Introducción a las Magnitudes y Funciones

Llamamos magnitud a todo aquello que se puede medir. Como con cada medida varía el valor de la magnitud, se le suele llamar variable. Muchas veces podemos establecer relaciones entre magnitudes, y a esas relaciones matemáticas se les llama función.

Una función es una relación entre dos variables a las que llamamos x (variable independiente) e y = f(x) (variable dependiente).

Los valores de la y dependen de los valores de la x, de modo que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

Decimos y = f(x) porque y está en función de x.

Formas de Expresar una Función

Podemos expresar una función de diferentes formas:

1. Con un enunciado.
2. Con una tabla de valores.
3. Con una gráfica.
4. Con una expresión matemática.

1. El Enunciado

Un enunciado es una expresión en forma de texto y nos puede servir para expresar una función:

Ejemplo: La aportación energética del jamón es de 335 kcal por cada 100 g.

2. La Tabla de Valores

Una tabla de valores es una representación de pares de valores de las variables de la función (x, y).

3. La Gráfica

A partir de la tabla de valores, podemos representar esos datos en una gráfica, en un sistema de coordenadas cartesianas, donde la variable independiente x irá en el eje X (eje de abscisas), y la variable dependiente y va en el eje Y (eje de ordenadas).

4. La Expresión Matemática

Con una expresión algebraica podemos relacionar las dos variables de una función numéricamente. Así, dado cualquier valor de la variable independiente, podemos hallar el valor de la variable dependiente.

Dominio de una Función

El dominio de una función Y = f(x) se expresa Dom(f), y está formado por todos los valores en que la función está definida. Es decir, es el conjunto de todos los valores de la variable independiente x que tienen imagen.

Para expresar el dominio de una función tenemos que saber expresar conjuntos de números o partes de la recta, lo que se llaman intervalos. Gráficamente, si los extremos del intervalo pertenecen al conjunto que estamos expresando, pondremos un punto relleno, y si no pertenecen, un punto hueco. Para expresarlo con paréntesis y corchetes, si el extremo pertenece al intervalo pondremos un corchete, y si no, un paréntesis.

Comportamiento de las Funciones: Monotonía y Extremos

Función Creciente y Decreciente

Una función y = f(x) es creciente en un intervalo cuando, al aumentar la variable independiente x en ese intervalo, aumenta la variable dependiente y.

Una función y = f(x) es decreciente cuando, al aumentar la variable independiente x en ese intervalo, disminuye la variable dependiente y.

Máximos y Mínimos Relativos

Una función y = f(x) tiene un máximo relativo en un punto cuando la ordenada en ese punto es mayor que la ordenada de los puntos que la rodean. A la izquierda del máximo, la función es creciente, y a la derecha del máximo, la función es decreciente.

Una función y = f(x) tiene un mínimo relativo en un punto cuando la ordenada en ese punto es menor que la ordenada en los puntos que la rodean. A la izquierda del mínimo, la función es decreciente, y a la derecha del mínimo, la función es creciente.

Funciones Lineales y Afines

Función Lineal (Proporcionalidad Directa)

Una función lineal, también llamada de Proporcionalidad Directa (PD), es aquella que tiene como expresión algebraica y = f(x) = mx, donde m ≠ 0 es un factor llamado coeficiente (o pendiente).

Estas funciones lineales tienen las siguientes características:

• Su representación gráfica es una recta oblicua que pasa por el origen de coordenadas (0, 0).
• Si m es positiva (m > 0), la recta es creciente y pasa del 3º al 1º cuadrante.
• Si m es negativa (m < 0), la recta es decreciente y pasa del 2º al 4º cuadrante.

Funciones Afines

Las funciones afines tienen como expresión algebraica y = f(x) = mx + n, donde m ≠ 0 es el coeficiente (pendiente) y n el término independiente (u ordenada en el origen).

Las funciones afines tienen las siguientes características:

• Su representación gráfica es una recta oblicua que pasa por el punto P(0, n) del eje de coordenadas, siendo n la ordenada en el origen.
• Si el coeficiente m es positivo (m > 0), la recta es creciente y se orienta desde el 3º al 1º cuadrante.
• Si el coeficiente m es negativo (m < 0), la recta es decreciente y se orienta desde el 2º al 4º cuadrante.

Ecuaciones de la Recta

Ecuación Punto-Pendiente

Una recta queda perfectamente definida si conocemos su pendiente m y las coordenadas de uno de sus puntos P₁ (x₁, y₁). Con esos datos, si los llevamos a la fórmula de la pendiente y las coordenadas de un punto cualquiera desconocido (x, y), obtenemos:

$$m = \frac{y – y_1}{x – x_1} \rightarrow m(x – x_1) = y – y_1$$

La Ecuación de la recta en su forma Punto-Pendiente es:

$$y – y_1 = m (x – x_1)$$

Ecuación Explícita de la Recta

La ecuación explícita de la recta se expresa como y = mx + n, ya conocida, donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen. Para calcular la ecuación explícita basta con despejar y en la ecuación de la recta.

Ejemplo de paso de Punto-Pendiente a Explícita:

$$y – 1 = 2(x – 1) \rightarrow y – 1 = 2x – 2 \rightarrow y = 2x – 2 + 1 \rightarrow y = 2x – 1$$

Ecuación General de la Recta

Si en cualquiera de las expresiones anteriores pasamos todos los términos al primer miembro, tendremos la expresión Ax + By + C = 0, que es la ecuación general de la recta, donde A, B y C son coeficientes.

Funciones Cuadráticas y la Parábola

Definición y Gráfica

Las funciones de segundo grado son aquellas que se expresan mediante la fórmula y = f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son coeficientes numéricos y a ≠ 0. Su gráfica es una curva cónica llamada parábola. Esta curva es, por ejemplo, la trayectoria que sigue una pelota en el lanzamiento de baloncesto.

Características de la Parábola

• El coeficiente a determina la apertura de la parábola; cuanto mayor valor absoluto tenga a, menor será la apertura.
• Si a es positivo (a > 0), los brazos apuntan hacia arriba, y la parábola tiene un mínimo.
• Si a es negativo (a < 0), los brazos apuntan hacia abajo, y la parábola tiene un máximo.
• Al máximo o al mínimo se le denomina vértice. La coordenada x del vértice viene dada por la fórmula: $$x_v = \frac{-b}{2a}$$
• Para calcular la ordenada y del vértice, sustituiremos la coordenada de la x calculada en la ecuación general.
• Toda parábola tiene un eje de simetría vertical que pasa por su vértice.

Casos Particulares de la Parábola

Podemos tener 3 casos principales:

1. Si b y c son 0: Y = ax². El vértice de la parábola está en el origen de coordenadas (0, 0).
2. Si b = 0: y = ax² + c. El vértice de la parábola está en el punto V(0, c), donde c es el término independiente de la ecuación.
3. Si c = 0: La fórmula de la parábola es y = ax² + bx. Pasa por el origen (0, 0) y tiene el vértice fuera de los ejes de coordenadas.