Temas Avanzados en la Teoría de la Producción

Introducción al Estudio del Cálculo Diferencial

Conocido como cálculo, es la base del análisis matemático de los fenómenos en movimiento o en cambio.

Cálculo Diferencial

Trata esencialmente de determinar la derivada de una función.

Cálculo Integral

Se refiere al problema inverso, es decir, determinar la función cuando se conoce su derivada o diferencial.

El Cálculo Diferencial e Integral: Un Importante Método de Análisis Marginal

El análisis marginal se refiere a una relación de cambios, o sea, la variación en el margen, lo cual se expresa analíticamente como la primera derivada de una función.

Costo Total

Es una función de la cantidad producida y a menudo cambia o varía en la medida en que cambia el nivel o volumen de producción.

Costo Marginal

Es la relación de la variación o cambio en el costo total con respecto a la variación o cambio en el nivel de producción. Por lo tanto, el costo marginal es la primera derivada del costo total.

Función o Igualdad Matemática

Es una función matemática que muestra una variable dependiente y una variable independiente, que también puede presentar una o más constantes.

Una Función

Se expresa y = f(x) donde:
y = variable dependiente
f = en función de
x = variable independiente

Definición de Derivada y Reglas Generales de Derivación

Derivada

Se define como la variación o cambio en el valor de una variable y (dependiente) debido a una variación unitaria en el valor de la variable x (independiente). En términos generales, la derivada de una función expresa una relación de cambios o incrementos.

Es decir, el incremento o variación de una variable entre el incremento o variación de otra variable, y se expresa en: ΔY/Δx o dy/dx

Delta Mayúscula (Δ)

O simplemente por D, que significa diferencial, y d = que es la letra minúscula de delta (Δ) en el alfabeto griego.

Variación de la Variable Independiente (x)

Es importante tener presente que la variación de la variable x (independiente) tiene un límite, es decir, que se acerca o tiende a cero, y se expresa en la siguiente forma: Δx → 0

Límite de la Derivada

Por lo tanto: dy/dx = límite ΔY/Δx Δx → 0. La expresión anterior se lee: la derivada de y con respecto a x es igual al límite del cociente del incremento en y dividido entre el incremento de x, a medida que el incremento en x tiende a cero, o sea, el límite.

Reglas Generales de Derivación

Derivación

Es el proceso por el cual se determina la derivada de una función, es decir, encontrar la variación en y por un cambio o variación en x cuando el cambio en x tiende o se acerca a cero (Δx → 0), siendo y y x las variables de la función.

Regla 1: Derivada de una Función Constante

La derivada de una función constante y = f(x) = a es igual a cero para todos los valores de «a», o sea, la constante. Es decir, teniendo la función y = f(x) = a, su derivada dy/dx = 0.

Regla 2: Derivada de la Función Exponencial

La derivada de una función exponencial y = ax^b, donde a y b son constantes y x es la variable independiente, es igual al exponente de la función (b) multiplicado por el coeficiente de la variable independiente de la función (a) por la variable «x» elevada al exponente b-1 (x^b-1).

Regla 3: Derivada de Funciones de Suma y Diferencia o Resta

La derivada de una función de suma o resta es igual a la suma o resta de las derivadas de cada uno de los términos de la función. Es decir, siendo U = q(x) y V = h(x), entonces la función será: Y = U ± V, su derivada será: dy/dx = dU/dx ± dV/dx.

Regla 4: Derivada de la Función del Producto

La derivada de la función del producto de dos términos o expresiones es igual a la primera expresión o término multiplicado por la derivada de la segunda expresión o término, más la segunda expresión o término multiplicado por la derivada de la primera expresión o término. Sea la función y = U * V, donde U = g(x) y V = h(x).

Regla 5: Derivada de la Función Cociente

La derivada del cociente de dos expresiones o términos es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el denominador al cuadrado. Por lo tanto, para la función y = U/V…

Regla 6: Derivada de la Función de una Función o de una Función Compuesta

Si y = f(v) y U = g(x), entonces la derivada de «y» con respecto a «x» es igual a la derivada de «y» con respecto a «U» multiplicada por la derivada de «u» con respecto a «x».

Aplicaciones de la Primera Derivada en Economía

La primera derivada de una función tiene aplicaciones en problemas de economía relacionados con los conceptos de costo marginal e ingreso marginal a nivel microeconómico. En el campo de la macroeconomía, la primera derivada tiene aplicaciones en el estudio de los conceptos de propensión marginal al ahorro (PMA = ΔS/ΔI) y propensión marginal al consumo (PMC = ΔC/ΔI).

Análisis de la Producción en Microeconomía

Cuando se estudia economía, se analiza la variación en la cantidad de una variable (y) con respecto a la variación en la cantidad de otra variable (x) en términos de valor medio o promedio y de valor marginal. En microeconomía, se analiza la producción aplicando los conceptos de producto total (PT), producto medio (PM) y producto marginal (PMA). En el estudio de la teoría de los costos, se analizan los conceptos de ingreso total (IT), ingreso medio (IME) e ingreso marginal (IMA). Asimismo, se analiza el costo total (CT), costo medio (CMe) y costo marginal (CMa) para determinar el nivel de producción de una empresa que maximiza el beneficio o ganancia.

Valor Medio y Valor Marginal

Para la aplicación de las derivadas, es importante distinguir entre valor medio y valor marginal. Un valor medio o promedio expresa el valor o cantidad total de una variable (y) entre el valor o cantidad total de otra variable (x). Si se trata de una función, es el valor de la variable dependiente (y) dividido entre el valor de la variable independiente (x). Un valor marginal se refiere a la variación o cambio en la variable y (dependiente) ante pequeñas variaciones o cambios en la variable x (independiente), o sea, la primera derivada de la función.

Aplicación de las Derivadas en los Costos de Producción

Si el costo total (y) de producción y comercialización de (x) número de unidades producidas de un determinado bien económico está dado por la función y = f(x), donde y = variable dependiente, f = función de, y x = variable independiente, entonces el costo medio (CMe) o costo unitario será: CMe = y/x o f(x)/x.

Si la producción total se incrementa en una cantidad constante, es decir, Δx (delta x), a partir de cierto valor de x, y si el correspondiente incremento en el costo total es Δy (delta y), entonces el incremento medio o promedio del costo total por unidad de aumento en la producción será Δy/Δx. El costo marginal se define como Δy/Δx = límite Δy/Δx = dy/dx x → 0, que es la primera derivada del costo total y = f(x), dy/dx.

Es decir, el costo marginal (CMa) es igual a la primera derivada de la función del costo total (CT), o sea, y = f(x), y, por lo tanto, la tasa de incremento en el costo total con respecto al incremento en la producción (x), dada la función de costo y = 20 + 2x + 0.5x²…

Aplicación de la Derivada en los Ingresos por Ventas

Para cualquier función de demanda dada, donde y = precio unitario, x = unidades vendidas, IT = cantidad * precio unitario (PU), entonces el ingreso por ventas (I) será el producto de x * y, es decir, unidades vendidas por el precio unitario: I = x * y, I = f(x).

El ingreso marginal (IMA) con respecto a la cantidad demandada es la primera derivada de la función del ingreso total (I) con respecto a (x): dI/dx = f(x). Lo anterior expresa la tasa de cambio del ingreso total con respecto al cambio en la demanda de unidades.

Elasticidad de la Producción

Se define como la variación proporcional en el producto total dividido entre la variación proporcional en la cantidad de unidades del factor variable (trabajo) utilizadas en un proceso productivo. Se presenta aritméticamente: ηp = (PT₂ – PT₁)/PT₁ / (FV₂ – FV₁)/FV₁ = ηp = {> 1 producción elástica, = 1 producción unitaria, < 1 producción inelástica}. La medida exacta o precisa de la elasticidad de la producción se denomina coeficiente de elasticidad de la producción.

Interpretación y Análisis de los Coeficientes de Elasticidad de la Producción

Coeficiente de Elasticidad Mayor que 1 (ηp > 1)

Define un tramo o segmento de la curva de producto total que se define o califica como producción elástica. Esto significa que el producto total de la empresa crece más que proporcionalmente, o en una proporción mayor, a la proporción en que varía la utilización del factor variable (trabajo).

Coeficiente de Elasticidad de la Producción Igual a 1 (ηp = 1)

Define un tramo o segmento de la curva de producto total que se califica como producción unitaria. Significa que el producto total de la empresa crece en forma proporcional, o en la misma proporción, en que se utiliza el factor variable (trabajo).

Coeficiente de Elasticidad de la Producción Menor que 1 (ηp < 1)

Define un tramo o segmento de la curva de producto total que se califica como producción inelástica. Esto significa que el producto total de la empresa crece menos que proporcionalmente, o en una proporción menor, a la proporción en que varía la utilización del factor variable (trabajo).

Función Agregada de Producción (Cobb-Douglas)

Los economistas Charles W. Cobb y Paul H. Douglas, a finales de la década de 1920, realizaron profundas investigaciones estadísticas sobre la forma en que se desarrolla la producción de Estados Unidos. Dichas investigaciones les permitieron formular la función agregada de producción, razón por la cual, desde esa época, se le conoce como función agregada de producción Cobb-Douglas. Las investigaciones realizadas reflejaron que, en los procesos productivos, el trabajo aporta las tres cuartas partes (o sea, el 75%) al nivel de producción, mientras que el capital aporta una cuarta parte (o sea, el 25%) restante.

Una función agregada de producción Cobb-Douglas tiene aplicación en una empresa, en la industria, en un sector de la economía o bien en toda la economía para estudiar y analizar la forma en que se desarrollan los procesos productivos. Una función agregada de producción Cobb-Douglas es una función linealmente homogénea de grado único. Los términos «linealmente homogénea de grado 1» y «rendimientos constantes a escala» son expresiones sinónimas cuando se emplean para describir una función agregada de producción de Cobb-Douglas.

Rendimiento Constante a Escala (α + β = 1) o (ηp = 1)

Se obtiene cuando la producción total de la empresa aumenta en la misma proporción en que se incrementa la utilización de los insumos (trabajo y capital). Así, si se aumenta en un 10% el trabajo y el capital en cantidad utilizados por unidad de tiempo, la producción también aumentará en un 10%. En forma similar, si se reduce la utilización de los insumos en una determinada proporción, la producción también se reduce en la misma proporción.

Rendimiento Crecientes a Escala (α + β > 1) o (ηp > 1)

Significa que, si se incrementa la utilización de los insumos (trabajo y capital) en una determinada proporción, la producción total aumentará en una proporción mayor.

Rendimiento Decrecientes a Escala (α + β < 1) o (ηp < 1)

Significa que la producción total de la empresa aumentará en una proporción menor que la proporción en que se incrementa la utilización de los insumos (trabajo y capital). En muchos casos, esto se debe a que, en la medida en que se amplía la escala de operaciones de la empresa, las dificultades en las comunicaciones pueden ser cada vez más difíciles para el empresario, dificultando el manejo eficiente de la empresa, lo cual se conoce como ineficiencia X.

Ineficiencia X

Este término fue introducido por primera vez al análisis de la producción en 1961 por el economista norteamericano Harvey Leibenstein y se refiere al fracaso de la empresa para maximizar la producción de determinado bien económico con la utilización de insumos y materiales determinados, debido fundamentalmente a la carencia de una motivación adecuada de la mano de obra y de la administración.

Si existen dos empresas que operan en condiciones de producción y de venta de insumos y materiales idénticos, aquella con el factor X más bajo tendrá la producción menor. En este sentido, el factor X se refiere al tipo de actividad, ritmo y calidad, también conocido como grupo ARC (actividad, ritmo y calidad). De acuerdo a lo anterior, para combatir la ineficiencia X, los gerentes deberán seleccionar al personal tomando en cuenta: el tipo de actividades, el ritmo al que se realizan dichas actividades y la calidad de la actividad que se realiza, sin olvidar la motivación o incentivación personal.

Programación Lineal

La programación lineal es una técnica matemática que se utiliza en la producción para resolver problemas relacionados con la maximización y la minimización. Por ejemplo: maximización de la producción, maximización de las ganancias o beneficios y minimización de costos.

Programación quiere decir simplemente planeación sistemática. Lineal significa que las relaciones que se manejan son las mismas que se presentan por medio de líneas rectas. Esta técnica matemática fue desarrollada en 1947 por el matemático George B. Dantzig.

Algunos Conceptos Básicos de Programación Lineal

Optimización y elección: La característica general de la programación lineal es que da soluciones numéricas reales a los problemas de hacer las elecciones óptimas cuando los problemas tienen que resolverse dentro de límites o restricciones definidas.

Función objetivo: La función objetivo, también llamada función criterio, especifica los determinantes de la cantidad a maximizar o minimizar. Las ganancias o beneficios y los ingresos son la función objetivo cuando se van a maximizar. Los costos son la función objetivo cuando el problema pide que se minimice. La minimización del costo es el dual de la maximización de las utilidades, ganancias o beneficios, y viceversa.

Importancia de la igualdad: La solución del problema de una empresa, matemáticamente, es la solución para maximizar utilidades, ganancias o beneficios sin tener que comenzar el análisis desde el principio.

Restricciones: Las restricciones son limitaciones o cosas que uno no puede hacer y cosas que no tiene que hacer. Por ejemplo, el presupuesto de un consumidor es una restricción. Si una empresa maximiza su ingreso, está limitada o restringida por los hechos que tiene. Después de establecerlas, es posible explorar soluciones.

• Desde el punto de vista del consumidor: todas las posibles combinaciones de cantidades de bienes que puede comprar, tomando en cuenta la restricción de su ingreso y el precio de los bienes en el mercado.
• Desde el punto de vista de la empresa o empresario: las posibles combinaciones de cantidades de dos factores (factor capital y factor trabajo) que pueden obtenerse, tomando en cuenta la restricción del nivel de inversión y el precio de los factores.

Soluciones óptimas: La solución óptima es la mejor de las soluciones posibles. Algunas veces, la programación lineal da como resultado varias soluciones posibles, todas igualmente buenas. Por lo tanto, no existe un solo óptimo.

Supuesto básico de programación lineal: Es que los bienes se pueden producir solo con un número limitado de combinaciones de insumos.

Proceso de producción: La denominación de que, con dos insumos, es decir, capital y trabajo, cada combinación de insumos o relación capital-trabajo…

Isoclina: Es la línea recta que representa al proceso de producción por una línea recta que parte del punto de origen en un sistema de ejes cartesianos, o sea, el área de insumos o factores. A esta línea recta se le llama isoclina.

Al unir los puntos de producción similares sobre las líneas rectas o procesos determinados geométricamente, las curvas isocuantas para el nivel particular de producción de un bien… Las curvas isocuantas están integradas por segmentos de líneas rectas.