Identificar Grado, Término Principal y Término Independiente de Polinomios

Para resolver este ejercicio, debemos recordar algunas definiciones clave:

Definiciones Fundamentales

• Grado de un polinomio: Es el exponente más grande de la variable en el polinomio.
• Término principal: Es el término (número y variable con su exponente) que contiene la variable con el exponente más grande. Su coeficiente es el coeficiente principal.
• Término independiente: Es el término que no tiene variable, es decir, un número constante.

Procedimiento General

1. Simplificar o expandir (si es necesario): Asegúrate de que el polinomio esté en su forma más simple y desarrollada para identificar correctamente los términos.
2. Identificar el exponente más alto: Busca la variable con el exponente más grande en todo el polinomio. Este será el grado.
3. Identificar el término con el exponente más alto: Ese término completo (con su coeficiente y signo) es el término principal.
4. Identificar el término sin variable: Busca el número que no está multiplicando a ninguna variable. Ese es el término independiente.

Ejemplos Resueltos

a) f(x) = 5(x − 3)² + 4

1. Simplificar/Expandir:
   • Primero, expandimos el binomio al cuadrado: (x − 3)² = x² − 2(x)(3) + 3² = x² − 6x + 9.
   • Ahora, multiplicamos por 5: 5(x² − 6x + 9) = 5x² − 30x + 45.
   • Finalmente, sumamos el 4: f(x) = 5x² − 30x + 45 + 4 = 5x² − 30x + 49.
2. Identificar Grado, Término Principal e Independiente:
   • Grado: 2 (del término 5x²).
   • Término Principal: 5x².
   • Término Independiente: 49.

b) f(x) = −x² − 3x + 3

1. Simplificar/Expandir: El polinomio ya está en su forma más simple.
2. Identificar Grado, Término Principal e Independiente:
   • Grado: 2 (del término −x²).
   • Término Principal: −x².
   • Término Independiente: 3.

c) f(x) = 11x⁶ − x⁻³ + 5x − 2x³ − 6

¡Importante! Para que una expresión sea un polinomio, todos los exponentes de la variable deben ser números enteros no negativos. En este caso, tenemos un x⁻³, lo que significa que esta expresión no es un polinomio.

Asumiendo que es un error tipográfico o que se pide analizar la expresión algebraica general, el procedimiento sería:

1. Simplificar/Reordenar: Reorganizamos por grados descendentes (ignorando el término no polinómico por un momento): f(x) = 11x⁶ − 2x³ + 5x − 6 − x⁻³.
2. Identificar el componente polinómico:
   • Grado: 6 (del término 11x⁶).
   • Término Principal: 11x⁶.
   • Término Independiente: −6.

d) f(x) = -2/x⁻⁴ + 9x³ + 5

1. Simplificar/Expandir:
   • Recordamos que 1/x⁻ⁿ = xⁿ. Así que -2/x⁻⁴ = −2x⁴.
   • El polinomio simplificado es: f(x) = −2x⁴ + 9x³ + 5.
2. Identificar Grado, Término Principal e Independiente:
   • Grado: 4 (del término −2x⁴).
   • Término Principal: −2x⁴.
   • Término Independiente: 5.

Pasos para Graficar Funciones Polinomiales según su Grado

A. Funciones de Grado 0 (Constantes: y = c)

1. Dominio y Rango: El dominio es ℝ y el rango es {c}.
2. Identificar el punto: El único valor de y es la constante c.
3. Dibujar: Traza una línea horizontal que cruce el eje Y en el valor c.

B. Funciones de Grado 1 (Lineales: y = mx + b)

1. Dominio y Rango: Ambos son ℝ.
2. Punto 1 (Ordenada al origen): Identifica el punto donde la gráfica cruza el eje Y: (0, b).
3. Punto 2 (Abscisa al origen o Cero): Sustituye y=0 para encontrar dónde cruza el eje X: (cero, 0).
4. Usar la Pendiente (m): A partir de la ordenada al origen, usa la pendiente (m = Δy/Δx) para encontrar el siguiente punto.
5. Dibujar: Traza la recta que pasa por los puntos.

C. Funciones de Grado 2 (Cuadráticas: y = ax² + bx + c)

1. Dominio: El dominio es ℝ.
2. Calcular el Vértice (V): Este es el punto más importante para la gráfica y el rango.
   • Coordenada x del vértice: xᵥ = −b / (2a)
   • Coordenada y del vértice: yᵥ = f(xᵥ) (Sustituye xᵥ en la ecuación).
3. Calcular el Rango:
   • Si a > 0 (la parábola abre hacia arriba): El rango es [yᵥ, ∞).
   • Si a < 0 (la parábola abre hacia abajo): El rango es (−∞, yᵥ].
4. Encontrar los Ceros (si existen): Resuelve la ecuación cuadrática (y=0) para encontrar dónde la parábola cruza el eje X.
5. Crear una Tabla de Valores: Elige valores de x a ambos lados del vértice (al menos dos a cada lado) y calcula su correspondiente valor de y.
6. Dibujar: Grafica el vértice, los ceros y los puntos de la tabla para trazar la parábola.

D. Funciones de Grados Superiores (Grado 3, 4, etc.)

1. Dominio y Rango:
   • Grado Impar: El dominio y el rango son ℝ.
   • Grado Par: El dominio es ℝ. El rango se determina después de encontrar los máximos/mínimos (puntos críticos).
2. Encontrar los Ceros (Raíces): Encuentra las raíces reales de la función (y=0). Para esto, utiliza métodos como la División Sintética (Ruffini), factorización por agrupación o el teorema de la raíz racional. Estos puntos te indican dónde la gráfica cruza el eje X.
3. Análisis de Extremos (Puntos Críticos):
   • (Opcional/Avanzado): Utiliza la primera derivada f'(x) para encontrar los máximos y mínimos locales.
4. Crear una Tabla de Valores: Es crucial en estas funciones. Elige valores de x alrededor de los ceros y de los puntos críticos para ver cómo se comporta la curva.
5. Dibujar: Grafica todos los puntos y traza la curva suavemente, asegurándote de que la forma coincida con el grado (ej. grado 3 tiene forma de «S» o «S» invertida; grado 4 tiene forma de «W» o «M»).