Clase 12
Filtros de microondas
Todos lo que hemos discutido anteriormente funciona a frecuencias bajas pero no es fácilmente escalable a frecuencia altas, en primer lugar porque los elementos de parámetros concentrados deben ser sustituidos por elementos de parámetros distribuidos y en segundo lugar porque hay una distancia entre los componentes que debe tomarse en cuenta.
Estos problemas se abordarán por medio de las transformaciones de Richards y las identidades de Kuroda
Transformación de Richards
la transformación
mapea el plano 
al plano 
, el cual se repite con un período 
Esta transformación fue introducida por P. Richards para sintetizar redes LC utilizando líneas en cortocircuito o en circuito abierto. De esta manera se puede escribir la reactancia de un inductor como
Y la subceptancia de un capacitor como
Las expresiones anteriores indican que un inductor se puede representar como una línea en cortocircuito y un capacitor como una línea en circuito abierto, y las L y C toman el lugar de las respectivas impedancias carácterísticas.
Frecuencia de corte
Con respecto a los prototipo estudiados, la frecuencia de corte ocurría cuando 
. Sustituyendo este valor en la transformación de Richards queda
Esto quiere decir que la longitud del stub en el corte es 
a la frecuencia de corte 
Debe tenerse cuidado que a frecuencias alejadas de la frecuencia de corte el comportamiento de estos componentes no es similar al de sus contrapartes de parámetros concentrados debido a las funciones trascendentes involucradas, por lo que su respuesta difiere de la de los prototipos estudiados anteriormente. Más aún, la respuesta es periódica en frecuencia, repitiéndose cada 
.
Ya que la longitud eléctrica de todos los stubs es la misma (
) se les llama comúnmente líneas conmensuradas.
Identidades de Kuroda
Las cuatro identidades de Kuroda usan secciones de líneas de transmisión redundantes para lograr una implementación más práctica de filtros de microondas por medio de las siguientes operaciones:
Separar físicamente los stubs de línea de transmisión
Transformar stubs en serie en otros en paralelo o viceversa
Cambiar valores imprácticos de impedancias carácterísticas en otras más realizables.
Las secciones de línea de transmisión adicionales se les llama elementos unitarios y tienen una longitud de l/8 a la frecuencia wc; por lo tanto estos elementos son también conmensurados con los stubs utilizados para implementar los inductores y condensadores de los diseños prototipo.
Las cuatro identidades de Kuroda se muestran en la Tabla de la lámina siguiente, donde cada caja representa un elemento unitario, o línea de transmisión, con la impedancia carácterística indicada y una longitud de l/8 a wc. Los inductores y condensadores representan stubs en cortocircuito o circuito abierto respectivamente.
A continuación, Pozar demuestra la primera de estas identidades comparando las matrices ABCD de ambas estructuras y demostrando que son iguales
Demostración de la primera identidad
Para la demostración recordaremos que el capacitor en paralelo es equivalente a una línea en circuito abierto y la bobina serie a una línea en cortocircuito, lo cual puede representarse por el siguiente circuito:
La matriz ABCD de una línea de transmisión de longitud l con impedancia carácterística Z1 vale:
Donde como ya hemos dicho 
. El stub de circuito abierto tiene una impedancia de 
de manera que la matriz ABCD del circuito total obtenida de la multiplicación de ambas matrices vale:
Por otra parte, el stub serie del circuito de la derecha tiene una impedancia de 
de manera que la matriz ABCD de la combinación vale:
Entonces, si se escoge 
ambas expresiones resultan idénticas
El uso de estas transformaciones se ilustra por medio de un ejemplo, en este caso el ejemplo 8.5 de la página 419
Ejemplo de cálculo
Se desea diseñar un filtro pasabajos para ser fabricado utilizando microlineas. Las especificaciones incluyen una frecuencia de corte de 4 GHz, una impedancia de 50 W y una respuesta de tercer orden con un rizado de 3 dB en la banda pasante.
De la tabla 8.4, para un rizado de 3dB se obtienen los siguientes elementos para el prototipo normalizado pasa bajos:
De manera que g1=3,3487=L1, g2=0,7117=C2, g3=3,3487=L3 y g4=1,0000=RL
El próximo paso es convertir los inductores serie en stubs serie y los capacitores
en paralelo, en stubs en paralelo utilizando la transformación de Richards
Como los stubs serie son muy difíciles de implementar en microlineas utilizaremos una de las identidades de Kuroda para convertirlo en un stub en paralelo. Previamente agregaremos elementos unitarios a ambos lados del filtro. Estos elementos redundantes no afectan el comportamiento del filtro ya que se hallan acoplados tanto a la fuente como a la carga
El próximo paso es escalar el circuito en frecuencia e impedancia lo que
se reduce a multiplicar las impedancias carácterísticas por 50 W y escoger las longitudes para hacerlas l/8 a las frecuencia de 4 GHz.
El siguiente es el circuito resultante después del escalamiento y debajo de él la implementación en microlineas
En esta lámina se muestra la respuesta de frecuencia del circuito pasa bajos implementado tanto con parámetros distribuidos como con parámetros concentrados a efectos de comparación.
Se pueden usar procedimientos similares para implementar filtros elimina banda pero las identidades de Kuroda no son útiles en el diseño de filtros pasa altos o pasa banda.
Inversores de impedancia y admitancia
Además de las líneas en serie o paralelo ya estudiadas existe otra posibilidad que es la utilización de inversores de impedancia o admitancia. En su forma más sencilla, los mismos se construyen con trozos de líneas de transmisión de longitud l/4, pero también existen otras implementaciones más complejas. Esto a su vez permite la conversión de elementos en serie en otros en paralelo o viceversa.
Filtro pasa bajos de impedancia escalonada
Estos son filtros relativamente fáciles de implementar en microlineas o strip lines y se basan en la utilización alternada de secciones de líneas de transmisión de muy alta y muy baja impedancia. Sin embargo, debido a la aproximaciones empleadas su comportamiento eléctrico no es tan bueno. Su uso está restringido a aplicaciones que no requieren un corte agudo de la banda de rechazo.
Para su estudio veremos primero el equivalente circuital aproximado de secciones cortas de línea de transmisión con impedancia carácterísticas muy altas o muy bajas.
Partiendo de la matriz ABCD para un trozo de línea de transmisión con impedancia carácterística Z0 se pueden hallar los parámetros Z como sigue:
Los elementos serie del circuito T equivalente son: 
En tanto que el elemento
paralelo será Z12. Esto permite llegar a los siguientes circuitos equivalentes:
De esta manera se pueden calcular las longitudes eléctricas de los trozos de línea en función de las inductancias y capacitancias de las secciones del filtro:
En estas expresiones Zh y Zl son respectivamente la impedancia carácterísticas alta y baja de las secciones alternadas y R0 es la impedancia del filtro. El uso se demostrará por medio del siguiente ejemplo
Ejemplo 8.6
Se desea diseñar un filtro pasa bajos de impedancias escalonadas con una respuesta de máximo aplanamiento y una frecuencia de corte de 2,5 GHz. Se desea que la atenuación a 4 GHz sea al menos de 20 dB. La impedancia del filtro es 50 W y por razones de diseño físico del circuito la impedancia más alta es de 120 W en tanto que la más baja es 20 W. Así mismo se considerará el efecto de las pérdidas cuando este filtro se implemente con una microlinea que tiene un sustrato de grosor d=0,158 cm, una 
una 
y el conductor de cobre tiene un grueso de 0,5 mil
Para utilizar la curva de atenuación del filtro de máximo aplanamiento se calcula
De esta manera se pueden calcular las longitudes eléctricas de los trozos de línea en función de las inductancias y capacitancias de las secciones del filtro:
En estas expresiones Zh y Zl son respectivamente la impedancia carácterísticas alta y baja de las secciones alternadas y R0 es la impedancia
del filtro. El uso se demostrará por medio del siguiente ejemplo
Ejemplo 8.6
Se desea diseñar un filtro pasa bajos de impedancias escalonadas con una respuesta de máximo aplanamiento y una frecuencia de corte de 2,5 GHz. Se desea que la atenuación a 4 GHz sea al menos de 20 dB. La impedancia del filtro es 50 W y por razones de diseño físico del circuito la impedancia más alta es de 120 W en tanto que la más baja es 20 W. Así mismo se considerará el efecto de las pérdidas cuando este filtro se implemente con una microlinea que tiene un sustrato de grosor d=0,158 cm, una una y el conductor de cobre tiene un grueso de 0,5 mil
Para utilizar la curva de atenuación del filtro de máximo aplanamiento se calcula
Un valor de N=6 satisface el requerimiento de atenuación a 4,0 GHz. Entonces los valores del prototipo serán: 
g1=0,517=C1
g2=1,414=L2
g3=1,932=C3
g4=1,932=L4
g5=1,414=C5
g6=0,517=L6
A continuación se utilizan las ecuaciones anteriores para reemplazar los inductores serie y los capacitores paralelos con secciones de línea de baja y alta impedancia. Las longitudes de estas líneas junto con los respectivos anchos se muestran en la siguiente tabla y el circuito resultante.
La respuesta del circuito implementado con microlineas de alta y baja impedancia se muestra junto con la respuesta del circuito realizado con parámetros concentrados a efectos de comparación
