Derivadas y Diferenciabilidad

Definición

Sean f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p y a ∈ C.

Se llama derivada de f en a respecto de un vector u ∈ R^p, u ≠ 0, al valor lim_λ→0 (f (a + λu) − f (a)) / λ si este límite existe.

Se denota f ′(a), D [f (a)] o ∂f (a) / ∂u.

Si ||u|| = 1, se dice que D_u [f (a)] es la derivada direccional de f en a en la dirección del vector u.

Si {e₁,…,e_p} es la base canónica de R^p, se dice que D_ei [f (a)] es la derivada parcial i-ésima de f en a.

Suele denotarse como ∂f (a) / ∂x_i, siendo x_i la coordenada i-ésima de x = (x₁,…,x_p) ∈ C.

Función Derivada Respecto de un Vector

Si f : C → R^q definida en un abierto C ⊆ R^p es derivable respecto de un vector u ≠ 0 en todos los puntos de C, se llama función derivada de f respecto de u a la función:

D_u(f): C → R^q
x → D_uf(x)

La relación entre la derivada de una función respecto de un vector y la derivada direccional se deduce de la siguiente:

Propiedad

Sea f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p que admite derivada D_uf(a) en a ∈ C respecto de u ≠ 0. Se cumple: D_ρu f (a) = ρ D_u f (a) para cada ρ ∈ R no nulo.

Algunas Propiedades

Sea f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p, a ∈ C, u ∈ R^p, u ≠ 0.

• Si las funciones componentes de f son (f₁,…,f_q), entonces: f es derivable en a respecto de u si y solo si lo es f_i para cada i = 1,…,q. En ese caso, las coordenadas del vector D_u f (a) son (D_uf₁(a),…,D_uf_q(a)).
• Si φ es la función φ : λ → f (a + λu) definida en un entorno de 0, entonces, si existen, φ′(0) = D_u f (a).

Funciones de Clase C^r

Sea f : C → R^q una función definida en C ⊆ R^p abierto.

Definición

Se dice que f es de clase C^r en C si f tiene todas sus derivadas parciales de orden r en C, y estas son continuas en todo punto a de C.

Las funciones de clase C² son muy importantes. Permiten asegurar la igualdad de las derivadas parciales cruzadas, es decir, que para ellas es cierto en cada a ∈ C que:

∂²f (a) / ∂x_i ∂x_j = ∂²f (a) / ∂x_j ∂x_i para cada i, j.

De hecho existen varios resultados que aseguran esta consecuencia en condiciones menos exigentes.

Igualdad de las Derivadas Parciales Cruzadas

Sea f : C → R^q una función definida en C ⊆ R^p abierto y a ∈ C.

Función Diferenciable

Definición de Función Diferenciable

Sea f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p y sea a ∈ C. Se dice que f es diferenciable en a cuando se cumple una de las condiciones siguientes (que son equivalentes):

• Existe una aplicación lineal, denominada diferencial de f en a y que denotaremos df(a) : R^p → R^q, de modo que se cumple:
• Existe una aplicación lineal df (a) : R^p → R^q y una función (definida en un entorno del origen para el cual a + h ∈ C) tipo h → ε(h) tal que:

Conceptos Asociados

Sea f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p y sea a ∈ C.

Si f es diferenciable en a, la matriz q × p asociada a la aplicación lineal df (a) : R^p → R^q en las bases canónicas se llama matriz jacobiana de f en a y se denota por J_f (a).

Si f : C → R^q es diferenciable en todos los puntos de un abierto C ⊆ R^p, se dice que f es diferenciable en C. En este caso, se llama diferencial de f a la función df: C → L(R^p,R^q) donde L(R^p,R^q) es el espacio vectorial de las aplicaciones lineales de R^p en R^q.

Primeras Propiedades de la Diferenciabilidad

Sea f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p y sea a ∈ C.

• Si existe la diferencial de f en a, entonces es única.
• Si las funciones componentes de f son (f₁, . . . , f_q), entonces f es diferenciable en a si y solo si lo es f_i, para i = 1,…,q. En ese caso, las componentes de la diferencial de f en a son (df₁(a), . . . , df_q(a)).

Propiedades Aritméticas de la Diferenciabilidad

Sean f , g : C → R^q funciones definidas en un conjunto C ⊆ R^p y sea a ∈ C. Si f y g son diferenciables en a, entonces:

• Las funciones f + g y λf (λ∈R) también son diferenciables en a, y se cumple:
  • d(f + g)(a) = df (a) + dg(a)
  • d(λf)(a) = λdf(a)
• Si f y g toman valores reales (q = 1), las funciones producto fg y cociente f / g (cuando g(x) ≠ 0 en un entorno de a) también son diferenciables en a, y se cumple:
  • d(fg)(a) = g(a) df (a) + f (a) dg(a)
  • 

Relación con la Derivación

Proposición

Sea f : C → R^q una función definida en un conjunto C ⊆ R^p y sea a ∈ C. Si f es diferenciable en a, entonces D_u f (a) existe para todo u ∈ R^p, u ≠ 0 y:

D_u f (a) = df (a)(u)

Relación con la Jacobiana

De acuerdo con el resultado anterior podemos calcular la matriz asociada a la aplicación lineal df (a), dado que si {e₁,…,e_p} es la base canónica de R^p, la columna i-ésima de la matriz jacobiana será:

Expresión de la Diferencial

El elemento ij de la matriz jacobiana de f en a es la derivada parcial ∂f_i (a) / ∂x_j para i = 1,…,q, j = 1,…,p (recordemos: las f_i son las funciones componentes de f). Así podemos expresar:

Relación entre Diferenciación y Derivación

Hemos visto que una función diferenciable en un punto debe tener todas sus derivadas según vectores en ese punto. Sin embargo, el recíproco no es cierto: una función puede ser derivable en a respecto de cualquier vector no nulo u ∈ R^p sin ser diferenciable en a.

Relación con la Continuidad

Teorema

Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a.

Demostración

Por ser la función f diferenciable en a existe df (a) : R^p → R^q, aplicación lineal tal que:

Entonces:

y como df (a)(0) = 0 concluimos que lím_x→a f (x) = f (a) que supone que f es continua en a.

El Recíproco No Es Cierto

La continuidad de f no es condición suficiente para que f sea diferenciable, como podemos apreciar en el siguiente ejemplo.

Funciones Diferenciables con Valores Reales

Sea f : C → R una función real definida en un conjunto C ⊆ R^p, diferenciable en a ∈ C.

Definición

Se llama gradiente de f en a, ∇f (a), al vector de R^p que tiene por componentes las derivadas parciales de f en a:

Funciones Notables que Son Diferenciables

Teorema

Sea f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p. Si f es de clase C¹ en a ∈ C, entonces f es diferenciable en a.

Nota: Sin embargo, hay funciones diferenciables en a que no son de clase C¹ en a.

Derivabilidad/Diferenciabilidad de la Función Compuesta

Sean f : C → R^q, g : D → R^r funciones definidas en abiertos C ⊆ R^p y D ⊆ R^q con f(C) ⊆ D.

Proposición (Regla de la Cadena)

Si f es diferenciable en x, y g es diferenciable en y = f(x), entonces gˆf es diferenciable en x, y se cumple:

Diferenciales de Orden 2

Sea f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p y sea a ∈ C.

Definición

Si f es de clase C² en a, se llama diferencial segunda de f en a a la aplicación (cuadrática):

donde h = (h₁,…,h_p).

La matriz asociada a la forma cuadrática d²f (a) en la base canónica de R^p (Nota: el original dice R², corregido a R^p asumiendo contexto) se llama matriz hessiana de f en a y se denota por H_f (a). El elemento ij de la matriz hessiana es:

Diferenciales de Orden Superior

Sea f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p y sea a ∈ C.

Definición

Si f es de clase C^r en a, se llama diferencial de orden r de f en a a la aplicación:

Funciones Homogéneas

Definición

Sea f : C → R una función real definida en un abierto C ⊆ R^p. Se dice que f es homogénea de grado α ≠ 0 en C si para cada x ∈ C y cada t > 0 con t x ∈ C se verifica f(tx) = t^α f(x).