Cuentas Corrientes

En primer lugar, revisamos si hay comisión de apertura o de corretaje, pues se anotan al principio de la tabla.

Pasos para el cálculo:

1. Revisar que la fecha de vencimiento esté en orden cronológico (ej. 2 de febrero, 25 de febrero, 3 de marzo).
2. Se suman las cantidades y se colocan en la columna de Saldos. Nota: si hay límite, colocaremos los números en la columna de excedidos.
3. Se multiplica la cantidad de cada celda de Saldos por los días (en la misma línea) y se anota en las columnas de Números Comerciales.
4. Se obtiene un sumatorio de Números Comerciales y también de las columnas de Cantidades.
5. Cálculo de Intereses: Teniendo los saldos deudores, acreedores y de excedidos (si no es así, buscarlos y obtenerlos), se calcula el divisor.

Cálculo del Divisor y el Interés

El divisor se calcula como: $360 / \text{Tipo de Interés}$ (ejemplo: si el saldo deudor es 0.05, el divisor deudor sería $360 / 0.05 = 7200$).

El Interés es igual al sumatorio de la columna deudora de Números Comerciales entre el Divisor Deudor.

$$\text{Interés Deudor} = \frac{\sum \text{Nº Comercial Deudor}}{\text{Divisor Deudor}}$$

Se realizan los mismos pasos con el saldo acreedor y excedidos con sus correspondientes datos.

Comisiones Adicionales

Una vez obtenidos el interés deudor, acreedor y excedido (si lo hay), se colocan debajo de estas celdas (las cuales estaban en la columna de Cantidades) la comisión de Excesos y la de Disponibilidad, si las hubiera.

• Comisión de Excesos: Se multiplica el porcentaje dado de comisión de excedidos por el mayor Saldo Excedido (el número más grande de excedidos en la columna de Saldos).
• Comisión de Disponibilidad:
  1. Hallar el Saldo Medio Dispuesto (SMD): $$\text{SMD} = \frac{\sum \text{Nº Comercial}}{\sum \text{Nº Días}}$$
  2. Hallar el Saldo Medio No Dispuesto (SMND): $$\text{SMND} = \text{Límite de Crédito} – \text{SMD}$$
  3. El resultado del SMND se multiplica por el porcentaje de la comisión de Disponibilidad para obtener el dato.

Letras del Tesoro

Se emiten Letras del Tesoro con vencimiento a $X$ días (normalmente menos de 365) y se reciben ofertas No Competitivas y Competitivas.

1. Las ofertas No Competitivas (NC) entran siempre en subasta.
2. A continuación, entran las Competitivas en orden ascendente de mayor valor de su porcentaje.

Se decide emitir letras por un importe que se cubre sumando las NC más las Competitivas hasta llegar a dicho importe.

Ejemplo: Si se necesitan 850 millones y de NC hay 150, se necesitan 700 de oferta competitiva. Estas se añaden en orden: 125 mill de 95.75%, 200 mill de 95.25%, 170 mill de 95%, y 205 (de 220 solo se coge lo necesario para que la suma dé 850 sin sobrepasarse) de 94.5%.

El Precio Mínimo en este caso sería 94.5% (el último valor que se ha cogido).

El Precio Medio Ponderado (PMP) sería la suma de todas las cantidades Competitivas ponderadas (ej. $125 \times 95.75\% + 200 \times 95.25\% \dots$) dividido entre la suma del tramo Competitivo ($850 – \text{NC} = 700$).

Cálculo del Tipo de Interés

Para hallar el tipo de interés se aplica la fórmula de Interés Simple:

$$i = \left( \frac{N – P}{P} \right) \times \left( \frac{360}{t} \right) \times 100$$

Rentas (Anualidades)

• Prepagables: Ingreso al principio del periodo.
• Postpagables: Ingreso al final del periodo.

Generalmente, los planes de ahorro y pensiones se consideran prepagables.

Fórmulas para hallar el Valor Inicial ($V_0$)

Postpagable:

$$V_0 = C \cdot \left[ \frac{1 – (1 + i)^{-n}}{i} \right]$$

Prepagable:

$$V_0 = C \cdot \left[ \frac{1 – (1 + i)^{-n}}{i} \right] \cdot (1+ i)$$

Fórmulas para hallar el Valor Final ($V_N$)

Postpagable:

$$V_N = C \cdot \left[ \frac{(1 + i)^{n} – 1}{i} \right]$$

Prepagable:

$$V_N = C \cdot \left[ \frac{(1 + i)^{n} – 1}{i} \right] \cdot (1+ i)$$

Partiendo de conocer el valor inicial o el final, es posible hallar el otro: $V_N = V_0 (1+i)^n$.

Ejercicios de Rentas

Ejercicio 1: Depósitos Mensuales

Depósitos de 100€ el primer día de cada mes. Tipo de interés efectivo anual $I = 0.03$.

1. Conversión de Tasa Anual a Mensual ($i_{12}$): $$i_{12} = (1 + 0.03)^{(1/12)} – 1 = 0.002466$$
2. Número de Cuotas: 15 años $\times$ 12 meses = 180 cuotas.
3. Valor Final (Renta Prepagable): $$V_N = 100 \cdot \left[ \frac{(1+ 0.002466)^{180} – 1}{0.002466} \right] \cdot (1 + 0.002466) = 22,679$$

Ejercicio 10: Interés Semestral

Interés anual pagadero por semestres del 8%.

1. Tasa Semestral ($i_2$): $$i_2 = 0.08 / 2 = 0.04$$
2. Tasa Mensual ($i_{12}$): $$i_{12} = (1 + 0.04)^{(1/6)} – 1 = 0.0065581$$
3. Cálculo de Valor: $$V_{1/7/07} = [5000 (1 + 0.00655)^{25}] + [750 \cdot \left( \frac{(1 + 0.00655)^{19} – 1}{0.00655} \right) \cdot (1+0.00655)^{6}]$$

Rentas Variables

Son aquellas que van creciendo con el tiempo.

Progresión Geométrica

Donde $q$ es la razón de crecimiento (ej. si crece un 2%, $q = 1.02$).

• Postpagables: $a_s = a \cdot q^{s-1}$
• Prepagables: $a_s = a \cdot q^{s}$

Caso 1: Cuando $q \neq 1 + i$

Valor Inicial ($V_0$):

$$V_0 = a \cdot \left[ \frac{1 – (1 + i)^{-N} \cdot q^{N}}{1+i-q} \right]$$

Valor Final ($V_N$):

$$V_N = a \cdot \left[ \frac{(1+ i)^{N} – q^{N}}{1+ i – q} \right]$$

Nota: Mismas fórmulas para Prepagables, añadiendo el factor $(1 + i)$.

Caso 2: Cuando $q = 1 + i$

Postpagables:

$$V_0 = a \cdot (1+ i)^{-N} \cdot n$$

$$V_N = a \cdot (1+i)^{N-1} \cdot n$$

Prepagables:

$$V_0 = a \cdot n$$

$$V_N = a \cdot n \cdot (1+i)^{N}$$

Progresión Aritmética

Donde $d$ es el valor fijo de crecimiento.

Postpagable ($V_0$):

$$V_0 = \left[ \left( C + \frac{d}{i} \right) \cdot a_{\overline{n}|i} – \frac{d \cdot n}{i} \right]$$

Nota: Para Prepagable, se añade el factor $(1+i)$.

Valor Final ($V_N$):

$$V_N = \left[ \left( C + \frac{d}{i} \right) \cdot s_{\overline{n}|i} – \frac{d \cdot n}{i} \right]$$

Nota: Para Prepagable, se añade el factor $(1+i)$.

Rentas Variables en Progresión Geométrica Fraccionadas

Se agrega el valor de corrección a la fórmula correspondiente aplicada: $\left( \frac{i}{j_m} \right)$.

• Si $a$ está en meses y $q$ en años $\rightarrow a \times 12$.
• Si $a$ está en años y $q$ en trimestres $\rightarrow a / 4$.

Ejercicio 13 (Ejemplo Fraccionado)

$I = 4.5\%$, $a= 500$, $q= 2\% \rightarrow 1.02$, $n = 5$ años. $A$ en meses y $Q$ en años.

1. $a$ ajustada: $a \times 12 = 500 \times 12 = 6000$.
2. Tasa mensual ($i_m$): $$i_m = (1+0.045)^{(1/12)} – 1 = 0.00367$$
3. Tasa nominal ($j_m$): $$j_m = i_m \times 12 = 0.00367 \times 12 = 0.04409$$
4. Cálculo de $V_0$ (Prepagable): $$V_0 = \left[ (500 \times 12) \cdot \left( \frac{1- (1 +0.045)^{-5} \cdot (1.02)^{5}}{1 – 0.045 + 1.02} \right) \cdot (1 + 0.00367) \cdot \left( \frac{0.045}{0.04409} \right) \right] \cdot (1 + i)^{-6/12} = 27,419$$

Préstamos

Método Francés (Cuota Constante)

La cuota periódica ($a$) se calcula como:

$$a = P \cdot \left[ \frac{i}{1 – (1+ i)^{-N}} \right]$$

Donde $P$ es el capital inicial.

• Capital Vivo ($C_s$): $$C_s = a \cdot \left[ \frac{1 – (1+ i)^{-(N-s)}}{i} \right]$$
• Intereses ($I_s$): $$I_s = C_{s-1} \cdot i$$
• Amortización ($A_s$): $$A_s = a – I_s$$
• Capital Amortizado ($M_s$): $M_s = A_1 + A_2 + \dots + A_s$.

Para obtener los Capitales Vivos (además de hallarlos mediante fórmula) restamos siempre: $C_s = C_0 – M_s$.

Ejercicios con Euríbor

Datos iniciales: $C_0 = 20,000$. $N = 4$ años $\times 2 = 8$ semestres.

Nota: Siempre se suma el porcentaje del Euríbor más los puntos (ptos) para obtener la tasa nominal $j_m$ (en este caso, $j_2$).

Año 1 (Semestres 1 y 2)

Euríbor (1) $4.75\% + 0.5$ pts $= 5.25\% \rightarrow j_2$.

Tasa semestral ($i_2$): $$i_2 = 0.0525 / 2 = 0.02625$$

Cálculo de la cuota ($a$): $$a = \frac{20000}{1 – (1+ 0.02625)^{-8} / 0.02625} = 2,804.23$$

Año 2 (Semestres 3 y 4)

Euríbor (2) $5\% + 0.5$ pts $= 5.5\% \rightarrow j_2$.

Tasa semestral ($i_2$): $$i_2 = 0.055 / 2 = 0.0275$$

Paso crucial: Calcular siempre el Capital Vivo ($C_s$) antes de la siguiente cuota, ya que sin $C_s$ no se puede calcular la nueva $a$.

Calculamos el $C_s$ (Capital Vivo al final del Año 1, es decir, después de 2 pagos) con la tasa anterior ($i_2 = 0.02625$), pero ajustando el exponente al número de pagos restantes ($N-s = 8-2=6$).

$$C_2 = 2,804.23 \cdot \left[ \frac{1- (1+ 0.02625)^{-6}}{0.02625} \right] = 15,381.70$$

Ahora calculamos la nueva cuota ($a$) con el valor de $C_2$ obtenido y con la nueva tasa ($i_2 = 0.0275$) y los pagos restantes ($n=6$).

$$a_{\text{nueva}} = \frac{15,381.70}{1 – (1+0.0275)^{-6} / 0.0275} = 2,815.94$$

Y así sucesivamente para los años siguientes.

Tabla de Conversión de Tipos de Interés

• Tanto Efectivo Anual ($i$) a Tasa Periódica ($i_m$): $$i_m = (1 + i )^{(1/m)} – 1$$
• Tanto Nominal Pagadero ($j_m$) a Tasa Periódica ($i_m$): $$i_m = j_m / m$$
• Tanto Nominal Pagadero ($j_m$) a Tasa Efectiva Anual ($i$):
  1. $i_m = j_m / m$
  2. $i = (1 + i_m)^m – 1$