2026-Modelo 3.A: 

Una partícula con carga −2 nC está situada en el punto

 

Datos:

q1 = -2 nC = -2×10⁻⁹ C en (-5,0) m
q2 = +2 nC = +2×10⁻⁹ C en (5,0) m
K = 9×10⁹ N·m²/C²
Punto A(5,4) m

A) Campo en A:

Vector r1A = A – (-5,0) = (10,4) m → |r1A| = √(10²+4²) = √116 ≈ 10.77 m
Vector r2A = A – (5,0) = (0,4) m → |r2A| = 4 m
E1A = K·q1/|r1A|³ · r1A = 9×10⁹·(-2×10⁻⁹)/(10.77³)·(10,4) ≈ (-0.1442, -0.05768) N/C
E2A = K·q2/|r2A|³ · r2A = 9×10⁹·(2×10⁻⁹)/(4³)·(0,4) ≈ (0, 1.125) N/C
EA = E1A + E2A ≈ (-0.1442, 1.0673) N/C

E_A

 E⃗A≈(−0.144,1.067)
​≈(−0.144,1.067) N/C

Potencial en A:

VA = K·(q1/|r1A| + q2/|r2A|) = 9×10⁹·[(-2×10⁻⁹/10.77) + (2×10⁻⁹/4)]
VA ≈ 9×10⁹·(-0.1857×10⁻⁹ + 0.5×10⁻⁹) ≈ 2.829 V
VA≈2.83V_A
​≈2.83 V

B) Trabajo para q’ = 3 nC de A a B(0,4):

VB = K·[q1/|r1B| + q2/|r2B|] con r1B = √(5²+4²)=√41≈6.403 m, r2B = √(5²+4²)=√41≈6.403 m
VB = 9×10⁹·[(-2×10⁻⁹/6.403)+(2×10⁻⁹/6.403)] = 0 V
W = q’·(VA – VB) = 3×10⁻⁹·(2.829 – 0) ≈ 8.487×10⁻⁹ J
W≈8.49×10⁻⁹J

2025-Junio-Coincidentes 3.A: Sean dos cargas puntuales fijas q1 = 1 μC y q2 de valor desconocido

Datos:

q1 = 1 µC = 10⁻⁶ C en (-2,0) m
q2 desconocida en (4,0) m
P(0,2) m

A) Hallar q2 para que EP solo tenga componente x:

r1P = (2,2), |r1P| = √(2²+2²)=√8 m
r2P = (-4,2), |r2P| = √(4²+2²)=√20 m
La componente y debe anularse:
K·q1·(2)/(√8)³ + K·q2·(2)/(√20)³ = 0
q2 = -q1·(√20³/√8³)·(2/2) = -10⁻⁶·(20√20)/(8√8) ≈ -3.95×10⁻⁶ C

B) Campo total en P:

Solo componente x (por condición anterior):
Ex = K·[q1·2/(√8)³ + q2·(-4)/(√20)³]
Sustituyendo: Ex ≈ 9×10⁹·[10⁻⁶·2/(8√8) + (-3.95×10⁻⁶)·(-4)/(20√20)] E_p ≈ (2.25×10³, 0) N/C

C) Velocidad de q2 al pasar por origen (m = 1 g = 0.001 kg):

Conservación energía: ½·m·v² = q2·(Vi – V0)
Vi = K·q1/|r1i| con r1i = distancia entre q1 y q2 = 6 m → Vi = 9×10⁹·10⁻⁶/6 = 1500 V
V0 = K·q1/|r10| con r10 = 2 m → V0 = 9×10⁹·10⁻⁶/2 = 4500 V
½·0.001·v² = (-3.95×10⁻⁶)·(1500 – 4500) = 0.01185
v = √(2·0.01185/0.001) ≈ 6.24 m/s

2025-Junio 2.A: Un electrón de carga −e y un positrón de carga +e se encuentran inicialmente fijos

Datos:

Electrón: q = -e = -1.6×10⁻¹⁹ C en (0,6) nm
Positrón: q = +e = 1.6×10⁻¹⁹ C en (0,-6) nm
1 nm = 10⁻⁹ m → posiciones en metros: (0,6×10⁻⁹) y (0,-6×10⁻⁹)

A) Campo en (8,0) nm = (8×10⁻⁹, 0) m:

r1 = √(8²+6²)=10 nm = 10⁻⁸ m (distancia igual para ambas)
Por simetría, solo componente x:
Ex = 2·K·e/r²·(8/10) = 2·9×10⁹·1.6×10⁻¹⁹/(10⁻⁸)²·0.8 = 2.30×10⁶ N/C
E⃗≈(

B) Máxima distancia si positrón con v = -1.5×10⁵ ĵ m/s:

Conservación energía (electrón fijo):
½·m·v₀² – K·e²/d₀ = -K·e²/df
m = 9.1×10⁻³¹ kg, d₀ = 12 nm = 1.2×10⁻⁸ m
½·9.1×10⁻³¹·(1.5×10⁵)² – 9×10⁹·(1.6×10⁻¹⁹)²/(1.2×10⁻⁸) = -9×10⁹·(1.6×10⁻¹⁹)²/df
1.02375×10⁻²⁰ – 1.92×10⁻¹⁹ = -2.304×10⁻²⁸/df
-1.8176×10⁻¹⁹ = -2.304×10⁻²⁸/df → df ≈ 1.268×10⁻⁹ m ≈ 12.7 nm dmax≈12.7 

2025-Modelo 2.A: Sea una distribución de tres cargas puntuales fijas, situadas en los vértices de un triángulo

Datos:

Q1 = 4 nC = 4×10⁻⁹ C en (0,0) cm
Q2 = -2 nC = -2×10⁻⁹ C en (2, 2√3) cm
Q3 = -4 nC = -4×10⁻⁹ C en (4,0) cm
Convertir a metros: (0,0), (0.02, 0.02√3), (0.04,0)

A) Fuerza de Q1 y Q2 sobre Q3:

r13 = (0.04,0) – (0,0) = (0.04,0) m, |r13| = 0.04 m
r23 = (0.04,0) – (0.02, 0.03464) = (0.02, -0.03464) m, |r23| = 0.04 m
F13 = K·Q1·Q3/|r13|³ · r13 = 9×10⁹·(4×10⁻⁹)·(-4×10⁻⁹)/(0.04³)·(0.04,0)
F13 ≈ (-0.0225, 0) N
F23 = K·Q2·Q3/|r23|³ · r23 = 9×10⁹·(-2×10⁻⁹)·(-4×10⁻⁹)/(0.04³)·(0.02, -0.03464)
F23 ≈ (0.01125, -0.01948) N
Ftotal = F13 + F23 ≈ (-0.01125, -0.01948) N

B) Energía electrostática del sistema:

U = K·(Q1Q2/r12 + Q1Q3/r13 + Q2Q3/r23)
r12 = 0.04 m, r13 = 0.04 m, r23 = 0.04 m
U = 9×10⁹·[(4×(-2)×10⁻¹⁸/0.04) + (4×(-4)×10⁻¹⁸/0.04) + ((-2)×(-4)×10⁻¹⁸/0.04)]
U = 9×10⁹·[(-8-16+8)×10⁻¹⁸/0.04] = 9×10⁹·(-16×10⁻¹⁸/0.04) = -3.6×10⁻⁶ J
U≈−3.6

2024-Julio 3.A: Una partícula con carga 2 nC está situada en el origen de coordenadas

Datos:

q1 = 2 nC = 2×10⁻⁹ C en (0,0) m
q2 = 4 nC = 4×10⁻⁹ C en (6,0) m
e = 1.6×10⁻¹⁹ C

A) Campo en P(2,2) m:

r1P = (2,2), |r1P| = √(2²+2²)=√8≈2.828 m
r2P = (2-6,2-0)=(-4,2), |r2P| = √(4²+2²)=√20≈4.472 m
E1 = K·q1/|r1P|³·r1P = 9×10⁹·2×10⁻⁹/(2.828³)·(2,2) ≈ (1.125,1.125) N/C
E2 = K·q2/|r2P|³·r2P = 9×10⁹·4×10⁻⁹/(4.472³)·(-4,2) ≈ (-1.436,0.718) N/C
Etotal = E1 + E2 ≈ (-0.311, 1.843) N/C

B) Punto entre cargas donde fuerza sobre electrón es nula:

En eje x entre 0 y 6 m: |E1| = |E2|
K·2×10⁻⁹/x² = K·4×10⁻⁹/(6-x)²
2/x² = 4/(6-x)² → (6-x)² = 2x² → 6-x = √2·x → x = 6/(1+√2) ≈ 2.49 m
x≈2.

Trabajo para traer electrón desde ∞:

V = K·[2×10⁻⁹/2.49 + 4×10⁻⁹/(6-2.49)] ≈ 9×10⁹·(0.803×10⁻⁹ + 1.139×10⁻⁹) ≈ 17.48 V
W = (-e)·V = -1.6×10⁻¹⁹·17.48 ≈ -2.797×10⁻¹⁸ J
W≈−2.0

2024-Junio-Coincidentes A.3: Dos cargas puntuales idénticas, de valor q, están colocadas sobre el eje x

Datos:

Dos cargas idénticas q separadas 40 cm en eje x
EP = -805 ĵ V/m en P(10,10) cm = (0.1,0.1) m

A) Posición cargas y valor de q:

Por simetría, cargas en (-a,0) y (a,0) con 2a = 0.4 m → a = 0.2 m
Vector r1 = (0.1-(-0.2), 0.1) = (0.3, 0.1) m
Vector r2 = (0.1-0.2, 0.1) = (-0.1, 0.1) m
|r1| = |r2| = √(0.1²+0.3²) = √0.1 ≈ 0.3162 m
Por simetría, componentes x se cancelan, solo Ey:
Ey = 2·K·q/|r|³·0.1 = 2·9×10⁹·q/(0.3162³)·0.1 = -805
q = -805·(0.3162³)/(2·9×10⁹·0.1) ≈ -1.43×10⁻⁹ C
q≈−1.43 nC, cargas en (−0.2,0) y (0.2,0) mq≈−1.43

B) Campo y potencial en origen: Por simetría E = 0 V = 2·K·q/0.2 = 2·9×10⁹·(-1.43×10⁻⁹)/0.2 ≈ -128.7 V E⃗=0, V≈−12

2024-Junio B.3: Dos partículas situadas en los puntos (-6, 0) mm y (6, 0) mm del plano xy

Datos:

Dos cargas q1 = q2 = +9 nC = 9×10⁻⁹ C en (-6,0) mm y (6,0) mm = (-0.006,0) y (0.006,0) m

A) Potencial y campo en origen: Por simetría E = 0 V = 2·K·q/0.006 = 2·9×10⁹·9×10⁻⁹/0.006 = 2.7×10⁴ V E⃗=0, V=2.7×

B) En P(0,3 mm) = (0,0.003) m:

r = √(0.006²+0.003²) = √(36+9)×10⁻³ = √45×10⁻³ ≈ 0.006708 m
Por simetría, solo componente y:
Ey = 2·K·q/r³·0.003 = 2·9×10⁹·9×10⁻⁹/(0.006708³)·0.003 ≈ 1.61×10⁶ N/C
V = 2·K·q/r = 2·9×10⁹·9×10⁻⁹/0.006708 ≈ 2.41×10⁴ V
E⃗≈(0,1.61×106) N/C, V≈2.41×1

2024-Modelo A.3: Dos cargas de 2 nC cada una están fijas en los puntos (0, 0) m y (4, 0) m del plano xy

Datos:

Dos cargas q = 2 nC = 2×10⁻⁹ C en (0,0) y (4,0) m
Trabajo W = 1.27×10⁻⁷ J para traer carga
Q desde ∞ a (2,2) m

A) Hallar Q:

V(2,2) = K·[2×10⁻⁹/√(2²+2²) + 2×10⁻⁹/√(2²+2²)] = 2·9×10⁹·2×10⁻⁹/√8
V = 36×10⁰/2.828 ≈ 12.73 V
W = Q·V → Q = W/V = 1.27×10⁻⁷/12.73 ≈ 9.98×10⁻⁹ C
Q

B) Poner carga q’ = -10 nC para anular fuerza sobre Q:

Fuerza sobre Q desde las dos cargas de 2 nC: por simetría vertical hacia arriba.
Para anular, q’ debe estar en (2,y) con y>2 atrayendo hacia abajo.
Igualando fuerzas verticales:
2·K·(2×10⁻⁹)·Q/(√8²)·(2/√8) = K·(10×10⁻⁹)·Q/(y-2)²
(8×10⁻⁹)/(8√8) = (10×10⁻⁹)/(y-2)²
y-2 ≈ 1.41 → y ≈ 3.41 m
Posicioˊn: (2, 3.41) mPosici
ón: (2,3.41)m

2023-Julio A.3: Una carga situada en un punto del plano xy da lugar a un potencial de 54 V

Datos:

Una carga crea V = 54 V y E = -180 ĵ V/m en origen

A) Posición y valor de la carga:

Campo radial: E = K·q·r/r³
V = K·q/r
En origen, si carga está en (0,-d):
E_y = -K·q·d/(d²)³/²·d? Mejor:
E_y = -K·q/d² (si carga en (0,-d) y campo apunta hacia -y)
V = K·q/d
Dividiendo: E_y/V = -1/d = -180/54 = -10/3 → d = 0.3 m
q = V·d/K = 54·0.3/(9×10⁹) = 1.8×10⁻⁹ C
q=1.8

B) Segunda carga traída con W = -270 nJ:

W = q₂·(V∞ – V_origen) = q₂·(0 – 54) = -270×10⁻⁹
q₂ = 270×10⁻⁹/54 = 5×10⁻⁹ C 2023-Junio-Coincidentes B.3: Dos cargas puntuales de -3 μC y +2 μC están situadas en los puntos (-2, 0) m y (3, 0) m

Datos:

q1 = -3 µC = -3×10⁻⁶ C en (-2,0) m
q2 = +2 µC = 2×10⁻⁶ C en (3,0) m

A) Trabajo para traer q3 = +4 µC desde ∞ a (0,4) m:

V(0,4) = K·[q1/√(2²+4²) + q2/√(3²+4²)] = 9×10⁹·[-3×10⁻⁶/√20 + 2×10⁻⁶/5]
V = 9×10⁹·[-0.6708×10⁻⁶ + 0.4×10⁻⁶] ≈ -2.437×10³ V
W = q3·V = 4×10⁻⁶·(-2.437×10³) ≈ -9.75×10⁻³ J
W≈−9.75×10−

B) Fuerza sobre q3 en (0,4):

E1 = K·q1/r1³·r1 = 9×10⁹·(-3×10⁻⁶)/(√20³)·(-2,4) ≈ (1.206,-2.412)×10³ N/C
E2 = K·q2/r2³·r2 = 9×10⁹·(2×10⁻⁶)/(5³)·(-3,4) ≈ (-0.432,0.576)×10³ N/C
E_total = E1+E2 ≈ (0.774,-1.836)×10³ N/C
F = q3·E_total = 4×10⁻⁶·(0.774,-1.836)×10³ ≈ (3.096,-7.344)×10⁻³ N
F⃗≈(3.10,−7.34)×10−

2023-Junio A.3: Tres cargas -q, -q y +2q se encuentran situadas en los puntos del plano

Datos:

Cargas -q, -q, +2q en (-a,a), (a,a), (0,0)

A) Fuerza sobre carga en (a,a):

F13 = K·(-q)(+2q)/(a√2)³·(a,a) = -2Kq²/(2√2a²)·(1,1) = -Kq²/(√2a²)·(1,1)
F23 = K·(-q)(-q)/(2a)³·(2a,0) = Kq²/(8a³)·(2a,0) = Kq²/(4a²)·(1,0)
F_total = (-Kq²/(√2a²)+Kq²/(4a²), -Kq²/(√2a²))
F_total ≈ (-0.354Kq²/a²+0.25Kq²/a², -0.354Kq²/a²) = (-0.104Kq²/a², -0.354Kq²/a²)

Trabajo para traer -q desde ∞ a (a,a):

V_debido_a_otras = K·[2q/(a√2) + (-q)/(2a)]
W = (-q)·V = -Kq²·[2/√2 – 1/2]/a

B) Flujo a través superficies S1 y S2: S1 contiene +2q → Φ1 = 2q/&épsilon;₀ S2 contiene -q → Φ2 = -q/&épsilon;₀  ΦS1=2q/&épsilon;0, ΦS2=−q/

2023-Modelo A.3: Una corteza esférica hueca de radio 3 cm y centrada en el origen de coordenadas

Datos:

Corteza esférica R=3 cm=0.03 m, σ=2 µC/m², Q=σ·4πR²=2×10⁻⁶·4π·0.03²≈2.26×10⁻⁸ C

A) Campo en (0.01,0.01,0) m: R=√(0.01²+0.01²)≈0.0141 m < 0.03 m → interior → E=0

B) Campo en (2,3,0) m:

r=√(4+9)=√13≈3.606 m > 0.03 m
E=KQ/r²=9×10⁹·2.26×10⁻⁸/(3.606²)≈0.156 N/C
Dirección radial desde origen.

C) Trabajo para mover q’=1 nC desde (0,2,0) a (3,0,0):

Ambos puntos exteriores: r1=2 m, r2=3 m
W=q’·(V1-V2)=q’·KQ·(1/r1-1/r2)
W=10⁻⁹·9×10⁹·2.26×10⁻⁸·(1/2-1/3)≈3.39×10⁻⁸ J

2022-Julio-Coincidentes A.3: Dos partículas puntuales de cargas q1 = 5 µC y q2 = -3 µC se encuentran

Datos:

q1=5 µC=5×10⁻⁶ C en (0,0)
q2=-3 µC=-3×10⁻⁶ C en (4,0) m

A) Campo en (4,3) m:

r1=√(4²+3²)=5 m, r2=√(0²+3²)=3 m
E1=Kq1/r1³·(4,3)=9×10⁹·5×10⁻⁶/125·(4,3)=(1.44,1.08)×10³ N/C
E2=Kq2/r2³·(0,3)=9×10⁹·(-3×10⁻⁶)/27·(0,3)=(0,-3)×10³ N/C
E_total≈(1.44,-1.92)×10³ N/C

B) Trabajo para electrón desde (4,3) a (2,0):

V(4,3)=K[q1/5+q2/3]=9×10⁹[5×10⁻⁶/5+(-3×10⁻⁶)/3]=0 V
V(2,0)=K[q1/2+q2/2]=9×10⁹[5×10⁻⁶/2+(-3×10⁻⁶)/2]=9×10³ V
W=(-e)·(V(4,3)-V(2,0))=-1.6×10⁻¹⁹·(0-9×10³)=1.44×10⁻¹⁵ J

2022-Julio A.3: Dos cargas puntuales Q1 = 2 nC y Q2 = -4 nC se encuentran

Datos:

Q1=2 nC=2×10⁻⁹ C en (1,0) m
Q2=-4 nC=-4×10⁻⁹ C en (3,0) m

A) Campo en (2,1) m:

r1=(1,1), |r1|=√2≈1.414 m
r2=(-1,1), |r2|=√2≈1.414 m
E1=KQ1/|r1|³·r1=9×10⁹·2×10⁻⁹/(1.414³)·(1,1)≈(6.36,6.36) N/C
E2=KQ2/|r2|³·r2=9×10⁹·(-4×10⁻⁹)/(1.414³)·(-1,1)≈(12.72,-12.72) N/C
E_total≈(19.08,-6.36) N/C
E⃗≈(19.1,−6.36) N

B) Punto en eje x (x V(x)=K[Q1/|x-1|+Q2/|x-3|]=0 2/|x-1|=4/|x-3| Para x

2022-Junio B.3: Una carga puntual positiva está situada en el punto (3, 4) m del plano xy

Datos:
Carga +q en (3,4) m
Segunda carga +4q en algún sitio
E_total=0 en origen

a) Posición segunda carga:
E1 en origen=Kq/5³·(-3,-4)
E2 en origen=K·4q/r2³·(-x,-y) donde (x,y) posición segunda carga
Para anular: (Kq/125)(-3,-4)+(4Kq/r2³)(-x,-y)=(0,0)
(-3/125,-4/125)+(4/r2³)(-x,-y)=(0,0)
4x/r2³=3/125, 4y/r2³=4/125 → x/y=3/4
Además r2²=x²+y²
Resolviendo: x=6, y=8 pero debe estar opuesta a (3,4) respecto origen → (-6,-8) m

b) Si V(origen)=1.08×10⁴ V, hallar q:
V=K[q/5+4q/10]=9×10⁹·q·(0.2+0.4)=5.4×10⁹·q=1.08×10⁴
q=2×10⁻⁶ C
2021-Junio-Coincidentes A.3:  En los vértices de un cuadrado de lado 2 m y centrado en el origen

Datos:
Cuatro cargas en vértices de cuadrado lado 2 m centrado en origen
Supongamos: +q en (1,1) y (-1,-1), -q en (1,-1) y (-1,1)

A) Campo en centro (0,0): Por simetría, cada par de cargas opuestas produce campos que se cancelan → E_total = 0

b) Electrón lanzado desde centro con v=3×10⁴ ĵ m/s al punto medio lado superior (0,1):
Por simetría, V_centro = V_(0,1) = 0 (todas cargas a igual distancia)
Conservación energía: ½m(v_f² – v₀²) = -e·(V_f – V₀) = 0 → v_f = v₀
vf = 3 x 10⁴ m/s
vf=3×104 m/s
2021-Junio A.3: Una carga puntual de 2 µC se encuentra situada en el origen de coordenadas

Datos:
Carga q=2 µC=2×10⁻⁶ C en origen

A) Flujo a través superficie esférica radio 5 mm=0.005 m: Φ = Q_int/&épsilon;₀ = 2×10⁻⁶/(8.85×10⁻¹²) ≈ 2.26×10⁵ N·m²/C

B) Campo a 5 mm de la carga: E = Kq/r² = 9×10⁹·2×10⁻⁶/(0.005²) = 7.2×10⁸ N/C

2021-Modelo A.3: Dos cargas puntuales iguales de 5 nC se encuentran en el plano (x, y)

Datos:
q1=q2=5 nC=5×10⁻⁹ C en (0,3) y (0,-3) m

a) Campo en (4,0) m:
r1 = √(4²+3²)=5 m, r2 = √(4²+3²)=5 m
Por simetría, solo componente x:
E_x = 2·K·q·4/r³ = 2·9×10⁹·5×10⁻⁹·4/125 = 2.88 N/C

b) Velocidad partícula m=3 g=0.003 kg, q’=3 mC=3×10⁻³ C desde origen a (4,0):
V_origen = 2·K·q/3 = 2·9×10⁹·5×10⁻⁹/3 = 30 V
V_(4,0) = 2·K·q/5 = 2·9×10⁹·5×10⁻⁹/5 = 18 V
Conservación energía: ½·0.003·v₀² + 3×10⁻³·30 = ½·0.003·v_f² + 3×10⁻³·18
Con v₀=2 m/s: 0.006 + 0.09 = 0.0015v_f² + 0.054
0.042 = 0.0015v_f² → v_f = √(28) ≈ 5.29 m/s

2020-Septiembre A.3: Dos cargas eléctricas puntuales A y B de valores qA = +5 nC y qB = -5 nC

Datos:
qA=+5 nC en (-4,0) cm=(-0.04,0) m
qB=-5 nC en (4,0) cm=(0.04,0) m

A) Potencial y campo en origen:

Por simetría, V=0
E_A = K·5×10⁻⁹/(0.04²) hacia +x (repulsión) = 2.81×10⁴ N/C
E_B = K·(-5×10⁻⁹)/(0.04²) hacia +x (atracción) = 2.81×10⁴ N/C
E_total = 5.62×10⁴ N/C en +x,  V = 0

b) En (0,3) cm=(0,0.03) m:
r = √(0.04²+0.03²)=0.05 m
V = K[5×10⁻⁹/0.05 + (-5×10⁻⁹)/0.05] = 0
Por simetría, E vertical:
E_y = 2·K·5×10⁻⁹·0.03/(0.05³) = 2.16×10⁴ N/C hacia -y   V = 0
E⃗=(0,−2.16×104) N/C, V=0

2020-Julio-Coincidentes B.3: Dos cargas puntuales de valores q1 = 3 nC y q2 = -5 nC

Datos:
q1=3 nC=3×10⁻⁹ C en (0,6) m
q2=-5 nC=-5×10⁻⁹ C en (8,6) m

a) Campo en origen:
r1 = √(0²+6²)=6 m, r2 = √(8²+6²)=10 m
E1 = K·3×10⁻⁹/6³·(0,-6) = (0,-0.75×10³) N/C
E2 = K·(-5×10⁻⁹)/10³·(-8,-6) = (0.36×10³,0.27×10³) N/C
E_total = (360,-480) N/C

b) Trabajo para electrón desde origen a (4,3):
V_origen = K[3×10⁻⁹/6 + (-5×10⁻⁹)/10] = 9×10⁹(0.5-0.5)×10⁻⁹ = 0
V_(4,3) = K[3×10⁻⁹/5 + (-5×10⁻⁹)/5] = 9×10⁹(-0.4×10⁻⁹) = -3.6 V
W = (-e)·(0-(-3.6)) = -1.6×10⁻¹⁹·3.6 = -5.76×10⁻¹⁹ J
W=−5.76×10−

2020-Julio B.3: Se tienen cuatro cargas cuyo valor absoluto es |q| = 1·10-6 C

Datos:
Cuadrado lado a=30 cm=0.3 m
+q en (0,0) y (a,a)
-q en (0,a) y (a,0)
|q|=1 µC=10⁻⁶ C

a) Fuerza sobre +q en (a,a):
F1 desde +q en (0,0): r=(-a,-a), |r|=a√2
F1 = Kq²/(a√2)³·(-a,-a) = -Kq²/(2√2a²)·(1,1)
F2 desde -q en (0,a): r=(-a,0), |r|=a
F2 = K(-q)q/a³·(-a,0) = Kq²/a²·(1,0)
F3 desde -q en (a,0): r=(0,-a), |r|=a
F3 = K(-q)q/a³·(0,-a) = Kq²/a²·(0,1)
F_total = [Kq²/a²(1-1/(2√2)), Kq²/a²(1-1/(2√2))]
Con valores: Kq²/a² = 9×10⁹·10⁻¹²/0.09 = 0.1
F_total ≈ (0.06464,0.06464) N

b) Energía potencial carga en (0,0):
U = Kq[-q/a + q/(a√2) – q/a] = Kq²[-2/a + 1/(a√2)]
U = 9×10⁹·10⁻¹²[-2/0.3 + 1/(0.3√2)] ≈ -3.878×10⁻² J

2020-Modelo B.3: Dos cargas puntuales de +10 nC y -10 nC se encuentran situadas

Datos:
q1=+10 nC en (0,-6) µm=(0,-6×10⁻⁶) m
q2=-10 nC en (0,6) µm=(0,6×10⁻⁶) m

a) Campo y potencial en (8,0) µm=(8×10⁻⁶,0) m:
r = √(8²+6²)=10 µm=10⁻⁵ m
Por simetría, campo vertical:
E_y = 2·K·10⁻⁸·6×10⁻⁶/(10⁻⁵)³ = 2·9×10⁹·10⁻⁸·6×10⁻⁶/10⁻¹⁵ = 1.08×10⁹ N/C
V = K[10⁻⁸/10⁻⁵ + (-10⁻⁸)/10⁻⁵] = 0

b) Trabajo para q’=5 nC desde (8,0) µm a (8,6) µm:
V_i = 0
V_f: r1_f=√(8²+12²)=14.42 µm, r2_f=√(8²+0²)=8 µm
V_f = 9×10⁹[10⁻⁸/(1.442×10⁻⁵) + (-10⁻⁸)/(0.8×10⁻⁵)] ≈ -5.0×10⁶ V
W = q'(V_i-V_f) = 5×10⁻⁹·(0-(-5×10⁶)) = 2.5×10⁻² J

2019-Julio-Coincidentes B.3: En una superficie esférica de radio R = 1 m se encuentra uniformemente

Datos:
Esfera radio R=1 m, carga Q=+3 C uniforme en superficie

A) Potencial y campo en r=2R=2 m: E = KQ/r² = 9×10⁹·3/4 = 6.75×10⁹ N/C V = KQ/r = 9×10⁹·3/2 = 1.35×10¹⁰ V

B) En centro: E = 0 (interior conductor) V = KQ/R = 9×10⁹·3 = 2.7×10¹⁰ V

2019-Julio A.3: Una carga q1 = 10 µC está situada en el origen de coordenadas

Datos:
q1=10 µC=10⁻⁵ C en (0,0)
q2=20 µC=2×10⁻⁵ C en (3,0) m

a) Punto con E=0 en eje x entre cargas:
K·10⁻⁵/x² = K·2×10⁻⁵/(3-x)²
(3-x)² = 2x² → 3-x = √2·x → x = 3/(1+√2) ≈ 1.243 m

b) Trabajo para electrón desde (3,4) a (2,0):
V(3,4)=K[10⁻⁵/5 + 2×10⁻⁵/4] = 9×10⁹(2+5)×10⁻⁶ = 6.3×10⁴ V
V(2,0)=K[10⁻⁵/2 + 2×10⁻⁵/1] = 9×10⁹(5+20)×10⁻⁶ = 2.25×10⁵ V
W=(-e)·(6.3×10⁴-2.25×10⁵) = 1.6×10⁻¹⁹·1.62×10⁵ = 2.592×10⁻¹⁴ J
W=2.59×10−1

2019-Junio-Coincidentes A.3: Dos partículas iguales de carga Q = -3 nC se encuentran fijas

Datos:
Dos cargas Q=-3 nC en (0,3) y (0,-3) m

a) Campo en (4,0) m:
r=√(4²+3²)=5 m
Por simetría, solo componente x:
E_x=2·K·3×10⁻⁹·4/125 = 2·9×10⁹·3×10⁻⁹·0.032 = 1.728 N/C
E⃗=(1.728,0) 

b) Velocidad partícula q=2 nC, m=10 g=0.01 kg desde (4,0) a origen:
V(4,0)=2·K·(-3×10⁻⁹)/5 = -1.08×10⁴ V
V(0,0)=2·K·(-3×10⁻⁹)/3 = -1.8×10⁴ V
½·0.01·v² = 2×10⁻⁹·[-1.08×10⁴ – (-1.8×10⁴)] = 1.44×10⁻⁵
v=√(2.88×10⁻³)≈0.0537 m/s
v≈0.052019-Junio B.3: Dos cargas puntuales, con valores q1 = -4 nC y q2 = +2 nC respectivamente

Datos:
q1=-4 nC en (-5,0) cm=(-0.05,0) m
q2=+2 nC en (3,0) cm=(0.03,0) m

a) Campo y potencial en origen:
E1=K·(-4×10⁻⁹)/(0.05²) hacia derecha (atracción)= -1.44×10⁴ N/C (en x)
E2=K·2×10⁻⁹/(0.03²) hacia izquierda (repulsión)= 2×10⁴ N/C (en x)
E_total=(-1.44+2)×10⁴=0.56×10⁴ N/C en +x
V=K[-4×10⁻⁹/0.05 + 2×10⁻⁹/0.03]=9×10⁹(-0.8+0.6667)×10⁻⁷≈-120 V
E E⃗=(5.6×103,0) N/C, V≈−120 V=(5.6×10³, 0) N/C,

b) Punto entre cargas con V=0:
Entre -5 y 3 cm: -4/(x+5) + 2/(3-x)=0
4/(x+5)=2/(3-x) → 4(3-x)=2(x+5) → 12-4x=2x+10 → 2=6x → x=0.333 cm

2018-Julio A.3: Dos cargas eléctricas, positivas e iguales, situadas en los puntos

Datos:
Dos cargas iguales positivas en (2,2) y (-2,-2) m
Campo en (1,1) es E=5×10³ N/C

a) Valor cargas y campo en (-1,-1):
Distancia de (1,1) a (2,2): r=√[(1)²+(1)²]=√2 m
E_de_una_carga = Kq/r²
Componente en dirección (1,1): E = 2·(Kq/(√2)²)·cos45° = 2·(Kq/2)·(√2/2) = Kq/√2
5×10³ = 9×10⁹·q/1.414 → q ≈ 7.86×10⁻⁷ C
En (-1,-1) por simetría mismo módulo: E=5×10³ N/C dirección hacia (1,1)

b) Trabajo para traer q’=2 µC desde ∞ a (-1,-1):
V(-1,-1)=2·Kq/√2 = 2·9×10⁹·7.86×10⁻⁷/1.414 ≈ 1.0×10⁴ V
W=q’·V=2×10⁻⁶·1.0×10⁴=2.0×10⁻² J

2018-Junio-Coincidentes A.3: Dos cargas Q1= -4 nC y Q2= 4 nC están situadas en los puntos

Datos:
Q1=-4 nC en (3,4) m
Q2=+4 nC en (-3,4) m

a) Campo en origen:
r1=√(3²+4²)=5 m, r2=√(3²+4²)=5 m
E1=K·(-4×10⁻⁹)/125·(-3,-4)=(0.0864,0.1152) N/C
E2=K·4×10⁻⁹/125·(3,-4)=(0.0864,-0.1152) N/C
E_total=(0.1728,0) N/C

B) Potencial en origen: V=K[(-4×10⁻⁹)/5 + 4×10⁻⁹/5]=0

2018-Junio B.3: Considéresé una carga q1 = 6 μC, situada en el origen de coordenada

Datos:
q1=6 µC=6×10⁻⁶ C en origen
q2=10 µC=10⁻⁵ C

a) Trabajo para llevar q2 desde ∞ a x=10 m:
V_en_x=10 = Kq1/10 = 9×10⁹·6×10⁻⁶/10 = 5.4×10³ V
W=q2·V=10⁻⁵·5.4×10³=5.4×10⁻² J
b) Punto entre cargas donde q estaría en equilibrio:
K·6×10⁻⁶/x² = K·10⁻⁵/(10-x)²
6/x² = 10/(10-x)² → (10-x)² = (10/6)x²
10-x = (√(10/6))x → x=10/(1+√(10/6))≈5.86 m