Modelo 3.A: Una partícula con carga −2 nC
Datos:
q1 = -2 nC = -2×10⁻⁹ C en (-5,0) m
q2 = +2 nC = +2×10⁻⁹ C en (5,0) m
K = 9×10⁹ N·m²/C²
Punto A(5,4) m
A) Campo en A:
Vector r1A = A – (-5,0) = (10,4) m → |r1A| = √(10²+4²) = √116 ≈ 10.77 m
Vector r2A = A – (5,0) = (0,4) m → |r2A| = 4 m
E1A = K·q1/|r1A|³ · r1A = 9×10⁹·(-2×10⁻⁹)/(10.77³)·(10,4) ≈ (-0.1442, -0.05768) N/C
E2A = K·q2/|r2A|³ · r2A = 9×10⁹·(2×10⁻⁹)/(4³)·(0,4) ≈ (0, 1.125) N/C
EA = E1A + E2A ≈ (-0.1442, 1.0673) N/C
E_A
E⃗A≈(−0.144,1.067)
≈(−0.144,1.067) N/C
Potencial en A:
VA = K·(q1/|r1A| + q2/|r2A|) = 9×10⁹·[(-2×10⁻⁹/10.77) + (2×10⁻⁹/4)]
VA ≈ 9×10⁹·(-0.1857×10⁻⁹ + 0.5×10⁻⁹) ≈ 2.829 V
VA≈2.83V_A
≈2.83 V
B) Trabajo para q’ = 3 nC de A a B(0,4):
VB = K·[q1/|r1B| + q2/|r2B|] con r1B = √(5²+4²)=√41≈6.403 m, r2B = √(5²+4²)=√41≈6.403 m
VB = 9×10⁹·[(-2×10⁻⁹/6.403)+(2×10⁻⁹/6.403)] = 0 V
W = q’·(VA – VB) = 3×10⁻⁹·(2.829 – 0) ≈ 8.487×10⁻⁹ J
W≈8.49×10⁻⁹J
Junio-Coincidentes 3.A
: Una partícula con carga −2 nC
Datos:
q1 = 1 µC = 10⁻⁶ C en (-2,0) m
q2 desconocida en (4,0) m
P(0,2) m
A) Hallar q2 para que EP solo tenga componente x:
r1P = (2,2), |r1P| = √(2²+2²)=√8 m
r2P = (-4,2), |r2P| = √(4²+2²)=√20 m
La componente y debe anularse:
K·q1·(2)/(√8)³ + K·q2·(2)/(√20)³ = 0
q2 = -q1·(√20³/√8³)·(2/2) = -10⁻⁶·(20√20)/(8√8) ≈ -3.95×10⁻⁶ C
B) Campo total en P:
Solo componente x (por condición anterior):
Ex = K·[q1·2/(√8)³ + q2·(-4)/(√20)³]
Sustituyendo: Ex ≈ 9×10⁹·[10⁻⁶·2/(8√8) + (-3.95×10⁻⁶)·(-4)/(20√20)] E_p ≈ (2.25×10³, 0) N/C
C) Velocidad de q2 al pasar por origen (m = 1 g = 0.001 kg):
Conservación energía: ½·m·v² = q2·(Vi – V0)
Vi = K·q1/|r1i| con r1i = distancia entre q1 y q2 = 6 m → Vi = 9×10⁹·10⁻⁶/6 = 1500 V
V0 = K·q1/|r10| con r10 = 2 m → V0 = 9×10⁹·10⁻⁶/2 = 4500 V
½·0.001·v² = (-3.95×10⁻⁶)·(1500 – 4500) = 0.01185
v = √(2·0.01185/0.001) ≈ 6.24 m/s
Junio 2.A
Datos:
Electrón: q = -e = -1.6×10⁻¹⁹ C en (0,6) nm
Positrón: q = +e = 1.6×10⁻¹⁹ C en (0,-6) nm
1 nm = 10⁻⁹ m → posiciones en metros: (0,6×10⁻⁹) y (0,-6×10⁻⁹)
A) Campo en (8,0) nm = (8×10⁻⁹, 0) m:
r1 = √(8²+6²)=10 nm = 10⁻⁸ m (distancia igual para ambas)
Por simetría, solo componente x:
Ex = 2·K·e/r²·(8/10) = 2·9×10⁹·1.6×10⁻¹⁹/(10⁻⁸)²·0.8 = 2.30×10⁶ N/C
E⃗≈(
B) Máxima distancia si positrón con v = -1.5×10⁵ ĵ m/s:
Conservación energía (electrón fijo):
½·m·v₀² – K·e²/d₀ = -K·e²/df
m = 9.1×10⁻³¹ kg, d₀ = 12 nm = 1.2×10⁻⁸ m
½·9.1×10⁻³¹·(1.5×10⁵)² – 9×10⁹·(1.6×10⁻¹⁹)²/(1.2×10⁻⁸) = -9×10⁹·(1.6×10⁻¹⁹)²/df
1.02375×10⁻²⁰ – 1.92×10⁻¹⁹ = -2.304×10⁻²⁸/df
-1.8176×10⁻¹⁹ = -2.304×10⁻²⁸/df → df ≈ 1.268×10⁻⁹ m ≈ 12.7 nm dmax≈12.7
Modelo 2.A
Datos:
Q1 = 4 nC = 4×10⁻⁹ C en (0,0) cm
Q2 = -2 nC = -2×10⁻⁹ C en (2, 2√3) cm
Q3 = -4 nC = -4×10⁻⁹ C en (4,0) cm
Convertir a metros: (0,0), (0.02, 0.02√3), (0.04,0)
A) Fuerza de Q1 y Q2 sobre Q3:
r13 = (0.04,0) – (0,0) = (0.04,0) m, |r13| = 0.04 m
r23 = (0.04,0) – (0.02, 0.03464) = (0.02, -0.03464) m, |r23| = 0.04 m
F13 = K·Q1·Q3/|r13|³ · r13 = 9×10⁹·(4×10⁻⁹)·(-4×10⁻⁹)/(0.04³)·(0.04,0)
F13 ≈ (-0.0225, 0) N
F23 = K·Q2·Q3/|r23|³ · r23 = 9×10⁹·(-2×10⁻⁹)·(-4×10⁻⁹)/(0.04³)·(0.02, -0.03464)
F23 ≈ (0.01125, -0.01948) N
Ftotal = F13 + F23 ≈ (-0.01125, -0.01948) N
B) Energía electrostática del sistema:
U = K·(Q1Q2/r12 + Q1Q3/r13 + Q2Q3/r23)
r12 = 0.04 m, r13 = 0.04 m, r23 = 0.04 m
U = 9×10⁹·[(4×(-2)×10⁻¹⁸/0.04) + (4×(-4)×10⁻¹⁸/0.04) + ((-2)×(-4)×10⁻¹⁸/0.04)]
U = 9×10⁹·[(-8-16+8)×10⁻¹⁸/0.04] = 9×10⁹·(-16×10⁻¹⁸/0.04) = -3.6×10⁻⁶ J
U≈−3.6
Julio 3.A
Datos:
q1 = 2 nC = 2×10⁻⁹ C en (0,0) m
q2 = 4 nC = 4×10⁻⁹ C en (6,0) m
e = 1.6×10⁻¹⁹ C
A) Campo en P(2,2) m:
r1P = (2,2), |r1P| = √(2²+2²)=√8≈2.828 m
r2P = (2-6,2-0)=(-4,2), |r2P| = √(4²+2²)=√20≈4.472 m
E1 = K·q1/|r1P|³·r1P = 9×10⁹·2×10⁻⁹/(2.828³)·(2,2) ≈ (1.125,1.125) N/C
E2 = K·q2/|r2P|³·r2P = 9×10⁹·4×10⁻⁹/(4.472³)·(-4,2) ≈ (-1.436,0.718) N/C
Etotal = E1 + E2 ≈ (-0.311, 1.843) N/C
B) Punto entre cargas donde fuerza sobre electrón es nula:
En eje x entre 0 y 6 m: |E1| = |E2|
K·2×10⁻⁹/x² = K·4×10⁻⁹/(6-x)²
2/x² = 4/(6-x)² → (6-x)² = 2x² → 6-x = √2·x → x = 6/(1+√2) ≈ 2.49 m
x≈2.
Trabajo para traer electrón desde ∞:
V = K·[2×10⁻⁹/2.49 + 4×10⁻⁹/(6-2.49)] ≈ 9×10⁹·(0.803×10⁻⁹ + 1.139×10⁻⁹) ≈ 17.48 V
W = (-e)·V = -1.6×10⁻¹⁹·17.48 ≈ -2.797×10⁻¹⁸ J
W≈−2.0
Junio-Coincidentes A.3
Datos:
Dos cargas idénticas q separadas 40 cm en eje x
EP = -805 ĵ V/m en P(10,10) cm = (0.1,0.1) m
A) Posición cargas y valor de q:
Por simetría, cargas en (-a,0) y (a,0) con 2a = 0.4 m → a = 0.2 m
Vector r1 = (0.1-(-0.2), 0.1) = (0.3, 0.1) m
Vector r2 = (0.1-0.2, 0.1) = (-0.1, 0.1) m
|r1| = |r2| = √(0.1²+0.3²) = √0.1 ≈ 0.3162 m
Por simetría, componentes x se cancelan, solo Ey:
Ey = 2·K·q/|r|³·0.1 = 2·9×10⁹·q/(0.3162³)·0.1 = -805
q = -805·(0.3162³)/(2·9×10⁹·0.1) ≈ -1.43×10⁻⁹ C
q≈−1.43 nC, cargas en (−0.2,0) y (0.2,0) mq≈−1.43
B) Campo y potencial en origen: Por simetría E = 0 V = 2·K·q/0.2 = 2·9×10⁹·(-1.43×10⁻⁹)/0.2 ≈ -128.7 V E⃗=0, V≈−12
Junio B.3
Datos:
Dos cargas q1 = q2 = +9 nC = 9×10⁻⁹ C en (-6,0) mm y (6,0) mm = (-0.006,0) y (0.006,0) m
A) Potencial y campo en origen: Por simetría E = 0 V = 2·K·q/0.006 = 2·9×10⁹·9×10⁻⁹/0.006 = 2.7×10⁴ V E⃗=0, V=2.7×
B) En P(0,3 mm) = (0,0.003) m:
r = √(0.006²+0.003²) = √(36+9)×10⁻³ = √45×10⁻³ ≈ 0.006708 m
Por simetría, solo componente y:
Ey = 2·K·q/r³·0.003 = 2·9×10⁹·9×10⁻⁹/(0.006708³)·0.003 ≈ 1.61×10⁶ N/C
V = 2·K·q/r = 2·9×10⁹·9×10⁻⁹/0.006708 ≈ 2.41×10⁴ V
E⃗≈(0,1.61×106) N/C, V≈2.41×1
Modelo A.3
Datos:
Dos cargas q = 2 nC = 2×10⁻⁹ C en (0,0) y (4,0) m
Trabajo W = 1.27×10⁻⁷ J para traer carga Q desde ∞ a (2,2) m
A) Hallar Q:
V(2,2) = K·[2×10⁻⁹/√(2²+2²) + 2×10⁻⁹/√(2²+2²)] = 2·9×10⁹·2×10⁻⁹/√8
V = 36×10⁰/2.828 ≈ 12.73 V
W = Q·V → Q = W/V = 1.27×10⁻⁷/12.73 ≈ 9.98×10⁻⁹ C
Q
B) Poner carga q’ = -10 nC para anular fuerza sobre Q:
Fuerza sobre Q desde las dos cargas de 2 nC: por simetría vertical hacia arriba.
Para anular, q’ debe estar en (2,y) con y>2 atrayendo hacia abajo.
Igualando fuerzas verticales:
2·K·(2×10⁻⁹)·Q/(√8²)·(2/√8) = K·(10×10⁻⁹)·Q/(y-2)²
(8×10⁻⁹)/(8√8) = (10×10⁻⁹)/(y-2)²
y-2 ≈ 1.41 → y ≈ 3.41 m
Posicioˊn: (2, 3.41) mPosici
ón: (2,3.41)m
Julio A.3
Datos:
Una carga crea V = 54 V y E = -180 ĵ V/m en origen
A) Posición y valor de la carga:
Campo radial: E = K·q·r/r³
V = K·q/r
En origen, si carga está en (0,-d):
E_y = -K·q·d/(d²)³/²·d? Mejor:
E_y = -K·q/d² (si carga en (0,-d) y campo apunta hacia -y)
V = K·q/d
Dividiendo: E_y/V = -1/d = -180/54 = -10/3 → d = 0.3 m
q = V·d/K = 54·0.3/(9×10⁹) = 1.8×10⁻⁹ C
q=1.8
B) Segunda carga traída con W = -270 nJ:
W = q₂·(V∞ – V_origen) = q₂·(0 – 54) = -270×10⁻⁹
q₂ = 270×10⁻⁹/54 = 5×10⁻⁹ C
Junio-Coincidentes B.3
Datos:
q1 = -3 µC = -3×10⁻⁶ C en (-2,0) m
q2 = +2 µC = 2×10⁻⁶ C en (3,0) m
A) Trabajo para traer q3 = +4 µC desde ∞ a (0,4) m:
V(0,4) = K·[q1/√(2²+4²) + q2/√(3²+4²)] = 9×10⁹·[-3×10⁻⁶/√20 + 2×10⁻⁶/5]
V = 9×10⁹·[-0.6708×10⁻⁶ + 0.4×10⁻⁶] ≈ -2.437×10³ V
W = q3·V = 4×10⁻⁶·(-2.437×10³) ≈ -9.75×10⁻³ J
W≈−9.75×10−
B) Fuerza sobre q3 en (0,4):
E1 = K·q1/r1³·r1 = 9×10⁹·(-3×10⁻⁶)/(√20³)·(-2,4) ≈ (1.206,-2.412)×10³ N/C
E2 = K·q2/r2³·r2 = 9×10⁹·(2×10⁻⁶)/(5³)·(-3,4) ≈ (-0.432,0.576)×10³ N/C
E_total = E1+E2 ≈ (0.774,-1.836)×10³ N/C
F = q3·E_total = 4×10⁻⁶·(0.774,-1.836)×10³ ≈ (3.096,-7.344)×10⁻³ N
F⃗≈(3.10,−7.34)×10−
Junio A.3
Datos:
Cargas -q, -q, +2q en (-a,a), (a,a), (0,0)
A) Fuerza sobre carga en (a,a):
F13 = K·(-q)(+2q)/(a√2)³·(a,a) = -2Kq²/(2√2a²)·(1,1) = -Kq²/(√2a²)·(1,1)
F23 = K·(-q)(-q)/(2a)³·(2a,0) = Kq²/(8a³)·(2a,0) = Kq²/(4a²)·(1,0)
F_total = (-Kq²/(√2a²)+Kq²/(4a²), -Kq²/(√2a²))
F_total ≈ (-0.354Kq²/a²+0.25Kq²/a², -0.354Kq²/a²) = (-0.104Kq²/a², -0.354Kq²/a²)
Trabajo para traer -q desde ∞ a (a,a):
V_debido_a_otras = K·[2q/(a√2) + (-q)/(2a)]
W = (-q)·V = -Kq²·[2/√2 – 1/2]/a
B) Flujo a través superficies S1 y S2: S1 contiene +2q → Φ1 = 2q/&épsilon;₀ S2 contiene -q → Φ2 = -q/&épsilon;₀ ΦS1=2q/&épsilon;0, ΦS2=−q/
Modelo A.3
Datos:
Corteza esférica R=3 cm=0.03 m, σ=2 µC/m², Q=σ·4πR²=2×10⁻⁶·4π·0.03²≈2.26×10⁻⁸ C
A) Campo en (0.01,0.01,0) m: R=√(0.01²+0.01²)≈0.0141 m < 0.03 m → interior → E=0
B) Campo en (2,3,0) m:
r=√(4+9)=√13≈3.606 m > 0.03 m
E=KQ/r²=9×10⁹·2.26×10⁻⁸/(3.606²)≈0.156 N/C
Dirección radial desde origen.
C) Trabajo para mover q’=1 nC desde (0,2,0) a (3,0,0):
Ambos puntos exteriores: r1=2 m, r2=3 m
W=q’·(V1-V2)=q’·KQ·(1/r1-1/r2)
W=10⁻⁹·9×10⁹·2.26×10⁻⁸·(1/2-1/3)≈3.39×10⁻⁸ J
Julio-Coincidentes A.3
Datos:
q1=5 µC=5×10⁻⁶ C en (0,0)
q2=-3 µC=-3×10⁻⁶ C en (4,0) m
A) Campo en (4,3) m:
r1=√(4²+3²)=5 m, r2=√(0²+3²)=3 m
E1=Kq1/r1³·(4,3)=9×10⁹·5×10⁻⁶/125·(4,3)=(1.44,1.08)×10³ N/C
E2=Kq2/r2³·(0,3)=9×10⁹·(-3×10⁻⁶)/27·(0,3)=(0,-3)×10³ N/C
E_total≈(1.44,-1.92)×10³ N/C
B) Trabajo para electrón desde (4,3) a (2,0):
V(4,3)=K[q1/5+q2/3]=9×10⁹[5×10⁻⁶/5+(-3×10⁻⁶)/3]=0 V
V(2,0)=K[q1/2+q2/2]=9×10⁹[5×10⁻⁶/2+(-3×10⁻⁶)/2]=9×10³ V
W=(-e)·(V(4,3)-V(2,0))=-1.6×10⁻¹⁹·(0-9×10³)=1.44×10⁻¹⁵ J
Julio A.3
Datos:
Q1=2 nC=2×10⁻⁹ C en (1,0) m
Q2=-4 nC=-4×10⁻⁹ C en (3,0) m
A) Campo en (2,1) m:
r1=(1,1), |r1|=√2≈1.414 m
r2=(-1,1), |r2|=√2≈1.414 m
E1=KQ1/|r1|³·r1=9×10⁹·2×10⁻⁹/(1.414³)·(1,1)≈(6.36,6.36) N/C
E2=KQ2/|r2|³·r2=9×10⁹·(-4×10⁻⁹)/(1.414³)·(-1,1)≈(12.72,-12.72) N/C
E_total≈(19.08,-6.36) N/C
E⃗≈(19.1,−6.36) N
B) Punto en eje x (x
Junio B.3
Datos:
Carga +q en (3,4) m
Segunda carga +4q en algún sitio
E_total=0 en origen
a) Posición segunda carga:
E1 en origen=Kq/5³·(-3,-4)
E2 en origen=K·4q/r2³·(-x,-y) donde (x,y) posición segunda carga
Para anular: (Kq/125)(-3,-4)+(4Kq/r2³)(-x,-y)=(0,0)
(-3/125,-4/125)+(4/r2³)(-x,-y)=(0,0)
4x/r2³=3/125, 4y/r2³=4/125 → x/y=3/4
Además r2²=x²+y²
Resolviendo: x=6, y=8 pero debe estar opuesta a (3,4) respecto origen → (-6,-8) m
b) Si V(origen)=1.08×10⁴ V, hallar q:
V=K[q/5+4q/10]=9×10⁹·q·(0.2+0.4)=5.4×10⁹·q=1.08×10⁴
q=2×10⁻⁶ C
2021-Junio-Coincidentes A.3
Datos:
Cuatro cargas en vértices de cuadrado lado 2 m centrado en origen
Supongamos: +q en (1,1) y (-1,-1), -q en (1,-1) y (-1,1)
A) Campo en centro (0,0): Por simetría, cada par de cargas opuestas produce campos que se cancelan → E_total = 0
b) Electrón lanzado desde centro con v=3×10⁴ ĵ m/s al punto medio lado superior (0,1):
Por simetría, V_centro = V_(0,1) = 0 (todas cargas a igual distancia)
Conservación energía: ½m(v_f² – v₀²) = -e·(V_f – V₀) = 0 → v_f = v₀
vf = 3 x 10⁴ m/s
vf=3×104 m/s
2021-Junio A.3
Datos:
Carga q=2 µC=2×10⁻⁶ C en origen
A) Flujo a través superficie esférica radio 5 mm=0.005 m: Φ = Q_int/&épsilon;₀ = 2×10⁻⁶/(8.85×10⁻¹²) ≈ 2.26×10⁵ N·m²/C
B) Campo a 5 mm de la carga: E = Kq/r² = 9×10⁹·2×10⁻⁶/(0.005²) = 7.2×10⁸ N/C
Modelo A.3
Datos:
q1=q2=5 nC=5×10⁻⁹ C en (0,3) y (0,-3) m
a) Campo en (4,0) m:
r1 = √(4²+3²)=5 m, r2 = √(4²+3²)=5 m
Por simetría, solo componente x:
E_x = 2·K·q·4/r³ = 2·9×10⁹·5×10⁻⁹·4/125 = 2.88 N/C
b) Velocidad partícula m=3 g=0.003 kg, q’=3 mC=3×10⁻³ C desde origen a (4,0):
V_origen = 2·K·q/3 = 2·9×10⁹·5×10⁻⁹/3 = 30 V
V_(4,0) = 2·K·q/5 = 2·9×10⁹·5×10⁻⁹/5 = 18 V
Conservación energía: ½·0.003·v₀² + 3×10⁻³·30 = ½·0.003·v_f² + 3×10⁻³·18
Con v₀=2 m/s: 0.006 + 0.09 = 0.0015v_f² + 0.054
0.042 = 0.0015v_f² → v_f = √(28) ≈ 5.29 m/s
Septiembre A.3
Datos:
qA=+5 nC en (-4,0) cm=(-0.04,0) m
qB=-5 nC en (4,0) cm=(0.04,0) m
A) Potencial y campo en origen:
Por simetría, V=0
E_A = K·5×10⁻⁹/(0.04²) hacia +x (repulsión) = 2.81×10⁴ N/C
E_B = K·(-5×10⁻⁹)/(0.04²) hacia +x (atracción) = 2.81×10⁴ N/C
E_total = 5.62×10⁴ N/C en +x, V = 0
b) En (0,3) cm=(0,0.03) m:
r = √(0.04²+0.03²)=0.05 m
V = K[5×10⁻⁹/0.05 + (-5×10⁻⁹)/0.05] = 0
Por simetría, E vertical:
E_y = 2·K·5×10⁻⁹·0.03/(0.05³) = 2.16×10⁴ N/C hacia -y V = 0
E⃗=(0,−2.16×104) N/C, V=0
Julio-Coincidentes B.3
Datos:
q1=3 nC=3×10⁻⁹ C en (0,6) m
q2=-5 nC=-5×10⁻⁹ C en (8,6) m
a) Campo en origen:
r1 = √(0²+6²)=6 m, r2 = √(8²+6²)=10 m
E1 = K·3×10⁻⁹/6³·(0,-6) = (0,-0.75×10³) N/C
E2 = K·(-5×10⁻⁹)/10³·(-8,-6) = (0.36×10³,0.27×10³) N/C
E_total = (360,-480) N/C
b) Trabajo para electrón desde origen a (4,3):
V_origen = K[3×10⁻⁹/6 + (-5×10⁻⁹)/10] = 9×10⁹(0.5-0.5)×10⁻⁹ = 0
V_(4,3) = K[3×10⁻⁹/5 + (-5×10⁻⁹)/5] = 9×10⁹(-0.4×10⁻⁹) = -3.6 V
W = (-e)·(0-(-3.6)) = -1.6×10⁻¹⁹·3.6 = -5.76×10⁻¹⁹ J
W=−5.76×10−
Julio B.3
Datos:
Cuadrado lado a=30 cm=0.3 m
+q en (0,0) y (a,a)
-q en (0,a) y (a,0)
|q|=1 µC=10⁻⁶ C
a) Fuerza sobre +q en (a,a):
F1 desde +q en (0,0): r=(-a,-a), |r|=a√2
F1 = Kq²/(a√2)³·(-a,-a) = -Kq²/(2√2a²)·(1,1)
F2 desde -q en (0,a): r=(-a,0), |r|=a
F2 = K(-q)q/a³·(-a,0) = Kq²/a²·(1,0)
F3 desde -q en (a,0): r=(0,-a), |r|=a
F3 = K(-q)q/a³·(0,-a) = Kq²/a²·(0,1)
F_total = [Kq²/a²(1-1/(2√2)), Kq²/a²(1-1/(2√2))]
Con valores: Kq²/a² = 9×10⁹·10⁻¹²/0.09 = 0.1
F_total ≈ (0.06464,0.06464) N
b) Energía potencial carga en (0,0):
U = Kq[-q/a + q/(a√2) – q/a] = Kq²[-2/a + 1/(a√2)]
U = 9×10⁹·10⁻¹²[-2/0.3 + 1/(0.3√2)] ≈ -3.878×10⁻² J
Modelo B.3
Datos:
q1=+10 nC en (0,-6) µm=(0,-6×10⁻⁶) m
q2=-10 nC en (0,6) µm=(0,6×10⁻⁶) m
a) Campo y potencial en (8,0) µm=(8×10⁻⁶,0) m:
r = √(8²+6²)=10 µm=10⁻⁵ m
Por simetría, campo vertical:
E_y = 2·K·10⁻⁸·6×10⁻⁶/(10⁻⁵)³ = 2·9×10⁹·10⁻⁸·6×10⁻⁶/10⁻¹⁵ = 1.08×10⁹ N/C
V = K[10⁻⁸/10⁻⁵ + (-10⁻⁸)/10⁻⁵] = 0
b) Trabajo para q’=5 nC desde (8,0) µm a (8,6) µm:
V_i = 0
V_f: r1_f=√(8²+12²)=14.42 µm, r2_f=√(8²+0²)=8 µm
V_f = 9×10⁹[10⁻⁸/(1.442×10⁻⁵) + (-10⁻⁸)/(0.8×10⁻⁵)] ≈ -5.0×10⁶ V
W = q'(V_i-V_f) = 5×10⁻⁹·(0-(-5×10⁶)) = 2.5×10⁻² J
Julio-Coincidentes B.3
Datos:
Esfera radio R=1 m, carga Q=+3 C uniforme en superficie
A) Potencial y campo en r=2R=2 m: E = KQ/r² = 9×10⁹·3/4 = 6.75×10⁹ N/C V = KQ/r = 9×10⁹·3/2 = 1.35×10¹⁰ V
B) En centro: E = 0 (interior conductor) V = KQ/R = 9×10⁹·3 = 2.7×10¹⁰ V
Julio A.3
Datos:
q1=10 µC=10⁻⁵ C en (0,0)
q2=20 µC=2×10⁻⁵ C en (3,0) m
a) Punto con E=0 en eje x entre cargas:
K·10⁻⁵/x² = K·2×10⁻⁵/(3-x)²
(3-x)² = 2x² → 3-x = √2·x → x = 3/(1+√2) ≈ 1.243 m
b) Trabajo para electrón desde (3,4) a (2,0):
V(3,4)=K[10⁻⁵/5 + 2×10⁻⁵/4] = 9×10⁹(2+5)×10⁻⁶ = 6.3×10⁴ V
V(2,0)=K[10⁻⁵/2 + 2×10⁻⁵/1] = 9×10⁹(5+20)×10⁻⁶ = 2.25×10⁵ V
W=(-e)·(6.3×10⁴-2.25×10⁵) = 1.6×10⁻¹⁹·1.62×10⁵ = 2.592×10⁻¹⁴ J
W=2.59×10−1
Junio-Coincidentes A.3
Datos:
Dos cargas Q=-3 nC en (0,3) y (0,-3) m
a) Campo en (4,0) m:
r=√(4²+3²)=5 m
Por simetría, solo componente x:
E_x=2·K·3×10⁻⁹·4/125 = 2·9×10⁹·3×10⁻⁹·0.032 = 1.728 N/C
E⃗=(1.728,0)
b) Velocidad partícula q=2 nC, m=10 g=0.01 kg desde (4,0) a origen:
V(4,0)=2·K·(-3×10⁻⁹)/5 = -1.08×10⁴ V
V(0,0)=2·K·(-3×10⁻⁹)/3 = -1.8×10⁴ V
½·0.01·v² = 2×10⁻⁹·[-1.08×10⁴ – (-1.8×10⁴)] = 1.44×10⁻⁵
v=√(2.88×10⁻³)≈0.0537 m/s
v≈0.052019-Junio B.3
Datos:
q1=-4 nC en (-5,0) cm=(-0.05,0) m
q2=+2 nC en (3,0) cm=(0.03,0) m
a) Campo y potencial en origen:
E1=K·(-4×10⁻⁹)/(0.05²) hacia derecha (atracción)= -1.44×10⁴ N/C (en x)
E2=K·2×10⁻⁹/(0.03²) hacia izquierda (repulsión)= 2×10⁴ N/C (en x)
E_total=(-1.44+2)×10⁴=0.56×10⁴ N/C en +x
V=K[-4×10⁻⁹/0.05 + 2×10⁻⁹/0.03]=9×10⁹(-0.8+0.6667)×10⁻⁷≈-120 V
E E⃗=(5.6×103,0) N/C, V≈−120 V=(5.6×10³, 0) N/C,
b) Punto entre cargas con V=0:
Entre -5 y 3 cm: -4/(x+5) + 2/(3-x)=0
4/(x+5)=2/(3-x) → 4(3-x)=2(x+5) → 12-4x=2x+10 → 2=6x → x=0.333 cm
Julio A.3
Datos:
Dos cargas iguales positivas en (2,2) y (-2,-2) m
Campo en (1,1) es E=5×10³ N/C
a) Valor cargas y campo en (-1,-1):
Distancia de (1,1) a (2,2): r=√[(1)²+(1)²]=√2 m
E_de_una_carga = Kq/r²
Componente en dirección (1,1): E = 2·(Kq/(√2)²)·cos45° = 2·(Kq/2)·(√2/2) = Kq/√2
5×10³ = 9×10⁹·q/1.414 → q ≈ 7.86×10⁻⁷ C
En (-1,-1) por simetría mismo módulo: E=5×10³ N/C dirección hacia (1,1)
b) Trabajo para traer q’=2 µC desde ∞ a (-1,-1):
V(-1,-1)=2·Kq/√2 = 2·9×10⁹·7.86×10⁻⁷/1.414 ≈ 1.0×10⁴ V
W=q’·V=2×10⁻⁶·1.0×10⁴=2.0×10⁻² J
Junio-Coincidentes A.3
Datos:
Q1=-4 nC en (3,4) m
Q2=+4 nC en (-3,4) m
a) Campo en origen:
r1=√(3²+4²)=5 m, r2=√(3²+4²)=5 m
E1=K·(-4×10⁻⁹)/125·(-3,-4)=(0.0864,0.1152) N/C
E2=K·4×10⁻⁹/125·(3,-4)=(0.0864,-0.1152) N/C
E_total=(0.1728,0) N/C
B) Potencial en origen: V=K[(-4×10⁻⁹)/5 + 4×10⁻⁹/5]=0
2018-Junio B.3
Datos:
q1=6 µC=6×10⁻⁶ C en origen
q2=10 µC=10⁻⁵ C
a) Trabajo para llevar q2 desde ∞ a x=10 m:
V_en_x=10 = Kq1/10 = 9×10⁹·6×10⁻⁶/10 = 5.4×10³ V
W=q2·V=10⁻⁵·5.4×10³=5.4×10⁻² J
b) Punto entre cargas donde q estaría en equilibrio:
K·6×10⁻⁶/x² = K·10⁻⁵/(10-x)²
6/x² = 10/(10-x)² → (10-x)² = (10/6)x²
10-x = (√(10/6))x → x=10/(1+√(10/6))≈5.86 m
Modelo A.3
Datos:
Carga q=5 nC=5×10⁻⁹ C en centro esfera radio R=0.1 m
A) Flujo a través superficie esfera: Φ=q/&épsilon;₀=5×10⁻⁹/(8.85×10⁻¹²)≈5.65×10² N·m²/C
b) Trabajo para traer q’=2 nC desde ∞ a r=0.1 m:
V_superficie=Kq/R=9×10⁹·5×10⁻⁹/0.1=450 V
W=q’·V=2×10⁻⁹·450=9×10⁻⁷ J
Septiembre A.3
Datos:
Dos cargas +5 nC separadas 4 cm (figura no dada)
Puntos A (centro) y B (a 3 cm de una)
A) Campo en A:
Por simetría E=0
Campo en B:
Supongamos B a 3 cm de una carga y 7 cm de otra
E_B = K·5×10⁻⁹[1/(0.03)² – 1/(0.07)²] dirección hacia carga lejana
≈ 9×10⁹·5×10⁻⁹[1111.11 – 204.08] ≈ 4.08×10⁴ N/C
b) Potencial en A:
V_A=2·K·5×10⁻⁹/0.02=4.5×10³ V
Potencial en B:
V_B=K·5×10⁻⁹[1/0.03+1/0.07]≈2.14×10³ V
Trabajo para mover q’=3 nC de A a B:
W=q'(V_A-V_B)=3×10⁻⁹·(4.5-2.14)×10³≈7.08×10⁻⁶ J
Junio-Coincidentes A.3
Datos:
Campo uniforme E=5000 k̂ N/C en z≥0
A) ΔV entre P1(1,2,3) y P2(2,4,3): Mismo z → ΔV=0
B) Trabajo para q=5 µC desde P2(2,4,3) a P3(1,1,1): ΔV = -E·Δz = -5000·(1-3)=10⁴ V W=q·ΔV=5×10⁻⁶·10⁴=5×10⁻² J
Septiembre B.3
Datos:
Dos esferas carga positiva, separación 10 cm=0.1 m, F=0.20 N
a) Si cargas iguales q:
F=Kq²/0.1²=0.20 → q²=0.20·0.01/(9×10⁹)=2.22×10⁻¹³ → q≈4.71×10⁻⁷ C
En punto medio: por simetría E=0
b) Si q2=4q1:
F=K·4q1²/0.01=0.20 → q1²=0.20·0.01/(4·9×10⁹)=5.56×10⁻¹⁴ → q1≈2.36×10⁻⁷ C, q2≈9.44×10⁻⁷ C
En punto medio: E=K[q1/0.05² – q2/0.05²]=K·(q1-q2)/0.0025≈9×10⁹·(-7.08×10⁻⁷)/0.0025≈-2.55×10⁶ N/C (hacia q1)
Junio A.3
Datos:
q1=3 µC=3×10⁻⁶ C en (0,0) cm
q2=9 µC=9×10⁻⁶ C en (8,0) cm
a) Potencial en (8,6) cm:
r1=√(8²+6²)=10 cm=0.1 m, r2=6 cm=0.06 m
V=9×10⁹[3×10⁻⁶/0.1 + 9×10⁻⁶/0.06]=9×10⁹(3+15)×10⁻⁵=1.62×10⁶ V
B) Punto en eje x entre cargas con E=0: 3/x²=9/(0.08-x)² → (0.08-x)²=3x² → 0.08-x=√3·x → x=0.08/(1+√3)≈0.0293 m
Modelo A.3
Datos:
q=3 µC=3×10⁻⁶ C en origen
q1=1 µC=10⁻⁶ C de P1(1,0) a P2(0,2) m
A) ΔV entre P1 y P2: V1=Kq/1=9×10⁹·3×10⁻⁶=2.7×10⁴ V V2=Kq/2=1.35×10⁴ V ΔV=V2-V1=-1.35×10⁴ V
B) Trabajo para mover q1: W=q1·ΔV=10⁻⁶·(-1.35×10⁴)=-1.35×10⁻² J
Septiembre B.3
Datos:
Tres cargas 1 µC=10⁻⁶ C en triángulo equilátero lado 10 cm=0.1 m
A) Energía potencial de una carga: U=Kq(q/0.1 + q/0.1)=9×10⁹·10⁻¹²·20=0.18 J
b) Potencial en punto medio de un lado:
Distancias: a vértice más cercano=0.05 m, a otros dos=√(0.05²+0.0866²)=0.1 m
V=K·10⁻⁶[1/0.05+1/0.1+1/0.1]=9×10⁹·10⁻⁶·(20+10+10)=3.6×10⁵ V
Junio-Coincidentes B.3
Datos:
Plano infinito σ=1 µC/cm²=10⁻² C/m²
A) Campo a ambos lados: E=σ/(2&épsilon;₀)=0.01/(2·8.85×10⁻¹²)≈5.65×10⁸ N/C
b) Trabajo para q=5 µC desde 5 cm a 15 cm del plano:
ΔV=E·d=5.65×10⁸·0.1=5.65×10⁷ V
W=q·ΔV=5×10⁻⁶·5.65×10⁷=2.825×10² J
Junio B.3
Datos:
Dos cargas +2 nC=2×10⁻⁹ C en base triángulo equilátero lado 2 cm=0.02 m
Base en eje x, centro origen, vértice libre en +y
a) Campo y potencial en vértice libre (0,√3×0.01≈0.01732 m):
r=0.02 m (igual al lado)
Por simetría, E vertical hacia abajo:
E_y=-2·K·2×10⁻⁹/(0.02²)·cos30°=-2·9×10⁹·2×10⁻⁹/4×10⁻⁴·0.866=-7.79×10³ N/C
V=2·K·2×10⁻⁹/0.02=1.8×10³ V
B) Fuerza sobre -2 nC en vértice libre: F=que=-2×10⁻⁹·(-7.79×10³ ĵ)=1.558×10⁻⁵ ĵ N
Modelo A.3
Datos:
q1=3 µC=3×10⁻⁶ C en (0,0)
q2=1 µC=10⁻⁶ C en (3,0) m
q3 desconocida en (0,4) m
V(3,4)=10650 V
a) Hallar q3:
V(3,4)=K[q1/5 + q2/4 + q3/3]=10650
9×10⁹[3×10⁻⁶/5 + 10⁻⁶/4 + q3/3]=10650
9×10⁹[0.6×10⁻⁶ + 0.25×10⁻⁶ + q3/3]=10650
9×10⁹[0.85×10⁻⁶ + q3/3]=10650
7.65×10³ + 3×10⁹·q3=10650 → q3=(10650-7650)/(3×10⁹)=1×10⁻⁶ C
b) Fuerza sobre -7 µC en (3,4):
Calcular E en (3,4):
E1=Kq1/5³·(3-0,4-0)=9×10⁹·3×10⁻⁶/125·(3,4)=(0.648,0.864)×10³ N/C
E2=Kq2/4³·(3-3,4-0)=9×10⁹·10⁻⁶/64·(0,4)=(0,0.5625)×10³ N/C
E3=Kq3/3³·(3-0,4-4)=9×10⁹·10⁻⁶/27·(3,0)=(1,0)×10³ N/C
E_total≈(1.648,1.4265)×10³ N/C
F=q·E=(-7×10⁻⁶)·(1.648,1.4265)×10³≈(-0.01154,-0.00999) N
Septiembre B.3
Datos:
Tres cargas 2 µC=2×10⁻⁶ C en P1(1,-1), P2(-1,-1), P3(-1,1) mm
Q en P4(1,1) mm
Coordenadas en m: (0.001,-0.001), (-0.001,-0.001), (-0.001,0.001), (0.001,0.001)
a) Q para que E(0,0)=0:
Por simetría, E de las tres primeras en (0,0)=0
Para que total sea 0, Q debe producir E=0 en (0,0) → Q=0
Potencial en (0,0): V=K[3·2×10⁻⁶/√(2)×10⁻³ + 0]=9×10⁹·6×10⁻⁶/(1.414×10⁻³)≈3.82×10⁷ V
b) Q para que V(0,0)=0:
K[3·2×10⁻⁶/(√2×10⁻³) + Q/(√2×10⁻³)]=0
6×10⁻⁶+Q=0 → Q=-6 µC
Campo en (0,0) ahora: por simetría de las tres primeras E=0, solo Q contribuye:
E_Q=KQ/(√2×10⁻³)²·(1,1)/√2 dirección (-1,-1)
|E|≈9×10⁹·6×10⁻⁶/(2×10⁻⁶)=2.7×10¹⁰ N/C
Q=−6 μC, E⃗≈(1.91×1010,1.91×1010) N/CQ=−6(1.91×10¹⁰,1.91×10¹⁰)N/C
Junio-Coincidentes B.3
Datos:
Dos cargas idénticas q en (0,3) y (0,-3) cm=(0,0.03) y (0,-0.03) m
V(1,0) cm=5×10³ V
a) Hallar q y V(0,0):
r=√(0.01²+0.03²)=√0.001=0.03162 m
V=2·Kq/0.03162=5×10³
q=5×10³·0.03162/(2·9×10⁹)≈8.79×10⁻⁹ C
V(0,0)=2·Kq/0.03=2·9×10⁹·8.79×10⁻⁹/0.03≈5.27×10³ V
b) Campo en (-1,0) cm=(-0.01,0) m:
r=√(0.01²+0.03²)=0.03162 m
Por simetría, solo componente x:
E_x=2·Kq·(-0.01)/r³=2·9×10⁹·8.79×10⁻⁹·(-0.01)/(0.03162³)≈-1.50×10⁵ N/C
Junio B.3
Datos:
Electrón con v₀=100 m/s en -X
Campo uniforme E=8×10⁻⁹ N/C en -X
a) Tipo de movimiento:
Fuerza F=-e·(-E î)=+eE î (en +X)
Frena, luego acelera en +X → Movimiento uniformemente acelerado
B) Fuerza y aceleración: F=eE=1.6×10⁻¹⁹·8×10⁻⁹=1.28×10⁻²⁷ N A=F/m_e=1.28×10⁻²⁷/9.1×10⁻³¹≈1.41×10³ m/s²
Modelo A.3
Datos:
Campo E=9/r² r̂ N/C
Trabajo W=-9×10⁻⁶ J para q’ de A(r=5 m) a B(r=10 m)
A) q en origen: Comparando con E=Kq/r² → Kq=9 → q=9/(9×10⁹)=10⁻⁹ C
B) q’ transportada: W=q'(V_A-V_B)=q’·Kq(1/5-1/10)=q’·9·0.1=0.9q’=-9×10⁻⁶ Q’=-10⁻⁵ C
2013-Septiembre A.5
Datos:
Plano infinito σ>0
A) Campo por Gauss: E=σ/(2&épsilon;₀) (alejándose del plano)
B) ΔV entre puntos separados d perpendicular al plano: ΔV=Ed=σd/(2&épsilon;₀) Si dirección paralela al plano: ΔV=0
Junio-Coincidentes A.3
Datos:
q1=2 µC=2×10⁻⁶ C en (0,0) cm
q2=-4 µC=-4×10⁻⁶ C en (20,0) cm=(0.2,0) m
A) Campo en punto medio (10,0) cm=(0.1,0) m:
E1=K·2×10⁻⁶/0.1² hacia derecha=1.8×10⁶ N/C
E2=K·(-4×10⁻⁶)/0.1² hacia derecha (carga negativa atrae)=-3.6×10⁶ N/C
E_total=(1.8-3.6)×10⁶=-1.8×10⁶ N/C → hacia izquierda
B) Trabajo para traer 0.01 mC=10⁻⁵ C desde ∞ a punto medio:
V=K[2×10⁻⁶/0.1 + (-4×10⁻⁶)/0.1]=9×10⁹·(-2×10⁻⁵)=-1.8×10⁵ V
W=q’·V=10⁻⁵·(-1.8×10⁵)=-1.8 J
Junio B.1
Datos:
q1 y q2 en eje X separadas 20 cm=0.2 m
F=2 N repulsiva, q1+q2=6 µC=6×10⁻⁶ C
A) Hallar q1 y q2:
F=Kq1q2/0.2²=2 → q1q2=2·0.04/(9×10⁹)=8.89×10⁻¹²
q1+q2=6×10⁻⁶
Resolviendo: q1=4 µC, q2=2 µC (o viceversa)
B) Campo en punto medio:
E1=K·4×10⁻⁶/0.1²=3.6×10⁶ N/C (derecha)
E2=K·2×10⁻⁶/0.1²=1.8×10⁶ N/C (izquierda)
E_total=1.8×10⁶ N/C hacia izquierda (hacia carga menor) (-1.8×10⁶, 0) N/C
Modelo B.3
Datos:
Esfera maciza radio R=0.2 m, Q=1 µC=10⁻⁶ C uniforme
A) Campo y potencial en r=2R=0.4 m: E=KQ/r²=9×10⁹·10⁻⁶/0.16=5.625×10⁴ N/C V=KQ/r=2.25×10⁴ V
B) Distancia de parada partícula m=3×10⁻¹² kg, carga +Q, v₀=10⁵ m/s:
Conservación energía: ½mv₀²=KQ²(1/r-1/∞)
½·3×10⁻¹²·10¹⁰=9×10⁹·10⁻¹²/r
1.5×10⁻²=9×10⁻³/r → r=0.6 m
Septiembre A.3
Datos:
q1=2 mC=2×10⁻³ C en (-1,0)
q2=-4 mC=-4×10⁻³ C en (3,0) m
A) Punto en eje x con V=0: 2/(x+1) + (-4)/(3-x)=0 → 2/(x+1)=4/(3-x) 2(3-x)=4(x+1) → 6-2x=4x+4 → 2=6x → x=1/3 m
B) Campo en ese punto:
E1=K·2×10⁻³/(4/3)² hacia izquierda=9×10⁹·2×10⁻³·9/16=1.0125×10⁷ N/C
E2=K·4×10⁻³/(8/3)² hacia derecha=9×10⁹·4×10⁻³·9/64=5.0625×10⁶ N/C
E_total=(5.0625-10.125)×10⁶=-5.0625×10⁶ N/C → hacia izquierda (-5.06×10⁶, 0) N/C
Junio A.3
Datos:
Electrón v=2×10⁶ î m/s
Campo uniforme lo frena en 90 cm=0.9 m
A) Hallar E: ½m_ev²=e·E·0.9 E=(½·9.1×10⁻³¹·4×10¹²)/(1.6×10⁻¹⁹·0.9)≈1.26×10⁴ N/C en -X E≈1.26×104 N/C en direcci
B) Trabajo del campo: W=-e·(-E·0.9)=1.6×10⁻¹⁹·1.26×10⁴·0.9≈1.81×10⁻¹⁵ J
Modelo A.5
Datos:
q1=q2=5 nC=5×10⁻⁹ C, q3=-5 nC=-5×10⁻⁹ C
Triángulo rectángulo catetos L=1.2 m
A) Fuerza de q1 y q2 sobre q3:
Supongamos q1 en (0,0), q2 en (1.2,0), q3 en (0,1.2)
F13=K·5×10⁻⁹·(-5×10⁻⁹)/(1.2²)·(0,1.2)/1.2≈(-1.04×10⁻⁷,0) N
F23=K·5×10⁻⁹·(-5×10⁻⁹)/(1.2√2)³·(-1.2,1.2)≈(0.52×10⁻⁷,-0.52×10⁻⁷) N
F_total≈(-0.52×10⁻⁷,-0.52×10⁻⁷) N
B) Trabajo para llevar q3 a (1.2,1.2):
W=q3·(V_inicial-V_final)
V_inicial=K[5×10⁻⁹/1.2+5×10⁻⁹/(1.2√2)]≈56.25 V
V_final=K[5×10⁻⁹/1.2√2+5×10⁻⁹/1.2√2]≈53.03 V
W=-5×10⁻⁹·(56.25-53.03)≈-1.61×10⁻⁸ J
Septiembre-Coincidentes A.2
Datos:
Dos cargas: +2 µC en (-1,0) cm, +8 µC en (1,0) cm
Esfera radio 2 cm centrada origen
A) ¿Si Φ=0, E=0 en todos puntos? No, solo implica carga neta interior = 0
B) Flujo a través esfera: Q_int = 2 µC + 8 µC = 10 µC = 10⁻⁵ C Φ = Q_int/&épsilon;₀ = 10⁻⁵/(8.85×10⁻¹²) ≈ 1.13×10⁶ N·m²/C
Septiembre B.3
Datos:
q1=7.11×10⁻⁹ C en (0,3) m
q2=3.0×10⁻⁹ C en (4,0) m
A) Campo en (4,3):
r1=√(4²+0²)=4 m, r2=√(0²+3²)=3 m
E1=Kq1/4²·(4,0)/4=9×10⁹·7.11×10⁻⁹/16·(1,0)=(4.00,0) N/C
E2=Kq2/3²·(0,3)/3=9×10⁹·3×10⁻⁹/9·(0,1)=(0,3.00) N/C
E_total=(4.00,3.00) N/C
B) Potencial en (4,3): V=K(q1/4+q2/3)=9×10⁹(7.11×10⁻⁹/4+3×10⁻⁹/3)=9×10⁹(1.7775+1)×10⁻⁹=25.00 V
C) q3 en origen para V(4,3)=0: 25.00 + Kq3/5=0 → q3=-25.00·5/(9×10⁹)=-1.39×10⁻⁸ C
D) q4 en origen para E(4,3)=0:
E_de_q4 debe anular (4,3):
Kq4/5³·(4,3)=(-4,-3) → q4=(-4,-3)·125/(9×10⁹·(4,3)) calculando: q4≈-6.94×10⁻⁹ C
Junio-Coincidentes A.1
Datos:
Dos +1 nC en (2,0) y (-2,0)
Una -2 nC en (0,-1) m
A) Campo y potencial en (0,1):
Por simetría, E vertical hacia abajo:
E_y=2·K·1×10⁻⁹/(√5)³·1 + K·(-2×10⁻⁹)/2³·2
≈2·9×10⁹·10⁻⁹/(11.18)·1 + 9×10⁹·(-2×10⁻⁹)/8·2
≈1.61 – 4.5 = (0, -2.89) N/C
V=2·K·1×10⁻⁹/√5 + K·(-2×10⁻⁹)/2
≈2·9×10⁹·10⁻⁹/2.236 – 9×10⁹·2×10⁻⁹/2
≈8.05 – 9 = -0.95 V
B) Energía cinética de +1 nC en origen si parte de (0,1):
V(0,0)=2·K·1×10⁻⁹/2 + K·(-2×10⁻⁹)/1=9-18=-9 V
ΔV=-0.95-(-9)=8.05 V
E_c=q·ΔV=10⁻⁹·8.05=8.05×10⁻⁹ J
Junio B.2
Datos:
Conductor esférico R=0.1 m, q=5 nC=5×10⁻⁹ C
A) Campo en 5 cm y 15 cm: 5 cmR → E=Kq/0.15²=9×10⁹·5×10⁻⁹/0.0225=2×10³ N/C
B) Potencial a 10 cm (superficie) y 15 cm: V(0.1)=Kq/0.1=450 V V(0.15)=Kq/0.15=300 V
C) Trabajo para traer 2 nC desde ∞ a 10 cm: W=q’·V=2×10⁻⁹·300=6×10⁻⁷ J
Septiembre-Fase Específica A.2
Datos:
Dos cargas 2×10⁻⁶ C en (0,8) y (6,0) m
A) Campo en origen:
E1=K·2×10⁻⁶/8²·(0,8)/8=9×10⁹·2×10⁻⁶/64·(0,1)=(0,2.81×10³) N/C
E2=K·2×10⁻⁶/6²·(6,0)/6=9×10⁹·2×10⁻⁶/36·(1,0)=(5.00×10³,0) N/C
E_total≈(5.00,2.81)×10³ N/C
B) Trabajo para q=3×10⁻⁶ C desde P(3,4) a origen:
V_origen=K·2×10⁻⁶(1/8+1/6)=9×10⁹·2×10⁻⁶(0.125+0.1667)=5.25×10³ V
V_P=K·2×10⁻⁶(1/5+1/5)=9×10⁹·2×10⁻⁶·0.4=7.2×10³ V
W=q(V_P-V_origen)=3×10⁻⁶(7.2-5.25)×10³=5.85×10⁻³ J
Junio-Coincidentes A.2
Datos:
Dos cargas 1 nC en dos vértices triángulo equilátero lado a
Poner carga Q en punto medio entre ellas
A) Q para E=0 en tercer vértice:
Distancia punto medio a vértice=a√3/2
Campo de las dos 1 nC en tercer vértice tiene componente horizontal no nula
Para anular: Q=-√3×10⁻⁹ C
B) Q para V=0 en tercer vértice: 2·K·10⁻⁹/a + K·Q/(a√3/2)=0 → Q=-2√3×10⁻⁹ C
Junio-Fase General B.2
Datos:
q1=+3 nC (0,3), q2=-5 nC (4,3), q3=+4 nC (4,0) m
A) Campo en origen:
E1=K·3×10⁻⁹/3²·(0,-3)/3=9×10⁹·3×10⁻⁹/9·(0,-1)=(0,-3) N/C
E2=K·(-5×10⁻⁹)/5²·(-4,-3)/5=9×10⁹·(-5×10⁻⁹)/25·(-0.8,-0.6)=(1.44,1.08) N/C
E3=K·4×10⁻⁹/4²·(-4,0)/4=9×10⁹·4×10⁻⁹/16·(-1,0)=(-2.25,0) N/C
E_total≈(-0.81,-1.92) N/C
B) Potencial en origen: V=K(3×10⁻⁹/3 + (-5×10⁻⁹)/5 + 4×10⁻⁹/4)=9×10⁹(1-1+1)×10⁻⁹=9 V
C) Fuerza sobre 1 nC en origen: F=10⁻⁹·(-0.81,-1.92)=(-0.81,-1.92)×10⁻⁹ N
D) Energía potencial sistema:
U=K[q1q2/5 + q1q3/5 + q2q3/3]
=9×10⁹[(-15×10⁻¹⁸)/5 + (12×10⁻¹⁸)/5 + (-20×10⁻¹⁸)/3]
≈9×10⁹[-3+2.4-6.67]×10⁻¹⁸≈-6.54×10⁻⁸ J
Septiembre Cuestión 4
Datos:
Esfera radio R, carga Q uniforme
A) Campo exterior por Gauss: E=KQ/r²
B) Razón E(2R)/E(3R): E(2R)=KQ/(4R²), E(3R)=KQ/(9R²) Razón=9/4; E(2R)/E(3R) = 9/4
Junio A.2
Datos:
q1=-3 µC en (-1,0), q2=+3 µC en (1,0) m
A) Campo en (10,0): E=K[-3×10⁻⁶/11² + 3×10⁻⁶/9²]=9×10⁹·3×10⁻⁶(1/81-1/121)≈110 N/C hacia +x
B) Campo en (0,10):
r=√(1²+10²)=√101≈10.05 m
Componente x: E_x=2·K·3×10⁻⁶·1/(10.05³)≈5.31 N/C hacia -x
EE⃗≈(−5.31,0) N/C≈(−5.31,0)
Modelo B.1
Datos:
Plano en x=0, σ1=10⁻⁶ C/m²
Plano en x=3, σ2 desconocido
A) Campo en (1,0,0) y (-1,0,0):
E=σ/(2&épsilon;₀)=10⁻⁶/(2·8.85×10⁻¹²)=5.65×10⁴ N/C
En (1,0,0): +x, en (-1,0,0): -x
E(1,0,0)=5.65×10⁴iN/C,E(−1,0,0)=−5.65×10
⁴iN/C
B) σ2 para E(-2,0,0)=+10⁴ N/C: E_total en (-2,0,0)=E1+E2 E1 (desde plano x=0, punto en x
Septiembre Cuestión 3
Datos:
Tres cargas 10 nC en tres vértices cuadrado 1 m
a) Campo en centro:
Supongamos cargas en (0,0),(1,0),(0,1)
Centro (0.5,0.5), distancias=√(0.5²+0.5²)=0.707 m
Por simetría, E≈(1.08,1.08)×10³ N/C
B) Potencial en centro: V=3·K·10⁻⁸/0.707≈3·9×10⁹·1.414×10⁻⁸≈382 V
Septiembre B.1
Datos:
Carga +10 nC distribuida entre esferas r1=2 cm, r2=4 cm
A) Campo a 6 cm: R>r2 → como carga puntual Q=10⁻⁸ C E=KQ/0.06²=9×10⁹·10⁻⁸/0.0036=2.5×10⁴ N/C
B) Campo a 1 cm: R
Junio A.1
Datos:
Q1=+12.5 nC (2,0), Q2=-2.7 nC (-2,0) m
A) Potencial en A(-2,3): R1A=√(4²+3²)=5 m, r2A=√(0²+3²)=3 m V_A=9×10⁹(12.5×10⁻⁹/5 – 2.7×10⁻⁹/3)=9(2.5-0.9)=14.4 V
b) Campo en A:
E1=9×10⁹·12.5×10⁻⁹/125·(-4,3)=(-0.36,0.27)×10³ N/C
E2=9×10⁹·(-2.7×10⁻⁹)/27·(0,3)=(0,-0.90)×10³ N/C
E_total≈(-360,-630) N/C
c) Trabajo para ion -2e de A a B(2,3):
V_B=9×10⁹(12.5×10⁻⁹/3 – 2.7×10⁻⁹/5)=9(4.167-0.54)=32.6 V
W=(-2·1.6×10⁻¹⁹)(14.4-32.6)=5.82×10⁻¹⁸ J
d) Aceleración ion en A:
F=(-2e)E≈(-3.2×10⁻¹⁹)(-360,-630)=(1.152,2.016)×10⁻¹⁶ N
a=F/m=(1.152,2.016)×10⁻¹⁶/(3.15×10⁻²⁶)≈(3.66,6.40)×10⁹ m/s²
a⃗≈(3.66,6.40)×109 m/
Septiembre B.2
Datos:
Q1 en (1,0), Q2 en (-1,0)
E(0,1)=2×10⁵ ĵ N/C
a) Hallar Q1,Q2 (suponiendo iguales):
r=√2, componente y: 2·KQ·1/(√2)³=2×10⁵
Q=2×10⁵·(2√2)/(2·9×10⁹)≈ Q1 = Q2 = 3.14×10⁻⁶ C
B) Relación para V(2,0)=0: K(Q1/1 + Q2/3)=0 → Q1=-3Q2 Q1=−3Q2Q_1 1=−3
Junio B.2
Datos:
+1 µC en (-1,0), -1 µC en (1,0) m
a) Campo en (0,3):
Por simetría, vertical hacia abajo:
E_y=-2·K·10⁻⁶·3/(√10)³≈-1.70×10³ N/C
EE⃗≈(0,−1.70×103) N/C≈(0,−1.70×10³)N/C
B) Potencial en eje Y: V(y)=K[10⁻⁶/√(1+y²) – 10⁻⁶/√(1+y²)]=0 V(y)=0
C) Campo en (3,0): E=K[10⁻⁶/4² – (-10⁻⁶)/2²] en -x dirección≈-1.01×10³ N/C EE⃗≈(−1.01×103,0) N/C≈(−1.01×10³,0)N/C
D) Potencial en (3,0): V=K[10⁻⁶/4 – 10⁻⁶/2]=9×10⁹(0.25-0.5)×10⁻⁶=-2.25×10³ V V=−2.25×103 VV=−2.25×10³V
Modelo B.1
Datos:
Carga +2 µC en origen
Protón desde x=10 m con v=1000 m/s hacia origen
A) Campo en A(10,0): E=K·2×10⁻⁶/10²=1.8×10² N/C
B) Potencial y energía potencial en A: V_A=K·2×10⁻⁶/10=1.8×10³ V U_A=eV_A=1.6×10⁻¹⁹·1.8×10³=2.88×10⁻¹⁶ J
C) Energía cinética en A: K_A=½·1.67×10⁻²⁷·10⁶=8.35×10⁻²² J
D) Cambio momento lineal de A hasta volver a A: Δp=2·m_p·v=2·1.67×10⁻²⁷·1000=3.34×10⁻²⁴ kg·m/s
Septiembre B.2
Datos:
Cargas 3 µC en A(0,2) y B(0,-2)
Cargas Q en C(4,2) y D(4,-2)
E(0,0)=4×10³ î N/C
A) Hallar Q:
Campo horizontal solo lo producen C y D (por simetría)
Distancia de C/D a origen = √(4²+2²)=√20 m
Componente x de E_de_una_carga: E_x=K·Q·4/(√20)³
Total: 2·K·Q·4/(20√20)=4×10³
Q=4×10³·20√20/(2·9×10⁹·4)≈-1.12×10⁻⁶ C (negativa para que campo vaya hacia +x)
B) Potencial en origen: V=2·K[3×10⁻⁶/2 + Q/√20]≈2·9×10⁹[1.5×10⁻⁶ -1.12×10⁻⁶/4.472]≈2.7×10⁴-1.13×10⁴=1.57×10⁴ V
Junio Cuestión 3
Datos:
Carga Q en origen
Punto A en eje X con V=-120 V, E=-80 î N/C
a) Posición A y Q:
E=KQ/x²=80, V=KQ/x=-120
Dividiendo: V/E=x=-120/80=-1.5 m → x=1.5 m (signo indica dirección)
Q=Vx/K=(-120)·1.5/(9×10⁹)=-2×10⁻⁸ C
b) Trabajo para electrón de B(2,2) a A(1.5,0):
r_B=√(2²+2²)=√8≈2.828 m
V_B=KQ/r_B=9×10⁹·(-2×10⁻⁸)/2.828≈-63.64 V
W=(-e)(V_B-V_A)=-1.6×10⁻¹⁹(-63.64+120)≈-9.02×10⁻¹⁸ J
Septiembre Cuestión 5
Datos:
Protón acelerado ΔV=10 V
A) Energía en eV y velocidad: E=10 eV=1.6×10⁻¹⁸ J V=√(2E/m_p)=√(2·1.6×10⁻¹⁸/1.67×10⁻²⁷)≈1.38×10⁵ m/s
Junio Cuestión 5
Datos:
Electrón acelerado ΔV=50 V
A) Cociente c/v: E_c=50 eV=8×10⁻¹⁸ J V=√(2E/m_e)=√(2·8×10⁻¹⁸/9.1×10⁻³¹)≈4.19×10⁶ m/s C/v=3×10⁸/4.19×10⁶≈71.6
Junio A.2
Datos:
Q1=+2 µC (1,0), Q2=+2 µC (-1,0), Q3 en (0,2) m
a) Q3 para fuerza nula en (0,1):
Campo de Q1 y Q2 en (0,1) es vertical hacia abajo
Para anular, Q3 debe ser positiva y estar arriba
|E_Q1+Q2|=2·K·2×10⁻⁶·1/(√2)³=K·4×10⁻⁶/(2√2)
|E_Q3|=K·Q3/1²
Igualando: Q3=4×10⁻⁶/(2√2)≈1.41×10⁻⁶ C
Q3≈1.41 μCQ_3
≈1.41
B) Potencial en (0,1): V=K[2×10⁻⁶/√2 + 2×10⁻⁶/√2 + 1.41×10⁻⁶/1]≈9×10⁹(2.828+2.828+1.41)×10⁻⁶≈6.37×10⁴ V V≈6.37×10⁴V
Modelo Cuestión 3
Datos:
+6 µC en A, -6 µC en B, separación 12 cm=0.12 m
a) Campo en P con AP=4 cm, PB=8 cm:
E_A=K·6×10⁻⁶/0.04²=3.375×10⁷ N/C hacia B
E_B=K·6×10⁻⁶/0.08²=8.4375×10⁶ N/C hacia B (carga negativa atrae)
E_total≈(3.375+0.84375)×10⁷=4.22×10⁷ N/C hacia B
E≈4.22×107 N/C hacia BE≈4.22×10⁷N/Chacia B
B) Potencial en C en mediatriz a 8 cm: R=√(6²+8²)=10 cm=0.1 m V=K[6×10⁻⁶/0.1 – 6×10⁻⁶/0.1]=0 V=0
Septiembre B.2
Datos:
q1=2 µC (0,2), q2=-2 µC (0,-2) m
a) Campo en A(3,0):
r=√(3²+2²)=√13≈3.606 m
Por simetría, horizontal hacia derecha:
E_x=2·K·2×10⁻⁶·3/(√13)³≈2·9×10⁹·2×10⁻⁶·3/48.99≈2.20×10³ N/C
E≈2.20×103 N/C hacia +xE≈2.20×10³ N/Chacia +x
b) Potencial en A y trabajo para 3 µC de A a origen:
V_A=K[2×10⁻⁶/√13 – 2×10⁻⁶/√13]=0
V_origen=K[2×10⁻⁶/2 – 2×10⁻⁶/2]=0
W=q'(V_A-V_origen)=0
VA=0, W=0V_A
=0,0
Junio A.2
Datos:
Electrón v₀=3×10⁵ î m/s
E=6×10⁻⁶ ĵ N/C
A) Fuerza: F=-eE=-1.6×10⁻¹⁹·6×10⁻⁶ ĵ=-9.6×10⁻²⁵ ĵ N F F⃗=−9.6×10−25 j^ N=−9.6×10⁻²⁵j N
b) v(t):
v_x=v₀=3×10⁵ m/s
v_y=(F_y/m_e)t=(-9.6×10⁻²⁵/9.1×10⁻³¹)t≈-1.05×10⁶ t m/s
vv⃗(t)=(3×105, −1.05×106t) m/s(t)=(3×10⁵,−1.05×10⁶
c) E_c a t=1 s:
v_y≈-1.05×10⁶ m/s
v=√(v_x²+v_y²)≈√(9×10¹⁰+1.1025×10¹²)≈1.09×10⁶ m/s
E_c=½·9.1×10⁻³¹·(1.09×10⁶)²≈5.4×10⁻¹⁹ J
E_c
≈5.4×10⁻¹⁹
J
d) ΔU a t=1 s:
y=½a_yt²=½·(-1.05×10⁶)·1²=-5.25×10⁵ m
ΔU=-W_campo=-(-e)E·y=eE·y=1.6×10⁻¹⁹·6×10⁻⁶·(-5.25×10⁵)≈-5.04×10⁻¹⁹ J
ΔU≈−5.04×10⁻¹⁹
J
Modelo Cuestión 3
Datos:
Campo uniforme E=6×10⁴ N/C, distancia placas 2.5 cm=0.025 m
A) Aceleración electrón: A=eE/m_e=1.6×10⁻¹⁹·6×10⁴/9.1×10⁻³¹≈1.05×10¹⁶ m/s² A≈1.05×1016
B) Velocidad al llegar a placa positiva: V=√(2ad)=√(2·1.05×10¹⁶·0.025)≈2.29×10⁷ m/s
Septiembre Cuestión 1
a) Superficies equipotenciales:
Superficies donde V=cte
b) Para carga puntual:
Esferas concéntricas
c) Relación con líneas de fuerza:
Perpendiculares
d) Ejemplo campo no conservativo:
Campo magnético variable
Junio B.2
Datos:
Protón en origen, electrón en (2,0) µm=2×10⁻⁶ m inicialmente en reposo
a) Campo y potencial del protón en (2,0) µm:
E=K·1.6×10⁻¹⁹/(2×10⁻⁶)²=9×10⁹·1.6×10⁻¹⁹/4×10⁻¹²=3.6×10⁸ N/C
V=K·1.6×10⁻¹⁹/(2×10⁻⁶)=7.2×10² V
b) Energía cinética electrón en (1,0) µm:
Conservación energía:
E_c=e(V₂-V₁)=1.6×10⁻¹⁹(7.2×10²/2 – 7.2×10²)= -2.88×10⁻¹⁷ J (en realidad positiva: 2.88×10⁻¹⁷ J)
C) Velocidad y momento en (1,0) µm: V=√(2E_c/m_e)=√(2·2.88×10⁻¹⁷/9.1×10⁻³¹)≈2.52×10⁷ m/s P=m_ev≈2.29×10⁻²³ kg·m/s
Junio B.2
Datos:
Triángulo equilátero vértices: A(0,2 cm), B(-√3,-1 cm), C(√3,-1 cm)
q_B=q_C=2 µC, E(0,0)=0
a) q_A:
Por simetría, E de B y C en origen es vertical hacia arriba
Para anular, q_A debe ser negativa y misma magnitud → q_A≈-2 µC
B) Potencial en origen:
r=2 cm=0.02 m (distancia al centro)
V=K(-2×10⁻⁶/0.02 + 2×10⁻⁶/0.02 + 2×10⁻⁶/0.02)=9×10⁹·2×10⁻⁶/0.02=9×10⁵ V
Modelo A.2
Datos:
Electrón v₀=2×10⁶ m/s paralelo a E=5000 V/m
a) Distancia cuando v=0.5×10⁶ m/s:
a=eE/m_e=1.6×10⁻¹⁹·5000/9.1×10⁻³¹≈8.79×10¹⁴ m/s²
v_f²=v₀²+2ad
(0.5×10⁶)²=(2×10⁶)²+2·(-8.79×10¹⁴)·d
d=(4×10¹²-0.25×10¹²)/(2·8.79×10¹⁴)≈2.13×10⁻³ m
B) ΔU en ese recorrido: ΔU=eEd=1.6×10⁻¹⁹·5000·2.13×10⁻³≈1.70×10⁻¹⁸ J
Septiembre B.2
Datos:
q1=0.2 µC a 1 m derecha origen
q2=+0.4 µC a 2 m izquierda origen
a) Puntos en eje X con V=0:
Asumiendo q1=-0.2 µC, q2=+0.4 µC
-0.2/|x-1|+0.4/|x+2|=0
0.4/|x+2|=0.2/|x-1| → 2|x-1|=|x+2|
Soluciones: x=0 m y x=4 m
b) Fuerza sobre q=+0.4 µC en origen:
F=K[(-0.2×10⁻⁶)(0.4×10⁻⁶)/1² + (0.4×10⁻⁶)(0.4×10⁻⁶)/2²]
=9×10⁹[-0.08×10⁻¹²+0.04×10⁻¹²]=-3.6×10⁻⁴ N (izquierda)
Junio B.2
Datos:
Tres cargas +2 µC en tres vértices cuadrado 10 cm=0.1 m
a) Campo en centro:
Distancia centro-vértice=0.1√2/2≈0.0707 m
Por simetría, E hacia vértice vacío
|E|=3·K·2×10⁻⁶/(0.0707²)·cos45°≈1.08×10⁷ N/C hacia vértice vacío
b) Potenciales en puntos medios lados:
Por simetría V iguales → trabajo entre ellos=0; W=0
Septiembre A.2
Datos:
Triángulo equilátero lado 2 m
Cargas +2 µC en A y B, vértice C
A) Campo en C: Por simetría, horizontal alejándose de AB |E|=2·K·2×10⁻⁶/2²·cos30°≈7.79×10³ N/C
B) Potencial en C: V=2·K·2×10⁻⁶/2=1.8×10⁴ V
C) Trabajo para +5 µC desde ∞ a C: W=qV=5×10⁻⁶·1.8×10⁴=9×10⁻² J
D) Si carga en B=-2 µC, trabajo para +5 µC a C: V_C=K[2×10⁻⁶/2 – 2×10⁻⁶/2]=0 W=0
Junio Cuestión 3
Datos:
Dos cargas 2 mC en (0,5) y (0,-5) m