Fundamentos del Cálculo Diferencial

1. Derivada e Interpretación

Dada una función f: A ⊂ ℝ → ℝ, se dice que es derivable en el punto x₀ ∈ A si existe y es finito el límite siguiente:

lim _{x → x₀} (f(x) – f(x₀)) / (x – x₀) = lim _{h→ 0} (f(x₀ + h) – f(x₀)) / h

La derivada de una función f en un punto x₀ es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

La ecuación de la recta tangente a la función f en el punto (x₀, f(x₀)) es: y = f(x₀) + f'(x₀) (x – x₀)

Recta secante

Recta tangente en el punto

2. Demostración: Derivabilidad Implica Continuidad

Sea f: A ⊂ ℝ → ℝ. Si f es derivable en x₀, entonces f es continua en x₀.

Por ser f derivable en x₀, existe:

lim _{x → x₀} (f(x) – f(x₀)) / (x – x₀) = f'(x₀) ∈ ℝ

Entonces:

lim _{x → x₀} f(x) – f(x₀) = lim _{x → x₀} [(f(x) – f(x₀)) / (x – x₀)] * (x – x₀) = f'(x₀) * lim _{x → x₀} (x – x₀) = 0

Es decir, lim _{x → x₀} f(x) = f(x₀), con lo que queda demostrado (c.q.d.)

3. Crecimiento y Decrecimiento de Funciones y su Relación con la Derivada

Sea f: (a, b) ⊂ ℝ → ℝ, una función continua y derivable en (a, b), entonces:

• f'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b) ⇔ f(x) es creciente en ese intervalo (a, b)
• f'(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a, b) ⇔ f(x) es decreciente en ese intervalo (a, b)
• f'(x) > 0 ∀ x ∈ (a, b)  f(x) es estrictamente creciente en ese intervalo (a, b)
• f'(x) < 0 ∀ x ∈ (a, b)  f(x) es estrictamente decreciente en ese intervalo (a, b)

Las dos últimas condiciones son suficientes, no necesarias.

Del teorema anterior se deduce que si f’ es continua entonces:

• f'(x) > 0  f es estrictamente creciente en x₀
• f'(x) < 0  f es estrictamente decreciente en x₀

4. Definición de Máximo y Mínimo Local

Sea f: A ⊂ ℝ → ℝ y x₀ ∈ A

• Se dice que f tiene un máximo local en x₀ si ∃ r > 0 / f(x) ≤ f(x₀) ∀ x ∈ (x₀ – r, x₀ + r) ∩ A
• Se dice que f tiene un mínimo local en x₀ si ∃ r > 0 / f(x) ≥ f(x₀) ∀ x ∈ (x₀ – r, x₀ + r) ∩ A

El óptimo (máximo o mínimo) se llama global si la correspondiente desigualdad es cierta ∀ x ∈ A.

El óptimo (local o global) es estricto si la desigualdad es estricta.

5. Teorema de Rolle

Sea f: [a,b] ⊂ ℝ → ℝ una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f(a) = f(b), existe por lo menos un c ∈ (a,b) tal que f'(c) = 0.

Teorema del Valor Medio

Sea f: [a,b] ⊂ ℝ → ℝ una función continua en [a,b] y derivable en (a,b) entonces existe por lo menos un c ∈ (a,b) tal que:

f'(c) = (f(b) – f(a)) / (b – a)

Concepto de Diferencial de una Función en un Punto

Si f es derivable en x₀, llamaremos diferencial de f en x₀ a la aplicación lineal:

Df(x₀): ℝ → ℝ

h → Df(x₀)(h) = f'(x₀) h

Sea la función F: ℝ → ℝ y un punto x₀ ∈ ℝ. Demostrar que, si F es derivable en x₀ y la función F tiene un óptimo local en x₀, entonces necesariamente F'(x₀) = 0.

Supongamos que f tiene un mínimo local en x₀, entonces f(x) ≥ f(x₀) en las proximidades de x₀. Dado que f es derivable en x₀ existe

f'(x₀) = lim _{x → x₀} (f(x) – f(x₀)) / (x – x₀)

Si x < x₀ entonces

f'(x₀)^– = lim _{x → x₀^–} (f(x) – f(x₀)) / (x – x₀) ≤ 0

Si x > x₀ entonces

f'(x₀)⁺ = lim _{x → x₀⁺} (f(x) – f(x₀)) / (x – x₀) ≥ 0

Como f es derivable en x₀, los límites laterales deben coincidir y por lo tanto f'(x₀) = 0.

De la misma manera se hace la demostración para el caso de un máximo local c.q.d.

Sea F: A ⊂ ℝ → ℝ continua en A y x₀ un punto interior de A. Definición de punto de inflexión.

Se dice que x₀ es un punto de inflexión si en dicho punto f pasa de ser estrictamente cóncava a ser estrictamente convexa o viceversa.

Teorema 1. Sea f: A ⊂ ℝ → ℝ, con A un conjunto abierto, x₀ ∈ A y f de clase 2 en un intervalo centrado en x₀. Una condición necesaria para que x₀ sea un punto de inflexión es que f»(x₀) = 0.

Teorema 2. Sea f: A ⊂ ℝ → ℝ, con A un conjunto abierto, x₀ ∈ A y f de clase n en A. Si f»(x₀) = …= f^(n-1)(x₀) = 0 y fⁿ(x₀) ≠ 0, entonces n impar  x₀ es punto de inflexión de f.

Funciones Reales de Varias Variables Reales: Límites y Continuidad

Definición Función Escalar

Una función real de n variables reales (también llamada función escalar) es cualquier aplicación:

f: ℝⁿ → ℝ

x = (x₁, …, x_n) → f(x₁, …, x_n)

Definición Función Vectorial

Una función vectorial de ℝⁿ en ℝ^m es toda aplicación:

f: A ⊂ ℝⁿ → ℝ^m

x → y = f(x)

Siendo x = (x₁, …, x_n) ∈ A ⊂ ℝⁿ, y = (y₁, …, y_m) ∈ ℝ^m

Definición Dominio

Se denomina dominio de la función f al conjunto: Dom(f) = { x ∈ ℝⁿ / ∃ f(x)}

Definición Conjunto Imagen

Se denomina conjunto imagen de la función f al conjunto: Im(f) = { y ∈ ℝ^m / y = f(x), para algún x ∈ Dom(f)}

Concepto de Curva de Nivel

Dada una función f: A ⊂ ℝⁿ → ℝ y una constante k ∈ ℝ, se define la curva de nivel k de f como el conjunto de todos los puntos que tienen imagen igual a k:

C_k = { x ∈ ℝⁿ / f(x) = k} ∀ k ∈ ℝ

Definición de Función Continua en un Punto

Una función f: A ⊂ ℝⁿ → ℝ es continua en un punto a ∈ A’ ⊂ A si y solo si:

lim _{x → a} f(x) = f(a)

Es decir, si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que x ∈ A, si || x – a || < δ  | f(x) – f(a) | < ε

Diferenciación de Funciones de Varias Variables Reales

Concepto de Derivada Direccional de una Función Real de N Variables en un Punto

Sea f: G ⊂ ℝⁿ → ℝ y e ∈ ℝⁿ / ||e|| = 1. Diremos que f es derivable en x₀ ∈ G siguiendo la dirección del vector e si existe el límite:

lim _t→0 (f(x₀ + te) – f(x₀)) / t

Si este límite existe se llamará la derivada de f en x₀ según la dirección del vector e y lo denotaremos por D_ef(x₀).

Derivada Parcial: Si e = e_i, D_ef(x₀) = D_if(x₀) y se llama la derivada parcial i – ésima de f en x₀.

D_i f (x₀) = lim _t→0 (f (x₀ + t e_i) – f(x₀)) / t = lim _t→0 (f (x₀₁, …, x₀_i + t, …, x₀_n) – f (x₀₁, …, x₀_i, …, x₀_n)) / t

Concepto de Vector Gradiente de una Función

Sea f: G ⊂ ℝⁿ → ℝ tal que f admite derivadas parciales en x₀ ∈ G. Llamamos vector gradiente de f en x₀ al vector:

∇ f(x₀) = (D₁ f(x₀), D₂ f(x₀), …, D_n f(x₀))

Concepto de Función Diferenciable en un Punto

Sea f: G ⊂ ℝⁿ → ℝ siendo G un conjunto abierto, f es diferenciable en x₀ ∈ G si y solo si existe ∇ f(x₀) y además:

lim _x→x₀ | f(x) – f(x₀) – <∇ f (x₀), (x – x₀)> | / || x – x₀ || = 0

Concepto de Diferencial de una Función de Varias Variables en un Punto

Sea f: G ⊂ ℝⁿ → ℝ siendo G un conjunto abierto tal que f es diferenciable en x₀ ∈ G, se llama diferencial de f en x₀ a la aplicación lineal de ℝⁿ en ℝ cuya matriz asociada es el ∇ f(x₀); es decir:

Df (x₀): ℝⁿ → ℝ

h = x – x₀ → Df (x₀) (h) = <∇ f (x₀), h>

Relación entre Diferenciabilidad, Continuidad y Existencia de Derivadas Parciales

• Si f es diferenciable  f es continua

  Sea f: A ⊂ ℝ → ℝ, si f es derivable en x₀  f es continua en x₀

  Por ser f derivable en x₀ existe:

  lim _{x → x₀} (f(x) – f(x₀)) / (x – x₀) = f'(x₀) ∈ ℝ. Entonces:

  lim _{x → x₀} f(x) – f(x₀) = lim _{x → x₀} [(f(x) – f(x₀)) / (x – x₀)] * (x – x₀) = f'(x₀) * lim _{x → x₀} (x – x₀) = 0

  Es decir, lim _{x → x₀} f(x) = f(x₀), con lo que queda demostrado

• Si f es diferenciable  existen las derivadas parciales.

  Si e = e_i, D_e f (x₀) = D_i f (x₀) y se llama derivada parcial i-ésima de f en x₀

  D_i f (x₀) = lim _t→0 (f (x₀ + t e_i) – f(x₀)) / t = lim _t→0 (f (x₀₁, ….., x₀_i + t, ……, x₀_n) – f (x₀₁, ….., x₀_i, ……, x₀_n)) / t

• Entre la continuidad y las derivadas parciales no existe ninguna relación.