Espacios Vectoriales

1. Definición de subespacio vectorial de ℝⁿ

Indica cuándo un subconjunto no vacío de ℝⁿ es un subespacio vectorial de ℝⁿ.

Sea V (o ℝⁿ) un espacio vectorial, y sea W un subconjunto de V no vacío (W ⊂ V, W ≠ ∅).

Decimos que W es un subespacio vectorial de V si (W, +, ∗) tiene estructura de espacio vectorial con las mismas operaciones de V, es decir, si verifica lo siguiente:

• 𝑢 + 𝑣 ∈ W, ∀𝑢, 𝑣 ∈ W
• 𝛼𝑢 ∈ W, ∀𝛼 ∈ ℝ, ∀ 𝑢 ∈ W

2. Condición necesaria y suficiente para que W ⊂ V sea un subespacio vectorial

Dado un espacio vectorial V y un subconjunto W no vacío de V (W ⊂ V, W ≠ ∅), es condición necesaria y suficiente para que W sea subespacio vectorial de V que se cumpla lo siguiente:

W es un subespacio de V ⇔ { ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ W, ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ } → 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 ∈ W

3. Significado de vectores generadores y sistema de generadores

¿Qué significa que los vectores {𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃} sean generadores de un espacio vectorial V? Define el concepto de sistema de generadores de un espacio vectorial.

Un conjunto {𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃} de vectores pertenecientes al espacio vectorial V es un sistema de generadores del espacio vectorial V si todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de 𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃.

Es decir, todo vector 𝑣 ∈ V se puede escribir como 𝑣 = 𝛼₁𝑢₁ + 𝛼₂𝑢₂ + 𝛼₃𝑢₃, donde 𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃ ∈ V y 𝛼₁, 𝛼₂, 𝛼₃ ∈ ℝ.

4. Comprobar si el conjunto S = {(1, 1, 0), (0, 1, 1)} es un sistema de generadores de ℝ³

Dos vectores nunca pueden generar todo ℝ³, ya que el mínimo de vectores linealmente independientes necesarios para generar ℝ³ es tres.

5. ¿Pueden dos vectores de ℝ³ ser un sistema de generadores?

Falso, ya que el mínimo de vectores necesarios para generar todo ℝ³ es de 3 vectores.

6. Definición de base de un espacio vectorial V

Sean {𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢𝑛} un conjunto de vectores del espacio vectorial V. Se dice que un conjunto B = {𝑢₁, 𝑢₂, …, 𝑢𝑛} es una base del espacio vectorial V si:

1. B es linealmente independiente.
2. B es generador de V (es decir, 〈B〉 = V).

Por lo que todo vector de V se puede escribir como combinación lineal única de los vectores de la base.

Es decir, una base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan dicho espacio vectorial V.

Aplicaciones Lineales

1. Definición de aplicación lineal

Sean V y W espacios vectoriales sobre ℝ. Una aplicación 𝑓: V → W es una aplicación lineal si cumple:

1. 𝑓(𝑢 + 𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣), ∀𝑢,𝑣 ∈ V
2. 𝑓(𝜆𝑢) = 𝜆𝑓(𝑢), ∀𝑢 ∈ V, ∀𝜆 ∈ ℝ

Estas dos condiciones se pueden resumir en una sola:

𝑓(𝛼𝑢 + 𝛽𝑣) = 𝛼𝑓(𝑢) + 𝛽𝑓(𝑣), ∀𝑢,𝑣 ∈ V, ∀𝛼,𝛽 ∈ ℝ

2. Definición del núcleo (Ker) de una aplicación lineal

Sea 𝑓: V → W una aplicación lineal (donde V y W son espacios vectoriales).

El núcleo de una aplicación (Ker(f)) es un subespacio vectorial del espacio inicial V (Ker(f) ⊂ V) tal que:

Ker(f) = {𝑥 ∈ V / 𝑓(𝑥) = 𝛩_W} = 𝑓⁻¹(𝛩_W)

El núcleo (Ker(f)) son los elementos de V cuya imagen es el vector nulo de W (𝛩_W).

3. Definición de la imagen (Im) de una aplicación lineal

La imagen de una aplicación (Im(f)) es un subespacio del espacio final W (Im(f) ⊂ W), tal que Im(f) = 𝑓(V) = {𝑦 ∈ W / ∃ 𝑥 ∈ V tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦} = {𝑓(𝑥) / 𝑥 ∈ V}.

La imagen de f son los elementos de W que provienen de algún elemento de V.

4. Definición de aplicación inyectiva

Una aplicación es inyectiva si elementos distintos de V tienen imágenes distintas en W:

𝑓 es inyectiva ⇔ [𝑥 ≠ 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦), ∀𝑥,𝑦 ∈ V], o equivalentemente

𝑓 es inyectiva ⇔ [𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) ⇒ 𝑥 = 𝑦, ∀𝑥,𝑦 ∈ V]

Teorema práctico: 𝑓 es inyectiva ⇔ Ker(f) = {𝛩_V}

Una aplicación es inyectiva si su núcleo está formado únicamente por el vector nulo (𝛩_V), lo que implica que dim(Ker(f)) = 0.

5. Aplicación sobreyectiva

Una aplicación es sobreyectiva si todo elemento de W es imagen de un elemento de V:

𝑓 es sobreyectiva ⇔ [∀𝑦 ∈ W, ∃ 𝑥 ∈ V tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦]

Teorema práctico: 𝑓 es sobreyectiva ⇔ Im(f) = W

Una aplicación es sobreyectiva si su imagen coincide con el espacio final W, lo que implica que dim(W) = dim(Im(f)).

Recordatorio: El rango de una aplicación lineal es igual a la dimensión de su imagen: dim(Im(f)) = rango(f).

6. Aplicación biyectiva

Es aquella que es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva.

7. Teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales

Sea 𝑓: V → W una aplicación lineal.

dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)). Por lo tanto, dim(Im(f)) ≤ dim(V).

8. Relación entre las dimensiones de V e Im(f)

Sea la aplicación lineal 𝑓: V → W. Justificar la relación de desigualdad entre las dimensiones de V e Im(f).

Se cumple que dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)), y por lo tanto, dim(Im(f)) ≤ dim(V), ya que dim(Ker(f)) ≥ 0.

9. Relación entre dim(V) y dim(W) si f es inyectiva

Sea la aplicación lineal 𝑓: V → W. Justifica la relación de desigualdad existente entre dim(V) y dim(W) si es inyectiva.

Si f es inyectiva, dim(Ker(f)) = 0. Por el teorema de las dimensiones, dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = 0 + dim(Im(f)) = dim(Im(f)). Dado que Im(f) es un subespacio de W, dim(Im(f)) ≤ dim(W). Por lo tanto, dim(V) ≤ dim(W).

10. Si dim(V) < dim(W), ¿puede f ser sobreyectiva?

Dada una aplicación lineal 𝑓: V → W, demostrar que si dim(V) < dim(W), la aplicación lineal f no puede ser sobreyectiva.

No puede ser sobreyectiva. Por el teorema de las dimensiones, dim(Im(f)) = dim(V) – dim(Ker(f)). Como dim(Ker(f)) ≥ 0, tenemos que dim(Im(f)) ≤ dim(V). Dado que dim(V) < dim(W), se deduce que dim(Im(f)) < dim(W). Para que f sea sobreyectiva, se requiere que dim(Im(f)) = dim(W). Por lo tanto, f no puede ser sobreyectiva si dim(V) < dim(W).

11. ¿Cuál afirmación es correcta?

Sea V y W espacios vectoriales con dim(V) ≤ dim(W) y sea 𝑓: V → W una aplicación lineal.

1. La aplicación f no puede ser inyectiva
2. La aplicación f no puede ser sobreyectiva
3. La aplicación f puede ser biyectiva
4. Tanto a como b son ciertas, y c es falsa
5. Tanto a como b son falsas, y c es cierta.

X b.- La aplicación f no puede ser sobreyectiva

12. ¿Puede existir una aplicación lineal biyectiva 𝑓: ℝ³ → ℝ⁴? Justificación

Para que una aplicación lineal sea biyectiva, debe ser inyectiva y sobreyectiva.

Será sobreyectiva si dim(Im(f)) = dim(Espacio final). En este caso, la dimensión del espacio final es dim(ℝ⁴) = 4.

Pero el espacio inicial tiene dimensión 3, y por el teorema de las dimensiones, sabemos que dim(ℝ³) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).

Entonces, 3 = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)). Como dim(Ker(f)) ≥ 0, se deduce que dim(Im(f)) ≤ 3. Para ser sobreyectiva, se necesitaría dim(Im(f)) = 4, lo cual es imposible. Por lo tanto, la aplicación no puede ser sobreyectiva y, en consecuencia, tampoco biyectiva.

13. ¿Puede ser sobreyectiva la aplicación lineal 𝑓: ℝ² → ℝ³?

Una aplicación 𝑓 es sobreyectiva si dim(Im(f)) = dim(Espacio final). En este caso, la dimensión del espacio final es dim(ℝ³) = 3.

Pero el espacio inicial tiene dimensión 2, y por el teorema de las dimensiones, sabemos que dim(ℝ²) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).

Entonces, 2 = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)). Como dim(Ker(f)) ≥ 0, se deduce que dim(Im(f)) ≤ 2. Para ser sobreyectiva, se necesitaría dim(Im(f)) = 3, lo cual es imposible. Por lo tanto, la aplicación no puede ser sobreyectiva (y tampoco biyectiva).