Lugares Geométricos en el Plano
Circunferencia de Centro C y Radio r
Es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al centro C es r: d(P,C) = r.
Mediatriz del Segmento AB
Es el lugar geométrico de los puntos P que equidistan de A y B: d(P,A) = d(P,B).
Rectas Bisectrices
Es el lugar geométrico de los puntos P que equidistan de dos rectas, r y s: d(P,r) = d(P,s).
Las Mediatrices de un Triángulo
Son las mediatrices de cada uno de sus lados. Se cortan en el circuncentro del triángulo, por lo cual este equidista de sus vértices.
Circuncentro
Es el centro de la circunferencia circunscrita.
Alturas de un Triángulo
Son las líneas perpendiculares a cada uno de los lados que pasan por el vértice opuesto.
Ortocentro
Es el punto de intersección de las alturas.
Las Medianas de un Triángulo
Son las rectas que pasan por cada vértice y por el punto medio del lado opuesto.
Baricentro
Es el punto de intersección de las medianas. El baricentro de un triángulo coincide con su centro de gravedad, por eso se suele nombrar con la letra G.
Las Bisectrices de un Triángulo
Son las bisectrices de cada uno de sus ángulos.
Incentro
Es el punto de intersección de las bisectrices. De este modo, por estar en las tres bisectrices, equidista de los tres lados del triángulo. El incentro es el centro de la circunferencia tangente a los tres lados del triángulo: la circunferencia inscrita.
Arco que Abarca el Ángulo
Es el arco comprendido entre sus extremos.
Ángulo Central
Es aquel cuyo vértice es el centro de la circunferencia. La medida del ángulo central BAC^ es la misma que la medida del arco que abarca, BC^.
Ángulo Inscrito
Es aquel cuyo vértice se encuentra en la circunferencia.
La medida del ángulo inscrito es la mitad que la del arco que abarca y que su correspondiente ángulo central. Por lo que todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales.
Arco Capaz de Ángulo a sobre un Segmento AB
Es el lugar geométrico de los puntos P, tal que el ángulo APB^ es a.
Cónicas
Son curvas obtenidas al cortar con un plano un cono de doble hoja. Reciben este nombre la elipse, la parábola, la hipérbola y la circunferencia. Además de la circunferencia, las cónicas se pueden definir como lugares geométricos.
– Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos P, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, F y F’, llamados focos, es constante.
d(P,F) + d(P,F’) = K
– Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos P, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, F y F’, llamados focos, es constante.
|d(P,F) – d(P,F’)| = K
– Parábola
Es el lugar geométrico de los puntos P, cuyas distancias a un punto fijo, F, llamado foco, y a una recta, d, denominada directriz, son iguales.
d(P,F) = D(P,d)
Posiciones Relativas entre Rectas y Circunferencias
– Exteriores
Si d(C,s) > r, si la distancia entre el centro de la circunferencia y una recta es mayor que el radio de la recta.
– Tangentes
Si d(C,s) = r, si la distancia entre el centro de la circunferencia y una recta es igual que el radio de la recta.
– Secantes
Si d(C,s) < r, si la distancia entre el centro de la circunferencia y una recta es menor que el radio de la recta.
En caso de una recta y una circunferencia secantes, se verifica la siguiente relación entre la distancia, el radio y la cuerda: r² = d² + (c/2)²
Tangentes a una Circunferencia desde un Punto
Dado un punto P, una circunferencia de centro C y radio r, queremos trazar la tangente a la circunferencia que pase por P:
– P es interior a la circunferencia
d(P,C) < r y no se pueden trazar tangentes.
– P está en la circunferencia
d(P,C) = r y hay una única recta tangente a la circunferencia que pasa por P.
– P es exterior a la circunferencia
d(P,C) > r y hay dos rectas tangentes a la circunferencia que pasan por P.
En el caso de que se trace una recta tangente a una circunferencia por un punto exterior, los segmentos r, t y d verifican esta relación:
d² = r² + t²
Tangentes Comunes a Dos Circunferencias
Si dos circunferencias son interiores, no es posible trazar una recta tangente a ambas.
Casos en los que es posible:
– Las dos circunferencias son secantes
Distancia entre los centros es menor que la suma de los radios.
– Las dos circunferencias son tangentes
Distancia entre los centros es igual que la suma de los radios.
En estos dos casos hay dos rectas tangentes exteriores comunes.
Las distancias t y t’ son iguales y como t’ es un cateto de un triángulo se cumple que d² = (r – r’)² + t²
– Las dos circunferencias son exteriores
Distancia entre los centros es mayor que la suma de los radios.
Hay dos rectas tangentes exteriores comunes y otras dos interiores comunes.
En ambos casos t = t’, por tanto, se obtienen dos ecuaciones:
– Exteriores:
d² = (r – r’)² + t²
– Interiores:
d² = (r + r)² + t²