Espacios Vectoriales

1.- Definición de subespacio vectorial de Rⁿ

Indica cuándo un subconjunto no vacío de Rⁿ es un subespacio vectorial de Rⁿ:

Sea V (o Rⁿ) un espacio vectorial, y sea W un subconjunto no vacío de V (W ⊂ V, W ≠ ∅). Decimos que W es un subespacio vectorial de V si (W, +, ∗) tiene estructura de espacio vectorial con las mismas operaciones de V, es decir, si verifica:

• u + v ∈ W, ∀u, v ∈ W
• αu ∈ W, ∀α ∈ R, ∀u ∈ W

2.- Enunciar la condición necesaria y suficiente para que W ⊂ V sea un subespacio vectorial.

Dado un espacio vectorial V y un subconjunto W no vacío de V (W ⊂ V, W ≠ ∅), es condición necesaria y suficiente para que W sea un subespacio vectorial de V que se cumpla:

W es un subespacio de V ⇔ (∀u, v ∈ W, ∀α, β ∈ R) → αu + βv ∈ W

3.- ¿Qué significa que los vectores {u1, u2, u3} sean generadores de un espacio vectorial V? Define el concepto de sistema de generadores de un espacio vectorial; V = 〈u1, u2, …, un〉.

Un conjunto {u1, u2, u3} de vectores pertenecientes al espacio vectorial V es un sistema de generadores del espacio vectorial V si todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de u1, u2, u3. Es decir, todo vector v ∈ V se puede escribir como v = α1u1 + α2u2 + α3u3, donde u1, u2, …, un ∈ V y α1, α2, …, αn ∈ R.

4.- Comprobar si el conjunto S = {(1, 1, 0), (0, 1, 1)} es un sistema de generadores de R³.

Nunca dos vectores pueden generar todo R³, ya que el mínimo de vectores necesarios es tres (y aquí solo nos dan dos vectores).

5.- ¿Pueden dos vectores de R³ ser un sistema de generadores?

Falso, ya que el mínimo de vectores necesarios para generar todo R³ es de 3 vectores.

6.- Definición de base de un espacio vectorial V.

Sean u1, u2, …, un un conjunto de vectores del espacio vectorial V. Se dice que un conjunto B = 〈u1, u2, …, un〉 es una base del espacio vectorial V si:

1. B es linealmente independiente.
2. B es generador de V, es decir, 〈B〉 = V.

Por lo tanto, todo vector de V se puede escribir como combinación lineal única de los vectores de la base. Es decir, una base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores linealmente independientes que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio vectorial V.

7.- Define la dimensión de un espacio vectorial.

La dimensión de un espacio vectorial V (dim(V)) es el número de vectores linealmente independientes de dicho espacio (o el número de vectores que forman una base de V). Sea V = 〈B〉, donde B = {u1, u2, …, un} es una base de V (formada por n vectores), entonces la dimensión de V es dim(V) = n.

Siendo n el número mínimo de vectores generadores de V y el número máximo de vectores linealmente independientes de V.

8.- Define combinación lineal de vectores.

Sean u1, u2, …, un vectores pertenecientes al espacio vectorial V (o Rⁿ), y sean los escalares α1, α2, …, αn ∈ R, la expresión:

v = α1u1 + α2u2 + … + αnun = ∑ αiui; se denomina combinación lineal de los vectores u1, u2, …, un.

12.- ¿Pueden ser linealmente independientes cuatro vectores de R³?

Falso: El número máximo de vectores linealmente independientes que puede haber en R³ es 3.

9.- Definir las coordenadas de un vector v de un espacio vectorial V, respecto a la base B.

Un conjunto B = {u1, u2, …, un} ⊂ V es una base de V si y solo si todo vector de V se puede escribir de manera única como combinación lineal de los elementos de B. Si v = α1u1 + α2u2 + … + αnun, a los escalares α1, α2, …, αn se les llama coordenadas del vector v de V en la base B. Estos escalares de la combinación lineal son únicos (ya que todo vector de V se puede escribir de forma única como combinación lineal de los elementos de B).

10.- Define el concepto de vectores linealmente independientes y linealmente dependientes.

Un conjunto {u1, u2, …, un} de vectores pertenecientes a un espacio vectorial V es linealmente independiente (o libre) si α1u1 + α2u2 + … + αnun = Θ implica que α1 = α2 = … = αn = 0 (solución trivial). Si no se verifica esto, es decir, si existe algún αi ≠ 0 tal que ∑ αiui = Θ, entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes o que forman un conjunto ligado.

11.- Explicar qué se entiende por conjunto de vectores linealmente dependientes en un espacio vectorial, sabiendo que v1 = 3v2 − v3 y que: v1 = w1 + w2, v2 = w2 − 2w3, v3 = w3 + 3w4. Decir si w1, w2, w3, w4 son linealmente dependientes o linealmente independientes.

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros. En nuestro ejercicio tenemos v1 = 3v2 − v3. Sustituyendo las expresiones dadas:

w1 + w2 = 3(w2 − 2w3) − (w3 + 3w4)

w1 + w2 = 3w2 − 6w3 − w3 − 3w4

w1 = 2w2 − 7w3 − 3w4

Como uno de los vectores se puede expresar como combinación lineal de los otros, entonces los vectores {w1, w2, w3, w4} son linealmente dependientes.

13.- ¿Si u y v son linealmente independientes, también lo son 2u y 3v? Razona.

Verdadero. Serán linealmente independientes si α(2u) + β(3v) = Θ implica que α = β = 0.

Tenemos la ecuación: 2αu + 3βv = Θ.

Dado que u y v son linealmente independientes, los coeficientes de su combinación lineal deben ser cero para que el resultado sea el vector nulo. Por lo tanto:

• 2α = 0 ⇒ α = 0
• 3β = 0 ⇒ β = 0

Así, los vectores 2u y 3v son linealmente independientes.

14.- Demostrar que el conjunto {u1, u2, …, un, Θ} es un conjunto ligado.

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente (o ligado) si existe al menos un coeficiente no nulo tal que su combinación lineal sea el vector nulo.

Cualquier conjunto de vectores que contenga el vector nulo Θ es un conjunto linealmente dependiente (ligado). Por ejemplo, para el conjunto {u1, u2, …, Θ, …, un}, podemos formar la combinación lineal:

α1u1 + α2u2 + … + αkΘ + … + αnun = Θ

Si elegimos αk = 1 (o cualquier otro valor no nulo) y el resto de los αi = 0, la igualdad se cumple (0u1 + … + 1Θ + … + 0un = Θ). Dado que existe un coeficiente no nulo (αk = 1) para el vector nulo, el conjunto es linealmente dependiente.

15.- Demuestra que el conjunto {v1, v2, v1, v3, …, vn} ∈ Rⁿ es ligado.

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente (o ligado) si existe al menos un coeficiente no nulo tal que su combinación lineal sea el vector nulo. También, un conjunto es linealmente dependiente si uno de sus vectores se puede expresar como combinación lineal de los otros.

En este caso, el conjunto contiene dos vectores iguales (v1). Podemos formar la combinación lineal:

1v1 + 0v2 + (−1)v1 + 0v3 + … + 0vn = Θ

Aquí, los coeficientes para los dos vectores v1 son 1 y −1, respectivamente, los cuales no son ambos cero. Por lo tanto, el conjunto es linealmente dependiente.

16.- ¿Un conjunto de vectores linealmente independientes puede contener dos vectores proporcionales?

Falso. Un conjunto de vectores linealmente independientes no puede contener dos vectores proporcionales, porque si son proporcionales, uno es combinación lineal del otro y, por lo tanto, serían linealmente dependientes.

17.- Demuestra que en una base de V, todo vector de V se puede escribir de forma única como combinación lineal de los elementos de la base.

Supongamos que B = {v1, v2, …, vn} es una base de V. Tomemos un vector v ∈ V y supongamos que se puede escribir como dos combinaciones lineales distintas de los vectores de la base:

v = α1v1 + α2v2 + … + αnvn (1)

v = β1v1 + β2v2 + … + βnvn (2)

Restando (2) de (1), obtenemos:

Θ = (α1−β1)v1 + (α2−β2)v2 + … + (αn−βn)vn

Dado que B es una base, sus vectores {v1, v2, …, vn} son linealmente independientes. Por lo tanto, los coeficientes de esta combinación lineal deben ser cero:

αi − βi = 0 ⇒ αi = βi para todo i = 1, …, n.

Esto demuestra que las coordenadas son únicas y, por ende, v se escribe de forma única como combinación lineal de los elementos de la base.

18.- Demostrar que el conjunto de matrices simétricas de orden 2 es un subespacio vectorial del conjunto de matrices cuadradas de orden 2.

Podemos definir el conjunto de matrices simétricas de orden 2 como A = {X ∈ M_2×2 | X^T = X}.

Para demostrar que A es un subespacio vectorial de M_2×2, debemos verificar que para cualquier X, Y ∈ A y cualquier α, β ∈ R, la combinación lineal αX + βY también pertenece a A. Es decir, debemos comprobar que (αX + βY)^T = αX + βY.

Sabemos que la transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas, y la transpuesta de un escalar por una matriz es el escalar por la transpuesta de la matriz:

(αX + βY)^T = αX^T + βY^T.

Dado que X, Y ∈ A, sabemos que X^T = X y Y^T = Y. Sustituyendo, obtenemos:

αX^T + βY^T = αX + βY.

Por lo tanto, (αX + βY)^T = αX + βY, lo que implica que αX + βY ∈ A. Así, A es un subespacio vectorial de M_2×2.

20.- (2024) Sean u1, u2, u3, …, um ∈ R^m. Demostrar que si existe α2, α3, …, αm ∈ R tal que u1 = α2u2 + α3u3 + … + αmum, entonces el conjunto de vectores {u1, u2, u3, …, um} es linealmente dependiente.

Un conjunto de vectores {u1, u2, u3, …, um} es linealmente independiente si en la ecuación:

α1u1 + α2u2 + α3u3 + … + αmum = Θ

todos los coeficientes α1, α2, …, αm son iguales a cero (es decir, αi = 0 para todo i).

Si tenemos que u1 = α2u2 + α3u3 + … + αmum, podemos reescribir esta ecuación igualándola al vector nulo:

−1u1 + α2u2 + α3u3 + … + αmum = Θ

En esta combinación lineal, el coeficiente de u1 es −1, el cual es distinto de cero. Por lo tanto, dado que existe al menos un coeficiente no nulo (α1 = −1) que satisface la ecuación de combinación lineal igualada al vector nulo, el conjunto de vectores {u1, u2, u3, …, um} es linealmente dependiente.

19.- (2023. Economía) Dado un conjunto A = {x1, x2, …, xn} de n vectores del espacio vectorial Rⁿ. Indique cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

• V Si el conjunto A es un sistema de generadores, entonces el conjunto A es una base de Rⁿ. (Verdadero, si n es la dimensión de Rⁿ, un sistema de generadores con n vectores es una base).
• F Si el conjunto A es una base de Rⁿ, entonces cualquier subconjunto de m vectores (m < n) de A es un sistema de generadores de Rⁿ. (Falso, un subconjunto de una base no necesariamente genera todo el espacio, solo un subespacio de menor dimensión).
• V Si el conjunto A es un conjunto linealmente independiente de vectores, entonces el conjunto A es una base de Rⁿ. (Verdadero, si n es la dimensión de Rⁿ, un conjunto linealmente independiente con n vectores es una base).
• V Si el conjunto A es una base de Rⁿ, entonces cualquier subconjunto de m vectores (m < n) de A es un conjunto linealmente independiente de vectores. (Verdadero, cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente).
• F Si el conjunto A es un conjunto linealmente independiente de vectores, entonces el conjunto A no puede ser un sistema de generadores de Rⁿ. (Falso, si el número de vectores es igual a la dimensión del espacio, un conjunto linealmente independiente es también un sistema de generadores y, por lo tanto, una base).

Aplicaciones Lineales

1.- Definición de aplicación lineal.

Sean V y W espacios vectoriales reales (sobre R). Una aplicación f: V → W es una aplicación lineal si cumple:

• f(u + v) = f(u) + f(v), ∀u, v ∈ V
• f(λu) = λf(u), ∀u ∈ V, ∀λ ∈ R

Estas dos condiciones se pueden resumir en una sola: f(αu + βv) = αf(u) + βf(v), ∀u, v ∈ V, ∀α, β ∈ R.

2.- Definición del núcleo (Ker) de una aplicación lineal.

Sea f: V → W una aplicación lineal (donde V y W son espacios vectoriales). El núcleo de una aplicación, denotado como Ker(f), es un subespacio vectorial del espacio inicial V (Ker(f) ⊂ V) tal que:

Ker(f) = {x ∈ V | f(x) = Θw} = f^-1(Θw)

El Ker(f) o núcleo está formado por los elementos de V que tienen por imagen al vector nulo Θw.

3.- Definición de la imagen de una aplicación lineal.

La imagen de una aplicación, denotada como Im(f), es un subespacio vectorial del espacio final W (Im(f) ⊂ W), tal que:

Im(f) = f(V) = {y ∈ W | ∃x ∈ V tal que f(x) = y} = {f(x) | x ∈ V}

La imagen de f está formada por los elementos de W que son imagen de algún elemento de V.

4.- Definición de función inyectiva.

Una función f: V → W es inyectiva si elementos distintos de V tienen imágenes distintas en W:

• f es inyectiva ⇔ [x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y), ∀x, y ∈ V]
• o, equivalentemente, f es inyectiva ⇔ [f(x) = f(y) ⇒ x = y, ∀x, y ∈ V]

Teorema fundamental para la inyectividad:

f es inyectiva ⇔ Ker(f) = {Θv}

Una función es inyectiva si su núcleo está formado únicamente por el vector nulo Θv, lo que implica que dim(Ker(f)) = 0.

5.- Definición de función sobreyectiva.

Una función f: V → W es sobreyectiva si todo elemento de W es imagen de al menos un elemento de V:

f es sobreyectiva ⇔ [∀y ∈ W, ∃x ∈ V tal que f(x) = y]

Teorema fundamental para la sobreyectividad:

f es sobreyectiva ⇔ Im(f) = W

Una función es sobreyectiva si su imagen coincide con el espacio final W, lo que implica que dim(W) = dim(Im(f)).

Nota importante:

El rango de una aplicación lineal es igual a la dimensión de la imagen de la aplicación, es decir, dim(Im(f)) = rango(f).

6.- Definición de función biyectiva.

Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

7.- Teorema fundamental de las dimensiones.

Sea f: V → W una aplicación lineal. Se cumple que:

dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))

Por lo tanto, se deduce que dim(Im(f)) ≤ dim(V).

8.- Justificación de la relación de desigualdad entre dim(V) y dim(Im(f)).

Sea la aplicación lineal f: V → W. Según el Teorema fundamental de las dimensiones, se cumple que:

dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))

Dado que la dimensión del núcleo, dim(Ker(f)), es siempre mayor o igual a cero (dim(Ker(f)) ≥ 0), se deduce que dim(Im(f)) ≤ dim(V).

9.- Justificación de la relación de desigualdad existente entre dim(V) y dim(W) si f es inyectiva.

Sea la aplicación lineal f: V → W. Si f es inyectiva, entonces dim(Ker(f)) = 0. Aplicando el Teorema fundamental de las dimensiones:

dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))

dim(V) = 0 + dim(Im(f))

dim(V) = dim(Im(f))

Además, sabemos que la imagen de f es un subespacio de W (Im(f) ⊂ W), lo que implica que dim(Im(f)) ≤ dim(W). Por lo tanto, si f es inyectiva, se cumple que dim(V) ≤ dim(W).

10.- Pregunta de opción múltiple sobre dimensiones y aplicaciones lineales.

Sea V y W espacios vectoriales con dim(V) ≤ dim(W) y sea f: V → W una aplicación lineal. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

• a.- La aplicación f no puede ser inyectiva.
• b.- La aplicación f no puede ser sobreyectiva.
• c.- La aplicación f puede ser biyectiva.
• d.- Tanto a como b son ciertas, y c es falsa.
• e.- Tanto a como b son falsas, y c es cierta.

Respuesta correcta: b.

Justificación:

• Si f fuera sobreyectiva, entonces dim(Im(f)) = dim(W).
• Por el Teorema de las Dimensiones, dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).
• Sustituyendo, dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(W).
• Dado que dim(Ker(f)) ≥ 0, esto implicaría que dim(V) ≥ dim(W).
• Sin embargo, el enunciado establece que dim(V) ≤ dim(W). Para que f sea sobreyectiva, se necesitaría que dim(V) ≥ dim(W). Si dim(V) < dim(W), f definitivamente no puede ser sobreyectiva.

11.- ¿Puede existir una aplicación lineal biyectiva f: R³ → R⁴? Justifica.

Para que una aplicación lineal sea biyectiva, debe ser inyectiva y sobreyectiva.

Para que f sea sobreyectiva, la dimensión de su imagen debe ser igual a la dimensión del espacio final, es decir, dim(Im(f)) = dim(R⁴) = 4.

Sin embargo, por el Teorema fundamental de las dimensiones, sabemos que dim(R³) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).

Dado que dim(R³) = 3 y dim(Ker(f)) ≥ 0, se deduce que dim(Im(f)) ≤ 3.

Como 3 < 4, la dimensión de la imagen (dim(Im(f))) no puede ser igual a la dimensión del espacio final (dim(R⁴)). Por lo tanto, la aplicación f no puede ser sobreyectiva y, en consecuencia, tampoco puede ser biyectiva.

12.- Demostrar que si dim(V) < dim(W), una aplicación lineal f: V → W no puede ser sobreyectiva.

Para que una aplicación lineal f: V → W sea sobreyectiva, es necesario que la dimensión de su imagen sea igual a la dimensión del espacio final W, es decir, dim(Im(f)) = dim(W).

Por el Teorema fundamental de las dimensiones, sabemos que dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).

Dado que dim(Ker(f)) ≥ 0, se deduce que dim(Im(f)) ≤ dim(V).

Si se nos da la condición dim(V) < dim(W), entonces, combinando las desigualdades, tenemos:

dim(Im(f)) ≤ dim(V) < dim(W)

Esto implica que dim(Im(f)) < dim(W). Por lo tanto, la aplicación lineal f no puede ser sobreyectiva, ya que su imagen no puede generar todo el espacio W.

13.- ¿Puede ser sobreyectiva una aplicación lineal f: R² → R³?

Para que una aplicación f sea sobreyectiva, la dimensión de su imagen debe ser igual a la dimensión del espacio final. En este caso, la dimensión del espacio final es dim(R³) = 3.

Sin embargo, el espacio inicial es R², con dim(R²) = 2. Aplicando el Teorema fundamental de las dimensiones:

dim(R²) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))

2 = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))

Dado que dim(Ker(f)) ≥ 0, se deduce que dim(Im(f)) ≤ 2.

Como 2 < 3, la dimensión de la imagen (dim(Im(f))) no puede ser igual a la dimensión del espacio final (dim(R³)). Por lo tanto, la aplicación f no puede ser sobreyectiva y, en consecuencia, tampoco puede ser biyectiva.

14.- ¿Cuándo es invertible una aplicación lineal? Definición de la inversa de una aplicación lineal.

Una aplicación lineal es invertible si y solo si es biyectiva (es decir, un isomorfismo). Si una aplicación no es biyectiva, no se puede calcular su inversa.

Sea f: V → W una aplicación lineal biyectiva (isomorfismo). Definimos la inversa de f, denotada como f^-1, como una aplicación de W en V tal que:

f^-1: W → V, donde para cada y ∈ W, f^-1(y) = x si y solo si f(x) = y.

15.- Definición de matriz asociada a una aplicación lineal.

Sean:

• f: V → W una aplicación lineal.
• B = {a1, a2, …, an} una base de V (por lo tanto, dim(V) = n).
• B’ = {b1, b2, …, bm} una base de W (por lo tanto, dim(W) = m).

Dado que f(aj) es un elemento de W, se puede expresar como combinación lineal de los elementos de la base B’. Es decir:

f(a1) = α11b1 + α21b2 + ... + αm1bm
f(a2) = α12b1 + α22b2 + ... + αm2bm
...
f(an) = α1nb1 + α2nb2 + ... + αmnbm

Llamamos matriz asociada a la aplicación lineal f respecto a las bases B y B’, denotada como M_BB’(f), a la matriz que tiene por columnas las coordenadas de las imágenes f(a1), f(a2), …, f(an) en la base B’. Es decir, los escalares de cada una de las combinaciones lineales anteriores son los elementos de cada columna de la matriz M_BB’(f), que tendrá un orden m × n (es decir, dim(W) × dim(V)).

Matriz:

MBB'(f) = 
  [ α11  α12  ...  α1n ]
  [ α21  α22  ...  α2n ]
  [  .    .         .  ]
  [  .    .         .  ]
  [  .    .         .  ]
  [ αm1  αm2  ...  αmn ]

18.- (2023. Economía) Afirmaciones sobre aplicaciones lineales y composición de matrices.

Sean f: U → V y g: V → W dos aplicaciones lineales. Indique cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

• V Si la aplicación lineal f es un isomorfismo (aplicación lineal biyectiva), entonces la dimensión de su núcleo es igual a cero: dim(Ker(f)) = 0. (Verdadero, por la definición de inyectividad).
• V La matriz asociada a la composición de g compuesta con f respecto a las bases canónicas es igual al producto de la matriz asociada a la aplicación lineal g por la matriz asociada a la aplicación lineal f respecto de las bases canónicas: M(g &compfn; f) = M(g) · M(f). (Verdadero, esta es una propiedad fundamental de las matrices asociadas a composiciones de aplicaciones lineales).

17.- Demostrar que el conjunto imagen (Im) de una aplicación lineal f: V → W es un subespacio vectorial de W.

Sea f: V → W una aplicación lineal (donde V y W son espacios vectoriales).

La imagen de una aplicación, Im(f), es un subconjunto del espacio W (Im(f) ⊂ W) que está formada por los elementos de W que son imagen de algún elemento de V:

Im(f) = f(V) = {a ∈ W | ∃u ∈ V tal que f(u) = a}

Para demostrar que Im(f) es un subespacio vectorial de W, debemos verificar que para cualquier a, b ∈ Im(f) y cualquier α, β ∈ R, la combinación lineal αa + βb también pertenece a Im(f).

Si a, b ∈ Im(f), entonces por definición, existen u, v ∈ V tales que:

• f(u) = a
• f(v) = b

Dado que V es un espacio vectorial, la combinación lineal αu + βv también pertenece a V (αu + βv ∈ V).

Como f es una aplicación lineal, cumple la propiedad de linealidad:

f(αu + βv) = αf(u) + βf(v)

Sustituyendo f(u) = a y f(v) = b en la expresión anterior:

f(αu + βv) = αa + βb

Dado que αu + βv ∈ V y su imagen f(αu + βv) = αa + βb, por la definición de imagen, concluimos que αa + βb ∈ Im(f).

Por lo tanto, Im(f) es un subespacio vectorial de W.