Ecuación de Bernoulli y Fundamentos de la Dinámica de Fluidos
1. La Ecuación de Bernoulli
Es una de las ecuaciones que con más frecuencia se utiliza en aplicaciones de flujo de fluidos.
1.1. Derivación de la Ecuación de Bernoulli
La derivación de esta importante ecuación empieza con la aplicación de la Segunda Ley de Newton a una partícula de fluido.
La expresión original (representando la aplicación de la Segunda Ley de Newton a lo largo de una línea de corriente) es:
???????????? –(???? + ???????? ???????? ????????) ???????? − ???????? ???????? ???????? ???????????????? = ???? ???????? ???????? ????s
Donde se definen los siguientes términos:
???????? = ???? ???????? /???????? + ???????? /????????????ℎ = ???????? ???????????????????????? ???????????????? = ????ℎ /???????????? ???????? /???????? = ???? (????²/2)s
1.2. Forma Resultante de la Ecuación de Bernoulli
La ecuación resultante de Bernoulli es:
???? /???????? (????²/2 + ???? / ???? + ????ℎ) = 0
Esta se satisface a lo largo de la línea de corriente, donde la suma de las cabezas es constante:
????²/2 + ???? / ???? + ????ℎ = Constante
Donde la constante puede tomar un valor diferente en una línea de corriente distinta. Entre dos puntos en la misma línea de corriente, la ecuación se expresa como:
????₁²/2 + ????₁ / ???? + ????ℎ₁ = ????₂²/2 + ????₂ / ???? + ????ℎ₂
1.3. Interpretación de Términos
Dividiendo toda la ecuación por la gravedad (g), se obtiene la forma de cabezas (alturas):
????₁²/ (2g) + ????₁ / (????g) + ℎ₁ = ????₂²/ (2g) + ????₂ / (????g) + ℎ₂
Definiciones clave:
- A la suma
????₁ / (????g) + ℎ₁se le denomina altura piezométrica. - La presión
Pen la ecuación se considera presión estática. - La suma
???? + ???? (????²/2) = ????_totalse le denomina presión total o presión de estancamiento. - La presión estática en un tubo se puede medir con un piezómetro.
2. Leyes Fundamentales de la Mecánica de Fluidos
2.1. Conservación de la Masa
La tasa de cambio de la masa dentro de un sistema es cero:
???? /???????? ∫_VC ρ dV = 0
2.2. Primera Ley de la Termodinámica (Conservación de la Energía)
La velocidad de transferencia de calor a un sistema menos la velocidad con la que el sistema realiza trabajo es igual a la velocidad con la que cambia la energía del sistema.
Q̇ − Ẇ = d/dt ∫_sistema E ρ dV
(Notación original: ???? − ???? = ????/ ???????? INT ???? ???? ????????l)
2.3. Segunda Ley de Newton (Conservación del Momento Lineal)
La fuerza resultante que actúa en un sistema es igual a la velocidad con la que cambia la cantidad de movimiento del sistema.
∑F = d/dt ∫_sistema V ρ dV
(Notación original: SUM???? = ???? /???????? INT ???? ???? ????????l)
2.4. Ecuación de Momento de Cantidad de Movimiento Angular
El momento resultante que actúa en un sistema es igual a la velocidad con que cambia la cantidad de movimiento angular del sistema.
∑M_A = d/dt ∫_sistema (r x V) ρ dV
(Notación original: SUMAT???? = ???? /???????? INT ???? ???????? ????????l)
3. Transformación de un Sistema a Volumen de Control
En cada una de las leyes básicas, la cantidad integral es una propiedad extensiva del sistema.
3.1. Propiedades Extensivas e Intensivas
- Propiedad Extensiva (N): Denota esta propiedad extensiva del sistema. Se representa como
N_sistema. - Propiedad Intensiva (η): Se incluye el término
η(eta) como la propiedad intensiva (propiedad por unidad de masa).
La propiedad extensiva del sistema se relaciona con la propiedad intensiva mediante:
N_SISTEMA = ∫_VC η ρ dV
En Mecánica de Fluidos, nos interesa la velocidad de cambio de la propiedad extensiva del sistema, representada por dN_SISTEMA / dt.
3.2. Flujo y Superficie de Control
Un flujo es una medida de la velocidad con la que una propiedad extensiva cruza un área. Por ejemplo, un flujo de masa es la velocidad con la cual una masa atraviesa un área.
Volumen de Control (VC) y Superficie de Control (SC)
- Volumen de Control (VC): Es el espacio donde se concentra el interés del estudio, en el cual entra el fluido y desde el cual sale.
- Superficie de Control (SC): Es el área de la superficie que encierra por completo al volumen de control.
El flujo de la propiedad extensiva a través de la superficie de control se representa mediante:
Flujo = ∫_SC η ρ (V ⋅ n̂) dA
(Notación original: ???????????????? ???? ???????????????????????? ???????? ???????? = ɳ ???? ň ???? ????A)
3.3. Teorema de Transporte de Reynolds (TTR)
El Teorema de Transporte de Reynolds es una transformación Lagrangiana a Euleriana de la velocidad de cambio de una cantidad integral extensiva.
El TTR relaciona la tasa de cambio de una propiedad extensiva en el sistema con la tasa de cambio dentro del volumen de control y el flujo a través de la superficie de control:
dN_SISTEMA / dt = d/dt ∫_VC η ρ dV + ∫_SC η ρ (V ⋅ n̂) dA
Donde:
- La primera integral representa la velocidad de cambio de la propiedad extensiva en el volumen de control.
- La segunda representa el flujo de la propiedad extensiva a través de la superficie de control.
(Notación original: ????????????????????????/ ???????? = ???? /???????? INT ɳ ???? ???????????????? + INT ɳ ???? ň ???? ????�A)
4. Aplicación del TTR a la Conservación de la Masa
Un sistema es un conjunto dado de partículas de fluido; por consiguiente, su masa permanece fija: dM_SISTEMA / dt = 0.
4.1. Ecuación de Continuidad
Considerando el Teorema de Transporte de Reynolds, la ecuación de conservación de la masa (donde N=M y η=1) se convierte en:
0 = d/dt ∫_VC ρ dV + ∫_SC ρ (V ⋅ n̂) dA
Si el flujo es continuo (estacionario, d/dt = 0), el resultado es:
0 = ∫_SC ρ (V ⋅ n̂) dA
4.2. Flujo Uniforme (Una Entrada y Una Salida)
Para un flujo uniforme con una entrada (1) y una salida (2), la ecuación de continuidad adopta la forma:
ρ₂ A₂ V₂ = ρ₁ A₁ V₁
Donde (V ⋅ n̂)₁ = -V₁ y (V ⋅ n̂)₂ = V₂.
Si la densidad es constante (flujo incompresible):
A₂ V₂ = A₁ V₁
4.3. Definiciones de Flujo
- Flujo de Masa (ṁ):
ṁ = ∫_SC ρ (V ⋅ n̂) dA - Flujo de Volumen (Q):
Q = ∫_SC (V ⋅ n̂) dA