + 0.5 × 10⁻⁹) ≈ 2.829 V

V_A ≈ 2.83 V

b) Trabajo para q’ = 3 nC de A a B(0, 4):

V_B = K · [q₁ / |r₁_B| + q₂ / |r₂_B|] con r₁_B = √(5² + 4²) = √41 ≈ 6.403 m, r₂_B = √(5² + 4²) = √41 ≈ 6.403 m

V_B = 9 × 10⁹ · [(-2 × 10⁻⁹ / 6.403) + (2 × 10⁻⁹ / 6.403)] = 0 V

W = q’ · (Vₐ – V_B) = 3 × 10⁻⁹ · (2.829 – 0) ≈ 8.487 × 10⁻⁹ J

W ≈ 8.49 × 10⁻⁹ J

Junio-Coincidentes 3.A: Partícula con carga de -2 nC

Datos:

• q₁ = 1 µC = 10⁻⁶ C en (-2, 0) m
• q₂ desconocida en (4, 0) m
• P(0, 2) m

a) Hallar q₂ para que E_P solo tenga componente x:

r₁_P = (2, 2), |r₁_P| = √(2² + 2²) = √8 m

r₂_P = (-4, 2), |r₂_P| = √(4² + 2²) = √20 m

La componente y debe anularse:

K · q₁ · (2) / (√8)³ + K · q₂ · (2) / (√20)³ = 0

q₂ = -q₁ · (√20³ / √8³) · (2 / 2) = -10⁻⁶ · (20√20) / (8√8) ≈ -3.95 × 10⁻⁶ C

b) Campo total en P:

Solo componente x (por condición anterior):

E_x = K · [q₁ · 2 / (√8)³ + q₂ · (-4) / (√20)³]

Sustituyendo: E_x ≈ 9 × 10⁹ · [10⁻⁶ · 2 / (8√8) + (-3.95 × 10⁻⁶) · (-4) / (20√20)] → E_p ≈ (2.25 × 10³, 0) N/C

c) Velocidad de q₂ al pasar por el origen (m = 1 g = 0.001 kg):

Conservación de la energía: ½ · m · v² = q₂ · (V_i – V₀)

V_i = K · q₁ / |r₁_i| con r₁_i = distancia entre q₁ y q₂ = 6 m → V_i = 9 × 10⁹ · 10⁻⁶ / 6 = 1500 V

V₀ = K · q₁ / |r₁₀| con r₁₀ = 2 m → V₀ = 9 × 10⁹ · 10⁻⁶ / 2 = 4500 V

½ · 0.001 · v² = (-3.95 × 10⁻⁶) · (1500 – 4500) = 0.01185

v = √(2 · 0.01185 / 0.001) ≈ 6.24 m/s

Junio 2.A

Datos:

• Electrón: q = -e = -1.6 × 10⁻¹⁹ C en (0, 6) nm
• Positrón: q = +e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C en (0, -6) nm
• 1 nm = 10⁻⁹ m → posiciones en metros: (0, 6 × 10⁻⁹) y (0, -6 × 10⁻⁹)

a) Campo en (8, 0) nm = (8 × 10⁻⁹, 0) m:

r₁ = √(8² + 6²) = 10 nm = 10⁻⁸ m (distancia igual para ambas)

Por simetría, solo componente x:

E_x = 2 · K · e / r² · (8 / 10) = 2 · 9 × 10⁹ · 1.6 × 10⁻¹⁹ / (10⁻⁸)² · 0.8 = 2.30 × 10⁶ N/C

É ≈ (2.30 × 10⁶, 0) N/C

b) Máxima distancia si el positrón tiene v = -1.5 × 10⁵ j m/s:

Conservación de la energía (electrón fijo):

½ · m · v₀² – K · e² / d₀ = -K · e² / d_f

m = 9.1 × 10⁻³¹ kg, d₀ = 12 nm = 1.2 × 10⁻⁸ m

½ · 9.1 × 10⁻³¹ · (1.5 × 10⁵)² – 9 × 10⁹ · (1.6 × 10⁻¹⁹)² / (1.2 × 10⁻⁸) = -9 × 10⁹ · (1.6 × 10⁻¹⁹)² / d_f

1.02375 × 10⁻²⁰ – 1.92 × 10⁻¹⁹ = -2.304 × 10⁻²⁸ / d_f

-1.8176 × 10⁻¹⁹ = -2.304 × 10⁻²⁸ / d_f → d_f ≈ 1.268 × 10⁻⁹ m ≈ 12.7 nm

Modelo 2.A

Datos:

• Q₁ = 4 nC = 4 × 10⁻⁹ C en (0, 0) cm
• Q₂ = -2 nC = -2 × 10⁻⁹ C en (2, 2√3) cm
• Q₃ = -4 nC = -4 × 10⁻⁹ C en (4, 0) cm
• Convertir a metros: (0, 0), (0.02, 0.02√3), (0.04, 0)

a) Fuerza de Q₁ y Q₂ sobre Q₃:

r₁₃ = (0.04, 0) – (0, 0) = (0.04, 0) m, |r₁₃| = 0.04 m

r₂₃ = (0.04, 0) – (0.02, 0.03464) = (0.02, -0.03464) m, |r₂₃| = 0.04 m

F₁₃ = K · Q₁ · Q₃ / |r₁₃|³ · r₁₃ = 9 × 10⁹ · (4 × 10⁻⁹) · (-4 × 10⁻⁹) / (0.04³) · (0.04, 0) ≈ (-0.0225, 0) N

F₂₃ = K · Q₂ · Q₃ / |r₂₃|³ · r₂₃ = 9 × 10⁹ · (-2 × 10⁻⁹) · (-4 × 10⁻⁹) / (0.04³) · (0.02, -0.03464) ≈ (0.01125, -0.01948) N

F_total = F₁₃ + F₂₃ ≈ (-0.01125, -0.01948) N

b) Energía electrostática del sistema:

U = K · (Q₁Q₂ / r₁₂ + Q₁Q₃ / r₁₃ + Q₂Q₃ / r₂₃)

r₁₂ = 0.04 m, r₁₃ = 0.04 m, r₂₃ = 0.04 m

U = 9 × 10⁹ · [(4 × (-2) × 10⁻¹⁸ / 0.04) + (4 × (-4) × 10⁻¹⁸ / 0.04) + ((-2) × (-4) × 10⁻¹⁸ / 0.04)]

U = 9 × 10⁹ · [(-8 – 16 + 8) × 10⁻¹⁸ / 0.04] = 9 × 10⁹ · (-16 × 10⁻¹⁸ / 0.04) = -3.6 × 10⁻⁶ J

Julio 3.A

Datos:

• q₁ = 2 nC = 2 × 10⁻⁹ C en (0, 0) m
• q₂ = 4 nC = 4 × 10⁻⁹ C en (6, 0) m
• e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C

a) Campo en P(2, 2) m:

r₁_P = (2, 2), |r₁_P| = √(2² + 2²) = √8 ≈ 2.828 m

r₂_P = (2-6, 2-0) = (-4, 2), |r₂_P| = √(4² + 2²) = √20 ≈ 4.472 m

E₁ = K · q₁ / |r₁_P|³ · r₁_P ≈ (1.125, 1.125) N/C

E₂ = K · q₂ / |r₂_P|³ · r₂_P ≈ (-1.436, 0.718) N/C

E_total ≈ (-0.311, 1.843) N/C

b) Punto entre cargas donde la fuerza sobre el electrón es nula:

En el eje x entre 0 y 6 m: |E₁| = |E₂|

K · 2 × 10⁻⁹ / x² = K · 4 × 10⁻⁹ / (6 – x)²

2 / x² = 4 / (6 – x)² → (6 – x)² = 2x² → 6 – x = √2 · x → x = 6 / (1 + √2) ≈ 2.49 m

Trabajo para traer un electrón desde ∞:

V = K · [2 × 10⁻⁹ / 2.49 + 4 × 10⁻⁹ / (6 – 2.49)] ≈ 9 × 10⁹ · (0.803 × 10⁻⁹ + 1.139 × 10⁻⁹) ≈ 17.48 V

W = (-e) · V = -1.6 × 10⁻¹⁹ · 17.48 ≈ -2.797 × 10⁻¹⁸ J

Junio-Coincidentes A.3

Datos:

• Dos cargas idénticas q separadas 40 cm en el eje x
• E_P = -805 j V/m en P(10, 10) cm = (0.1, 0.1) m

a) Posición de las cargas y valor de q:

Por simetría, cargas en (-a, 0) y (a, 0) con 2a = 0.4 m → a = 0.2 m

Vector r₁ = (0.1 – (-0.2), 0.1) = (0.3, 0.1) m

Vector r₂ = (0.1 – 0.2, 0.1) = (-0.1, 0.1) m

|r₁| = |r₂| = √(0.1² + 0.3²) = √0.1 ≈ 0.3162 m

Por simetría, las componentes x se cancelan, solo queda E_y:

E_y = 2 · K · q / |r|³ · 0.1 = 2 · 9 × 10⁹ · q / (0.3162³) · 0.1 = -805

q = -805 · (0.3162³) / (2 · 9 × 10⁹ · 0.1) ≈ -1.43 × 10⁻⁹ C

q ≈ -1.43 nC, cargas en (-0.2, 0) y (0.2, 0) m

b) Campo y potencial en el origen:

Por simetría E = 0

V = 2 · K · q / 0.2 = 2 · 9 × 10⁹ · (-1.43 × 10⁻⁹) / 0.2 ≈ -128.7 V

Junio B.3

Datos:

• Dos cargas q₁ = q₂ = +9 nC = 9 × 10⁻⁹ C en (-6, 0) mm y (6, 0) mm = (-0.006, 0) y (0.006, 0) m

a) Potencial y campo en el origen:

Por simetría E = 0

V = 2 · K · q / 0.006 = 2 · 9 × 10⁹ · 9 × 10⁻⁹ / 0.006 = 2.7 × 10⁴ V

b) En P(0, 3 mm) = (0, 0.003) m:

r = √(0.006² + 0.003²) = √45 × 10⁻³ ≈ 0.006708 m

Por simetría, solo componente y:

E_y = 2 · K · q / r³ · 0.003 = 2 · 9 × 10⁹ · 9 × 10⁻⁹ / (0.006708³) · 0.003 ≈ 1.61 × 10⁶ N/C

V = 2 · K · q / r = 2 · 9 × 10⁹ · 9 × 10⁻⁹ / 0.006708 ≈ 2.41 × 10⁴ V

Modelo A.3

Datos:

• Dos cargas q = 2 nC = 2 × 10⁻⁹ C en (0, 0) y (4, 0) m
• Trabajo W = 1.27 × 10⁻⁷ J para traer carga Q desde ∞ a (2, 2) m

a) Hallar Q:

V(2, 2) = K · [2 × 10⁻⁹ / √(2² + 2²) + 2 × 10⁻⁹ / √(2² + 2²)] = 2 · 9 × 10⁹ · 2 × 10⁻⁹ / √8

V = 36 / 2.828 ≈ 12.73 V

W = Q · V → Q = W / V = 1.27 × 10⁻⁷ / 12.73 ≈ 9.98 × 10⁻⁹ C

b) Poner carga q’ = -10 nC para anular la fuerza sobre Q:

Fuerza sobre Q desde las dos cargas de 2 nC: por simetría vertical hacia arriba.

Para anular, q’ debe estar en (2, y) con y > 2 atrayendo hacia abajo.

Igualando fuerzas verticales:

2 · K · (2 × 10⁻⁹) · Q / (√8²) · (2 / √8) = K · (10 × 10⁻⁹) · Q / (y – 2)²

(8 × 10⁻⁹) / (8√8) = (10 × 10⁻⁹) / (y – 2)²

y – 2 ≈ 1.41 → y ≈ 3.41 m. Posición: (2, 3.41) m

Julio A.3

Datos:

• Una carga crea V = 54 V y E = -180 j V/m en el origen

a) Posición y valor de la carga:

Campo radial: E = K · q / r²

Potencial: V = K · q / r

Dividiendo: E / V = 1 / r = 180 / 54 = 10 / 3 → r = 0.3 m

Si el campo apunta hacia -y, la carga está en (0, 0.3) m si es negativa o en (0, -0.3) m si es positiva. Dado V > 0, q es positiva y está en (0, 0.3) m.

q = V · r / K = 54 · 0.3 / (9 × 10⁹) = 1.8 × 10⁻⁹ C

b) Segunda carga traída con W = -270 nJ:

W = q₂ · (V_∞ – V_origen) = q₂ · (0 – 54) = -270 × 10⁻⁹

q₂ = 270 × 10⁻⁹ / 54 = 5 × 10⁻⁹ C

Junio-Coincidentes B.3

Datos:

• q₁ = -3 µC = -3 × 10⁻⁶ C en (-2, 0) m
• q₂ = +2 µC = 2 × 10⁻⁶ C en (3, 0) m

a) Trabajo para traer q₃ = +4 µC desde ∞ a (0, 4) m:

V(0, 4) = K · [q₁ / √(2² + 4²) + q₂ / √(3² + 4²)] = 9 × 10⁹ · [-3 × 10⁻⁶ / √20 + 2 × 10⁻⁶ / 5]

V ≈ 9 × 10⁹ · [-0.6708 × 10⁻⁶ + 0.4 × 10⁻⁶] ≈ -2.437 × 10³ V

W = q₃ · V = 4 × 10⁻⁶ · (-2.437 × 10³) ≈ -9.75 × 10⁻³ J

b) Fuerza sobre q₃ en (0, 4):

E₁ ≈ (1.206, -2.412) × 10³ N/C

E₂ ≈ (-0.432, 0.576) × 10³ N/C

E_total ≈ (0.774, -1.836) × 10³ N/C

F = q₃ · E_total ≈ (3.096, -7.344) × 10⁻³ N

Junio A.3

Datos:

• Cargas -q, -q, +2q en (-a, a), (a, a), (0, 0)

a) Fuerza sobre la carga en (a, a):

F_total ≈ (-0.104 Kq² / a², -0.354 Kq² / a²)

Trabajo para traer -q desde ∞ a (a, a):

V_{debido a otras} = K · [2q / (a√2) + (-q) / (2a)]

W = (-q) · V = -Kq² · [2 / √2 – 1 / 2] / a

b) Flujo a través de las superficies S₁ y S₂:

• S₁ contiene +2q → Φ₁ = 2q / ε₀
• S₂ contiene -q → Φ₂ = -q / ε₀

Modelo A.3

Datos:

• Corteza esférica R = 3 cm = 0.03 m, σ = 2 µC/m²
• Q = σ · 4πR² = 2 × 10⁻⁶ · 4π · 0.03² ≈ 2.26 × 10⁻⁸ C

a) Campo en (0.01, 0.01, 0) m:

r = √(0.01² + 0.01²) ≈ 0.0141 m E = 0

b) Campo en (2, 3, 0) m:

r = √(4 + 9) = √13 ≈ 3.606 m > 0.03 m

E = KQ / r² = 9 × 10⁹ · 2.26 × 10⁻⁸ / (3.606²) ≈ 0.156 N/C. Dirección radial desde el origen.

c) Trabajo para mover q’ = 1 nC desde (0, 2, 0) a (3, 0, 0):

Ambos puntos exteriores: r₁ = 2 m, r₂ = 3 m

W = q’ · (V₁ – V₂) = q’ · KQ · (1 / r₁ – 1 / r₂)

W = 10⁻⁹ · 9 × 10⁹ · 2.26 × 10⁻⁸ · (1 / 2 – 1 / 3) ≈ 3.39 × 10⁻⁸ J

Julio-Coincidentes A.3

Datos:

• q₁ = 5 µC = 5 × 10⁻⁶ C en (0, 0)
• q₂ = -3 µC = -3 × 10⁻⁶ C en (4, 0) m

a) Campo en (4, 3) m:

r₁ = √(4² + 3²) = 5 m, r₂ = 3 m

E₁ = (1.44, 1.08) × 10³ N/C

E₂ = (0, -3) × 10³ N/C

E_total ≈ (1.44, -1.92) × 10³ N/C

b) Trabajo para un electrón desde (4, 3) a (2, 0):

V(4, 3) = K [q₁ / 5 + q₂ / 3] = 0 V

V(2, 0) = K [q₁ / 2 + q₂ / 2] = 9 × 10³ V

W = (-e) · (V(4, 3) – V(2, 0)) = -1.6 × 10⁻¹⁹ · (0 – 9 × 10³) = 1.44 × 10⁻¹⁵ J

Julio A.3

Datos:

• Q₁ = 2 nC = 2 × 10⁻⁹ C en (1, 0) m
• Q₂ = -4 nC = -4 × 10⁻⁹ C en (3, 0) m

a) Campo en (2, 1) m:

E₁ ≈ (6.36, 6.36) N/C

E₂ ≈ (12.72, -12.72) N/C

E_total ≈ (19.08, -6.36) N/C

b) Punto en el eje x (x

V(x) = K [Q₁ / |x – 1| + Q₂ / |x – 3|] = 0 → 2 / (1 – x) = 4 / (3 – x) → x = -1 m

Junio B.3

Datos:

• Carga +q en (3, 4) m
• Segunda carga +4q en algún sitio
• E_total = 0 en el origen

a) Posición de la segunda carga:

Para anular el campo en el origen, la carga +4q debe estar en la misma línea pero en el lado opuesto. Resolviendo la igualdad de campos: Posición = (-6, -8) m

b) Si V(origen) = 1.08 × 10⁴ V, hallar q:

V = K [q / 5 + 4q / 10] = 5.4 × 10⁹ · q = 1.08 × 10⁴ → q = 2 × 10⁻⁶ C

Junio-Coincidentes A.3

Datos:

• Cuatro cargas en vértices de un cuadrado de lado 2 m centrado en el origen.
• Configuración: +q en (1, 1) y (-1, -1), -q en (1, -1) y (-1, 1).

a) Campo en el centro (0, 0):

Por simetría, los campos se cancelan: E_total = 0

b) Electrón lanzado desde el centro con v = 3 × 10⁴ j m/s al punto medio del lado superior (0, 1):

Por simetría, V_centro = V_{(0, 1)} = 0. Conservación de energía: v_f = v₀ = 3 × 10⁴ m/s

Junio A.3

Datos:

• Carga q = 2 µC = 2 × 10⁻⁶ C en el origen

a) Flujo a través de una superficie esférica de radio 5 mm:

Φ = Q_int / ε₀ = 2 × 10⁻⁶ / (8.85 × 10⁻¹²) ≈ 2.26 × 10⁵ N·m²/C

b) Campo a 5 mm de la carga:

E = Kq / r² = 9 × 10⁹ · 2 × 10⁻⁶ / (0.005²) = 7.2 × 10⁸ N/C

Modelo A.3

Datos:

• q₁ = q₂ = 5 nC = 5 × 10⁻⁹ C en (0, 3) y (0, -3) m

a) Campo en (4, 0) m:

Por simetría, solo componente x: E_x = 2 · K · q · 4 / r³ = 2.88 N/C

b) Velocidad de partícula m = 3 g, q’ = 3 mC desde el origen a (4, 0):

V_origen = 30 V, V_{(4, 0)} = 18 V. Conservación de energía con v₀ = 2 m/s: v_f ≈ 5.29 m/s

Septiembre A.3

Datos:

• q_A = +5 nC en (-0.04, 0) m
• q_B = -5 nC en (0.04, 0) m

a) Potencial y campo en el origen:

V = 0. E_total = 5.62 × 10⁴ N/C en dirección +x.

b) En (0, 3) cm:

V = 0. E_y = 2.16 × 10⁴ N/C hacia -y.

Julio-Coincidentes B.3

Datos:

• q₁ = 3 nC en (0, 6) m, q₂ = -5 nC en (8, 6) m

a) Campo en el origen:

E_total = (360, -480) N/C

b) Trabajo para un electrón desde el origen a (4, 3):

V_origen = 0, V_{(4, 3)} = -3.6 V. W = -5.76 × 10⁻¹⁹ J

Julio B.3

Datos:

• Cuadrado lado a = 0.3 m. +q en (0, 0) y (a, a), -q en (0, a) y (a, 0). |q| = 1 µC.

a) Fuerza sobre +q en (a, a):

F_total ≈ (0.06464, 0.06464) N

b) Energía potencial de la carga en (0, 0):

U ≈ -3.878 × 10⁻² J

Modelo B.3

Datos:

• q₁ = +10 nC en (0, -6 µm), q₂ = -10 nC en (0, 6 µm)

a) Campo y potencial en (8 µm, 0):

E_y = 1.08 × 10⁹ N/C, V = 0

b) Trabajo para q’ = 5 nC desde (8 µm, 0) a (8 µm, 6 µm):

W = 2.5 × 10⁻² J

Julio-Coincidentes B.3

Datos:

• Esfera radio R = 1 m, carga Q = +3 C uniforme en superficie.

a) Potencial y campo en r = 2 m:

E = 6.75 × 10⁹ N/C, V = 1.35 × 10¹⁰ V

b) En el centro:

E = 0, V = 2.7 × 10¹⁰ V

Julio A.3

Datos:

• q₁ = 10 µC en (0, 0), q₂ = 20 µC en (3, 0) m

a) Punto con E = 0 en eje x:

x ≈ 1.243 m

b) Trabajo para un electrón desde (3, 4) a (2, 0):

W ≈ 2.592 × 10⁻¹⁴ J

Junio-Coincidentes A.3

Datos:

• Dos cargas Q = -3 nC en (0, 3) y (0, -3) m

a) Campo en (4, 0) m:

E_x = 1.728 N/C

b) Velocidad de partícula q = 2 nC, m = 0.01 kg desde (4, 0) al origen:

v ≈ 0.0537 m/s

Junio B.3

Datos:

• q₁ = -4 nC en (-0.05, 0) m, q₂ = +2 nC en (0.03, 0) m

a) Campo y potencial en el origen:

E_total = 0.56 × 10⁴ N/C en +x, V ≈ -120 V

b) Punto entre cargas con V = 0:

x = 0.333 cm

Julio A.3

Datos:

• Dos cargas iguales positivas en (2, 2) y (-2, -2) m. E(1, 1) = 5 × 10³ N/C.

a) Valor de las cargas y campo en (-1, -1):

q ≈ 7.86 × 10⁻⁷ C. E = 5 × 10³ N/C hacia (1, 1).

b) Trabajo para traer q’ = 2 µC desde ∞ a (-1, -1):

W = 2.0 × 10⁻² J

Junio-Coincidentes A.3

Datos:

• Q₁ = -4 nC en (3, 4) m, Q₂ = +4 nC en (-3, 4) m

a) Campo en el origen:

E_total = (0.1728, 0) N/C

b) Potencial en el origen:

V = 0

Junio B.3

Datos:

• q₁ = 6 µC en el origen, q₂ = 10 µC

a) Trabajo para llevar q₂ desde ∞ a x = 10 m:

W = 5.4 × 10⁻² J

b) Punto entre cargas donde q estaría en equilibrio:

x ≈ 5.86 m

Modelo A.3

Datos:

• Carga q = 5 nC en el centro de una esfera de radio R = 0.1 m

a) Flujo a través de la superficie de la esfera:

Φ ≈ 5.65 × 10² N·m²/C

b) Trabajo para traer q’ = 2 nC desde ∞ a r = 0.1 m:

W = 9 × 10⁻⁷ J

Septiembre A.3

Datos:

• Dos cargas +5 nC separadas 4 cm. Puntos A (centro) y B (a 3 cm de una).

a) Campo en A y B:

E_A = 0. E_B ≈ 4.08 × 10⁴ N/C.

b) Potencial y Trabajo:

V_A = 4.5 × 10³ V, V_B ≈ 2.14 × 10³ V. W ≈ 7.08 × 10⁻⁶ J.

Junio-Coincidentes A.3

Datos:

• Campo uniforme E = 5000 k N/C en z ≥ 0

a) ΔV entre P1(1, 2, 3) y P2(2, 4, 3):

ΔV = 0 (mismo z).

b) Trabajo para q = 5 µC desde P2(2, 4, 3) a P3(1, 1, 1):

W = 5 × 10⁻² J

Septiembre B.3

Datos:

• Dos esferas de carga positiva, separación 0.1 m, F = 0.20 N.

a) Si cargas iguales q:

q ≈ 4.71 × 10⁻⁷ C. En el punto medio E = 0.

b) Si q₂ = 4q₁:

q₁ ≈ 2.36 × 10⁻⁷ C, q₂ ≈ 9.44 × 10⁻⁷ C. En el punto medio E ≈ -2.55 × 10⁶ N/C.

Junio A.3

Datos:

• q₁ = 3 µC en (0, 0), q₂ = 9 µC en (8, 0) cm

a) Potencial en (8, 6) cm:

V = 1.62 × 10⁶ V

b) Punto en eje x con E = 0:

x ≈ 0.0293 m

Modelo A.3

Datos:

• q = 3 µC en el origen, q₁ = 1 µC de P1(1, 0) a P2(0, 2) m

a) ΔV entre P1 y P2:

ΔV = -1.35 × 10⁴ V

b) Trabajo para mover q₁:

W = -1.35 × 10⁻² J

Septiembre B.3

Datos:

• Tres cargas de 1 µC en triángulo equilátero de lado 0.1 m.

a) Energía potencial de una carga:

U = 0.18 J

b) Potencial en el punto medio de un lado:

V = 3.6 × 10⁵ V

Junio-Coincidentes B.3

Datos:

• Plano infinito σ = 10⁻² C/m²

a) Campo a ambos lados:

E ≈ 5.65 × 10⁸ N/C

b) Trabajo para q = 5 µC desde 5 cm a 15 cm del plano:

W = 2.825 × 10² J

Junio B.3

Datos:

• Dos cargas +2 nC en base de triángulo equilátero de lado 0.02 m.

a) Campo y potencial en el vértice libre:

E_y = -7.79 × 10³ N/C, V = 1.8 × 10³ V

b) Fuerza sobre -2 nC en el vértice libre:

F = 1.558 × 10⁻⁵ j N

Modelo A.3

Datos:

• q₁ = 3 µC (0, 0), q₂ = 1 µC (3, 0), q₃ desconocida (0, 4). V(3, 4) = 10650 V.

a) Hallar q₃:

q₃ = 1 × 10⁻⁶ C

b) Fuerza sobre -7 µC en (3, 4):

F ≈ (-0.01154, -0.00999) N

Septiembre B.3

Datos:

• Tres cargas de 2 µC en P1, P2, P3. Q en P4.

a) Q para que E(0, 0) = 0:

Q = 0. V ≈ 3.82 × 10⁷ V.

b) Q para que V(0, 0) = 0:

Q = -6 µC. |E| ≈ 2.7 × 10¹⁰ N/C.

Junio-Coincidentes B.3

Datos:

• Dos cargas idénticas q en (0, 3) y (0, -3) cm. V(1, 0) cm = 5 × 10³ V.

a) Hallar q y V(0, 0):

q ≈ 8.79 × 10⁻⁹ C. V(0, 0) ≈ 5.27 × 10³ V.

b) Campo en (-1, 0) cm:

E_x ≈ -1.50 × 10⁵ N/C

Junio B.3

a) Tipo de movimiento:

Movimiento uniformemente acelerado (frena y luego acelera en sentido opuesto).

b) Fuerza y aceleración:

F = 1.28 × 10⁻²⁷ N, a ≈ 1.41 × 10³ m/s²

Modelo A.3

a) q en el origen:

q = 10⁻⁹ C

b) q’ transportada:

q’ = -10⁻⁵ C

Septiembre A.5

a) Campo por Gauss:

E = σ / (2ε₀)

b) ΔV:

ΔV = σd / (2ε₀) (perpendicular) o 0 (paralela).

Junio-Coincidentes A.3

a) Campo en el punto medio:

E_total = -1.8 × 10⁶ N/C (hacia la izquierda).

b) Trabajo:

W = -1.8 J

Junio B.1

a) Hallar q₁ y q₂:

q₁ = 4 µC, q₂ = 2 µC.

b) Campo en el punto medio:

E_total = 1.8 × 10⁶ N/C hacia la izquierda.

Modelo B.3

a) Campo y potencial en r = 0.4 m:

E = 5.625 × 10⁴ N/C, V = 2.25 × 10⁴ V

b) Distancia de parada:

r = 0.6 m

Septiembre A.3

a) Punto en eje x con V = 0:

x = 1/3 m

b) Campo en ese punto:

E_total ≈ -5.06 × 10⁶ N/C (hacia la izquierda).

Junio A.3

a) Hallar E:

E ≈ 1.26 × 10⁴ N/C en dirección -X.

b) Trabajo del campo:

W ≈ 1.81 × 10⁻¹⁵ J

Modelo A.5

a) Fuerza de q₁ y q₂ sobre q₃:

F_total ≈ (-0.52 × 10⁻⁷, -0.52 × 10⁻⁷) N

b) Trabajo para llevar q₃ a (1.2, 1.2):

W ≈ -1.61 × 10⁻⁸ J

Septiembre-Coincidentes A.2

a) ¿Si Φ = 0, E = 0?

No, solo implica que la carga neta interior es cero.

b) Flujo:

Φ ≈ 1.13 × 10⁶ N·m²/C

Septiembre B.3

a) Campo en (4, 3):

E_total = (4.00, 3.00) N/C

b) Potencial:

V = 25.00 V

c) q₃ para V = 0:

q₃ = -1.39 × 10⁻⁸ C

Junio-Coincidentes A.1

a) Campo y potencial en (0, 1):

E ≈ (0, -2.89) N/C, V ≈ -0.95 V

b) Energía cinética:

E_c = 8.05 × 10⁻⁹ J

Junio B.2

a) Campo:

E(5 cm) = 0, E(15 cm) = 2 × 10³ N/C.

b) Potencial:

V(10 cm) = 450 V, V(15 cm) = 300 V.

c) Trabajo:

W = 6 × 10⁻⁷ J

Septiembre-Fase Específica A.2

a) Campo en el origen:

E_total ≈ (5.00, 2.81) × 10³ N/C

b) Trabajo:

W = 5.85 × 10⁻³ J

Junio-Coincidentes A.2

a) Q para E = 0:

Q = -√3 × 10⁻⁹ C

b) Q para V = 0:

Q = -2√3 × 10⁻⁹ C

Junio-Fase General B.2

a) Campo en el origen:

E_total ≈ (-0.81, -1.92) N/C

b) Potencial:

V = 9 V

c) Fuerza:

F ≈ (-0.81, -1.92) × 10⁻⁹ N

d) Energía potencial del sistema:

U ≈ -6.54 × 10⁻⁸ J

Septiembre Cuestión 4

a) Campo exterior:

E = KQ / r²

b) Razón E(2R)/E(3R):

Razón = 9/4

Junio A.2

a) Campo en (10, 0):

E ≈ 110 N/C hacia +x.

b) Campo en (0, 10):

E ≈ (-5.31, 0) N/C.

Modelo B.1

a) Campo en (1, 0, 0) y (-1, 0, 0):

E(1, 0, 0) = 5.65 × 10⁴ i N/C, E(-1, 0, 0) = -5.65 × 10⁴ i N/C.

b) σ₂ para E(-2, 0, 0) = +10⁴ N/C:

σ₂ ≈ -1.18 µC/m²

Septiembre Cuestión 3

a) Campo en el centro:

E ≈ (1.08, 1.08) × 10³ N/C

b) Potencial:

V ≈ 382 V

Septiembre B.1

a) Campo a 6 cm:

E = 2.5 × 10⁴ N/C

b) Campo a 1 cm:

E = 0

Junio A.1

a) Potencial en A(-2, 3):

V_A = 14.4 V

b) Campo en A:

E_total ≈ (-360, -630) N/C

c) Trabajo para ion -2e:

W = 5.82 × 10⁻¹⁸ J

d) Aceleración:

a ≈ (3.66, 6.40) × 10⁹ m/s²

Septiembre B.2

a) Hallar Q₁, Q₂:

Q₁ = Q₂ ≈ 3.14 × 10⁻⁶ C

b) Relación para V(2, 0) = 0:

Q₁ = -3Q₂

Junio B.2

a) Campo en (0, 3):

E_y ≈ -1.70 × 10³ N/C

b) Potencial en eje Y:

V(y) = 0

c) Campo en (3, 0):

E ≈ -1.01 × 10³ N/C

d) Potencial en (3, 0):

V = -2.25 × 10³ V

Modelo B.1

a) Campo en A(10, 0):

E = 1.8 × 10² N/C

b) Potencial y Energía:

V_A = 1.8 × 10³ V, U_A = 2.88 × 10⁻¹⁶ J

c) Energía cinética:

K_A = 8.35 × 10⁻²² J

d) Cambio de momento lineal:

Δp = 3.34 × 10⁻²⁴ kg·m/s

Septiembre B.2

a) Hallar Q:

Q ≈ -1.12 × 10⁻⁶ C

b) Potencial en el origen:

V ≈ 1.57 × 10⁴ V

Junio Cuestión 3

a) Posición A y Q:

x = 1.5 m, Q = -2 × 10⁻⁸ C

b) Trabajo:

W ≈ -9.02 × 10⁻¹⁸ J

Septiembre Cuestión 5

a) Energía y velocidad:

E = 10 eV, v ≈ 1.38 × 10⁵ m/s

Junio Cuestión 5

a) Cociente c/v:

c/v ≈ 71.6

Junio A.2

a) Q₃ para fuerza nula:

Q₃ ≈ 1.41 µC

b) Potencial:

V ≈ 6.37 × 10⁴ V

Modelo Cuestión 3

a) Campo en P:

E_total ≈ 4.22 × 10⁷ N/C hacia B.

b) Potencial en C:

V = 0

Septiembre B.2

a) Campo en A(3, 0):

E ≈ 2.20 × 10³ N/C hacia +x.

b) Potencial y Trabajo:

V_A = 0, W = 0.

Junio A.2

a) Fuerza:

F = -9.6 × 10⁻²⁵ j N

b) v(t):

v(t) = (3 × 10⁵, -1.05 × 10⁶t) m/s

c) E_c a t = 1 s:

E_c ≈ 5.4 × 10⁻¹⁹ J

d) ΔU a t = 1 s:

ΔU ≈ -5.04 × 10⁻¹⁹ J

Modelo Cuestión 3

a) Aceleración:

a ≈ 1.05 × 10¹⁶ m/s²

b) Velocidad:

v ≈ 2.29 × 10⁷ m/s

Septiembre Cuestión 1

• a) Superficies equipotenciales: Superficies donde el potencial V es constante.
• b) Para carga puntual: Son esferas concéntricas.
• c) Relación con líneas de fuerza: Son siempre perpendiculares.
• d) Ejemplo campo no conservativo: Campo magnético variable.

Junio B.2

a) Campo y potencial:

E = 3.6 × 10⁸ N/C, V = 7.2 × 10² V

b) Energía cinética:

E_c = 2.88 × 10⁻¹⁷ J

c) Velocidad y momento:

v ≈ 2.52 × 10⁷ m/s, p ≈ 2.29 × 10⁻²³ kg·m/s

Junio B.2

a) q_A:

q_A ≈ -2 µC

b) Potencial en el origen:

V = 9 × 10⁵ V

Modelo A.2

a) Distancia:

d ≈ 2.13 × 10⁻³ m

b) ΔU:

ΔU ≈ 1.70 × 10⁻¹⁸ J

Septiembre B.2

a) Puntos con V = 0:

x = 0 m y x = 4 m.

b) Fuerza:

F = -3.6 × 10⁻⁴ N (hacia la izquierda).

Junio B.2

a) Campo en el centro:

|E| ≈ 1.08 × 10⁷ N/C hacia el vértice vacío.

b) Trabajo:

W = 0.

Septiembre A.2

a) Campo en C:

|E| ≈ 7.79 × 10³ N/C

b) Potencial en C:

V = 1.8 × 10⁴ V

c) Trabajo:

W = 9 × 10⁻² J

d) Si q_B = -2 µC:

W = 0.

Junio Cuestión 3

a) Punto con E = 0:

En el origen (0, 0) y en el infinito.

b) Trabajo:

W = 0.