Resumen de Procedimientos Clave en Electrostática: Ejercicios Selectividad Madrid

Resumen de Procedimientos Clave en Electrostática (Exámenes Madrid)

Este documento compila los pasos metodológicos esenciales utilizados para resolver problemas comunes de campo eléctrico ($\vec{E}$), potencial eléctrico ($V$) y trabajo eléctrico ($W$) en el contexto de las pruebas de acceso a la universidad de Madrid.

Ejercicio 1: Cálculo de Campo y Potencial en un Punto

Referencia: Madrid 2026 – Modelo

Cálculo de distancias ($r$) entre cada carga y el punto $A(5,4)$ utilizando la fórmula de distancia entre puntos.
Aplicación de la fórmula del módulo del campo eléctrico: $E = K\frac{|q|}{r^2}$ para cada carga.
Determinación de la dirección del vector campo ($\vec{E}$):
- Carga negativa: Campo atractivo (dirigido hacia la carga).
- Carga positiva: Campo repulsivo (dirigido alejándose de la carga).
Descomposición vectorial de cada $\vec{E}$ en componentes $x$ e $y$ mediante trigonometría ($\cos\theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$, $\sin\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$).
Suma de componentes por separado para obtener el campo total: $\vec{E}_{\text{total}} = E_{1x} + E_{2x}, E_{1y} + E_{2y}$.
Cálculo del potencial ($V$): $V = K\frac{q}{r}$ (magnitud escalar) $\rightarrow$ suma algebraica $V_{\text{total}} = V_1 + V_2$.
Cálculo del trabajo: $W = q_0(V_A – V_B) \rightarrow$ requiere calcular $V_A$ y $V_B$ por el principio de superposición.

Ejercicio 2: Equilibrio de Fuerzas y Campo Nulo

Referencia: Madrid 2025 – Junio – Coincidentes

Condición de equilibrio en el eje vertical: $\vec{E}_{\text{total}, y} = 0 \rightarrow E_{1y} = E_{2y}$ (en valor absoluto).
Cálculo de las componentes verticales: $E_{1y} = (K\frac{q_1}{r_1^2})\sin\beta$, $E_{2y} = (K\frac{|q_2|}{r_2^2})\sin\alpha$.
Igualar y despejar $|q_2|$. Se debe considerar el signo de $q_2$ para asegurar que la fuerza sea atractiva y anule la componente $y$.
Cálculo del campo total ($\vec{E}_{\text{total}}$) sumando las componentes $x$: $E_{\text{total}, x} = E_{1x} + E_{2x}$.
Cálculo de la velocidad ($v$) mediante la conservación de la energía: $q_2V_1 = \frac{1}{2}mv^2 + q_2V_2 \rightarrow$ despejar $v$.

Ejercicio 3: Movimiento bajo Campo Eléctrico (Conservación de Energía)

Referencia: Madrid 2025 – Junio

Por simetría en el punto $(8,0)$ nm, los campos horizontales se anulan; solo queda la componente vertical.
Campo vertical: $E_y = 2\cdot(K\frac{e}{r^2})\sin\alpha$ (factor 2 por las dos cargas iguales).
Para la distancia máxima ($r_{\text{max}}$): Aplicar conservación de energía (electrón inicialmente con velocidad $v_0$): $\frac{1}{2}mv_0^2 – K\frac{e^2}{r_0} = -K\frac{e^2}{r_{\text{max}}}$.
Despeje de $r_{\text{max}}$: $r_{\text{max}} = \frac{1}{\frac{mv_0^2}{2K e^2} + \frac{1}{r_0}}$.

Ejercicio 4: Suma de Fuerzas y Energía Potencial Electrostática

Referencia: Madrid 2025 – Modelo

Cálculo de la fuerza total sobre $Q_3$: $\vec{F}_{\text{total}} = \vec{F}_{13} + \vec{F}_{23}$ (suma vectorial).
Fuerza $\vec{F}_{13}$: $F_{13} = K\frac{Q_1Q_3}{r_{13}^2}$. Si $Q_1$ es positiva y $Q_3$ negativa $\rightarrow$ fuerza atractiva (se representa con signo negativo si se considera una dirección).
Fuerza $\vec{F}_{23}$: $F_{23} = K\frac{Q_2Q_3}{r_{23}^2}$. Si ambas son negativas $\rightarrow$ fuerza repulsiva (se representa con signo positivo).
Descomposición de $\vec{F}_{23}$ usando el ángulo (ej. $60^\circ$ si el triángulo es equilátero).
Cálculo de la energía electrostática del sistema: $U = K\left(\frac{Q_1Q_2}{r_{12}} + \frac{Q_1Q_3}{r_{13}} + \frac{Q_2Q_3}{r_{23}}\right) \rightarrow$ suma algebraica de términos.

Ejercicio 5: Campo Eléctrico y Trabajo en Coordenadas

Referencia: Madrid 2024 – Julio

Cálculo de $\vec{E}$ en $(2,2)$: $E_1 = K\frac{q_1}{r_1^2}$, $E_2 = K\frac{q_2}{r_2^2}$.
Descomposición: Para $E_1$ usar ángulo $45^\circ$ ($\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$); para $E_2$ usar $\tan\theta = \frac{2}{4}$.
Punto de equilibrio para un electrón: Condición $E_{\text{total}} = 0$. Si es en línea recta: $\frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(6-x)^2} \rightarrow$ resolver la ecuación racional.
Trabajo para mover una carga $q_0$ desde $P$ hasta el infinito: $W = -q_0V_P$, donde $V_P = K\left[\frac{q_1}{x} + \frac{q_2}{(6-x)}\right]$ (si $V_\infty = 0$).

Ejercicio 6: Simetría en el Campo y Potencial

Referencia: Madrid 2024 – Junio B3

En el origen: Por simetría de cargas opuestas y distancias iguales, $\vec{E} = 0$. El potencial es suma escalar: $V = 2\cdot K\frac{q}{r}$.
En el punto $(0, 3)$ mm: Por simetría, solo componente vertical: $E_y = 2\cdot(K\frac{q}{r^2})\sin\theta$.
Cálculo del seno del ángulo: $\sin\theta = \frac{3}{\sqrt{6^2+3^2}}$.
Potencial $V$: $V = 2\cdot K\frac{q}{r}$ (misma distancia $r$ para ambas cargas).

Ejercicio 7: Potencial, Trabajo y Campo por Simetría

Referencia: Madrid 2024 – Modelo A3

Potencial en $(2,2)$: $V = Kq\left(\frac{1}{\sqrt{8}} + \frac{1}{\sqrt{8}}\right) \rightarrow$ uso de simetría.
Trabajo: $W = Q(V_\infty – V) \rightarrow Q = \frac{W}{-V}$ (si $W$ es positivo, $Q$ debe ser negativo para ir de $V$ a $V_\infty=0$).
Campo en $(2,2)$: Por simetría, solo componente vertical. $E_y = 2\cdot(K\frac{q}{8})\sin 45^\circ$.
Condición para anular con $q_3$: $\vec{E}_3 = -\vec{E}_{\text{total}}$. Módulo: $K\frac{|q_3|}{r^2} = E \rightarrow r = \sqrt{\frac{K|q_3|}{E}}$.

Ejercicio 8: Relación entre Campo y Potencial

Referencia: Madrid 2023 – Julio A3

Relaciones fundamentales: $V = K\frac{q}{r}$ y $E = K\frac{q}{r^2}$ (mismo $q$ y $r$).
Relación útil: $\frac{V}{E} = r \rightarrow$ permite encontrar la distancia $r$.
Despejar $q$ a partir de $V = K\frac{q}{r}$.
Dirección: Si $\vec{E} = -\hat{j}$ (campo hacia abajo), la carga debe estar arriba en el eje $y$. Si $\vec{E}$ sale, la carga es positiva.
Trabajo: $W = q_2(V_\infty – V_0) \rightarrow q_2 = \frac{W}{-V_0}$.

Ejercicio 9: Potencial y Fuerzas en Coordenadas

Referencia: Madrid 2023 – Junio – Coincidentes

Potencial en $(0,4)$: $V = K\left[\frac{q_1}{\sqrt{20}} + \frac{q_2}{5}\right] \rightarrow$ suma algebraica considerando los signos de $q_1$ y $q_2$.
Trabajo: $W = q_3(V_\infty – V) \rightarrow V_\infty = 0$.
Fuerzas sobre $q_3$: $F_1 = K\frac{|q_1|q_3}{r_1^2}$ (atractiva), $F_2 = K\frac{q_2q_3}{r_2^2}$ (repulsiva, si $q_2, q_3$ tienen el mismo signo).
Descomposición usando ángulos: $\alpha = \arctan(\frac{4}{2})$ para $F_1$; $\beta = \arctan(\frac{4}{3})$ para $F_2$.

Ejercicio 10: Campo y Trabajo con Carga Negativa

Referencia: Madrid 2023 – Junio A3

Campo en $(a,a)$: $\vec{E}_1$ generado por $+2q$ en $(0,0)$ (diagonal $\nearrow$); $\vec{E}_2$ generado por $-q$ en $(0,a)$ (vertical $\downarrow$); $\vec{E}_3$ generado por $-q$ en $(a,0)$ (horizontal $\leftarrow$).
Módulo $E_1$: $E_1 = K\frac{2q}{(a\sqrt{2})^2} = K\frac{q}{a^2}$ (dirección radial saliendo).
Módulo $E_2$: $E_2 = K\frac{q}{(a)^2}$ (dirección radial entrando).
Descomposición: $E_1$ a $45^\circ$; $E_2$ vertical; $E_3$ horizontal.
Fuerza sobre $-q$: $\vec{F} = (-q)\vec{E}_{\text{total}}$ (la fuerza es opuesta a la dirección del campo total, ya que la carga es negativa).
Trabajo para traer $-q$ desde el infinito: $W = q_{\text{móvil}}(V_{\text{final}} – V_\infty) = (-q)V_{\text{final}}$ (si $V_\infty = 0$).

Ejercicio 11: Esfera Cargada y Flujo Eléctrico (Gauss)

Referencia: Madrid 2023 – Modelo A3

Teorema de Gauss (Interior de esfera hueca cargada superficialmente): $\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \rightarrow \vec{E} = 0$ en el interior.
Exterior: Se comporta como una carga puntual $Q$ en el centro: $E = K\frac{Q}{r^2}$, donde $Q = \sigma\cdot 4\pi R^2$.
Trabajo: $W = q(V_A – V_B) = qK Q\left(\frac{1}{r_A} – \frac{1}{r_B}\right)$.

Ejercicio 12: Campo y Potencial en Coordenadas (Electrón)

Referencia: Madrid 2022 – Julio – Coincidentes

Campo en $(4,3)$: $r_1 = 5$, $r_2 = 3$. $E_1 = K\frac{q_1}{25}$, $E_2 = K\frac{|q_2|}{9}$.
Descomposición: $E_1$ con ángulo $\alpha = \arctan(\frac{3}{4})$; $E_2$ vertical $\downarrow$ (carga negativa).
Potenciales: $V_A = K\left[\frac{q_1}{5} + \frac{q_2}{3}\right]$, $V_B = K\left[\frac{q_1}{2} + \frac{q_2}{2}\right]$.
Trabajo sobre un electrón ($q = -e$): $W = -e(V_A – V_B)$.

Ejercicio 13: Campo y Potencial Nulo

Referencia: Madrid 2022 – Julio A3

Campo en $(2,1)$: $r_1 = r_2 = \sqrt{2}$. $E_1 = K\frac{Q_1}{2}$, $E_2 = K\frac{|Q_2|}{2}$.
Descomposición: Ambos vectores forman $45^\circ$ con la horizontal.
Condición $V(x)=0$: $K\left[\frac{Q_1}{|x-1|} + \frac{Q_2}{|3-x|}\right] = 0 \rightarrow \frac{Q_1}{|x-1|} = -\frac{Q_2}{|3-x|}$.
Resolver considerando la región donde se encuentra el punto de potencial nulo (ej. $x < 1$, a la izquierda de $Q_1$).

Ejercicio 14: Campo Nulo y Potencial en el Origen

Referencia: Madrid 2022 – Junio B3

Condición $\vec{E}(0,0)=0$: Módulos iguales y direcciones opuestas. $\frac{q}{r_1^2} = \frac{4q}{r_2^2}$.
Si $r_1 = 5$ m, entonces $r_2 = 10$ m.
Posición de $4q$: Debe estar en la misma línea recta que $q$ y el origen, pero en el lado opuesto al origen respecto a $q$.
Potencial en el origen: $V(0,0) = K\left[\frac{q}{5} + \frac{4q}{10}\right] \rightarrow$ despejar $q$.

Ejercicio 15: Conservación de Energía en un Cuadrado

Referencia: Madrid 2021 – Junio – Coincidentes

Centro del cuadrado: Por simetría de cargas, el campo eléctrico $\vec{E}$ es solo vertical.
Cálculo de $V_A$ (centro) sumando los potenciales de las 4 cargas (distancia $r$ constante).
Cálculo de $V_B$ (punto medio lado superior) sumando los potenciales (distancias variables).
Conservación de energía: $\frac{1}{2}mv_0^2 + eV_A = \frac{1}{2}mv^2 + eV_B \rightarrow$ despejar $v$.

Ejercicio 16: Teorema de Gauss y Campo Exterior

Referencia: Madrid 2021 – Junio A3

Teorema de Gauss: El flujo eléctrico $\Phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}$ para cualquier superficie cerrada que contenga la carga.
Para una esfera (exterior): $\Phi = E\cdot 4\pi r^2$ (ya que $E$ es constante y perpendicular a la superficie).
Igualando: $E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \rightarrow E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} = K\frac{Q}{r^2}$.

Ejercicio 17: Simetría y Conservación de Energía

Referencia: Madrid 2021 – Modelo A3

Por simetría en $(4,0)$: $\vec{E}$ solo tiene componente $x$.
Campo $E_x$: $E_x = 2\cdot(K\frac{q}{r^2})\cos\theta$, con $\cos\theta = \frac{4}{5}$ (si la carga está en el origen y el punto es $(4,3)$ o similar).
Conservación de energía: $\frac{1}{2}mv_A^2 + qV_A = \frac{1}{2}mv_B^2 + qV_B$.
Cálculo de $V_A$ y $V_B$ por superposición (aprovechando la simetría).

Ejercicio 18: Simetría en el Origen y Ejes

Referencia: Madrid 2020 – Septiembre A3

En el origen (cargas opuestas en ejes): $\vec{E}$ se duplica (misma dirección), $V = 0$ (mismas distancias, signos opuestos).
En el punto $(0,3)$ cm (cargas opuestas en el eje $y$): $\vec{E}$ solo horizontal, $V = 0$ (mismas distancias, signos opuestos).

Ejercicio 19: Campo y Trabajo en Coordenadas (Electrón)

Referencia: Madrid 2020 – Julio – Coincidentes

Campo en el origen: $\vec{E}_1$ vertical $\downarrow$ (si $q_1$ es negativa); $\vec{E}_2$ con componentes definidas por el ángulo $\arctan(\frac{6}{8})$.
Suma de componentes vectorialmente.
Potenciales: $V_A = K\left[\frac{q_1}{6} + \frac{q_2}{10}\right]$, $V_B = K\left[\frac{q_1}{5} + \frac{q_2}{5}\right]$.
Trabajo sobre un electrón ($q=-e$): $W = -e(V_A – V_B)$.

Ejercicio 20: Campo y Potencial en un Cuadrado

Referencia: Madrid 2020 – Julio B3

Campo en $(a,a)$: $\vec{E}_1$ de $+q(0,0)$ (diagonal $\nearrow$); $\vec{E}_2$ de $-q(0,a)$ (vertical $\downarrow$); $\vec{E}_3$ de $-q(a,0)$ (horizontal $\leftarrow$).
Suma de las tres componentes vectoriales.
Potencial en el origen: $V = K\left[\frac{+q}{a\sqrt{2}} + \frac{-q}{a} + \frac{-q}{a}\right]$ (distancias $\sqrt{2}a, a, a$).

Ejercicio 21: Simetría y Trabajo

Referencia: Madrid 2020 – Modelo B3

Por simetría en $(8,0)$ $\mu$m (cargas opuestas en el eje $x$): $\vec{E}$ solo vertical, $V = 0$ (distancias iguales).
Potencial en $(8,6)$ $\mu$m: Las distancias a cada carga son diferentes $\rightarrow V \neq 0$.
Trabajo: $W = q_3(V_A – V_B) = q_3(0 – V_B) = -q_3V_B$.

Ejercicio 22: Punto de Campo Nulo y Trabajo

Referencia: Madrid 2019 – Julio A3

Punto $\vec{E}=0$ entre cargas: $\frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(3-x)^2}$.
Resolución: $\frac{3-x}{x} = \sqrt{\frac{q_2}{q_1}} = \sqrt{2}$.
Potenciales: $V_A = K\left[\frac{q_1}{5} + \frac{q_2}{4}\right]$, $V_B = K\left[\frac{q_1}{2} + \frac{q_2}{1}\right]$.
Trabajo sobre un electrón ($q=-e$): $W = -e(V_A – V_B)$.

Ejercicio 23: Conservación de Energía y Simetría

Referencia: Madrid 2019 – Junio – Coincidentes

Por simetría en $(4,0)$: $\vec{E}$ solo horizontal $\leftarrow$ (si las cargas son iguales y opuestas en el eje $y$).
Potenciales: $V_A = 2\cdot K\frac{q}{5}$, $V_B = 2\cdot K\frac{q}{3}$ (factor 2 por dos cargas iguales).
Conservación de energía (partiendo del reposo en $A$): $qV_A = \frac{1}{2}mv^2 + qV_B$.
Despeje de $v$: $v = \sqrt{\frac{2q(V_A-V_B)}{m}}$.

Ejercicio 24: Campo y Potencial en el Origen

Referencia: Madrid 2019 – Junio A3

Campo en el origen: $\vec{E}_1$ hacia la izquierda (si $q_1$ negativa atrae); $\vec{E}_2$ hacia la izquierda (si $q_2$ positiva repele desde la derecha). Ambos campos se suman.
Suma de módulos: $E_{\text{total}} = E_1 + E_2$.
Potencial: $V = K\left[\frac{q_1}{0.05} + \frac{q_2}{0.03}\right]$ (usar signos).
Condición $V(x)=0$: $\frac{q_1}{x} + \frac{q_2}{(8-x)} = 0 \rightarrow \frac{q_1}{x} = -\frac{q_2}{(8-x)}$.

Ejercicio 25: Campo y Potencial en Coordenadas (Simetría)

Referencia: Madrid 2018 – Julio A3

Campo en $(1,1)$: Por simetría, los campos son opuestos en una dirección. $E(1,1) = Kq\left[\frac{1}{r_2^2} – \frac{1}{r_1^2}\right]$.
Resolver para $q$.
Campo en $(-1,-1)$: Mismo módulo, dirección simétrica (vector $\hat{i} + \hat{j}$).
Potencial en $(-1,-1)$: $V = Kq\left[\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{3}}\right]$ (distancias calculadas desde las cargas).

Ejercicio 26: Campo y Potencial Nulo por Simetría

Referencia: Madrid 2018 – Junio – Coincidentes

Campo en el origen: $\vec{E}_1$ diagonal $\nearrow$ (carga negativa atrae); $\vec{E}_2$ diagonal $\searrow$ (carga positiva repele).
Las componentes $y$ se anulan por simetría; las componentes $x$ se suman.
Potencial: $V = K\left[\frac{Q_1}{5} + \frac{Q_2}{5}\right] = 0$ (si $Q_1 = -Q_2$).

Ejercicio 27: Trabajo y Punto de Equilibrio

Referencia: Madrid 2018 – Junio B3

Trabajo: $W = q_2(V_\infty – V) = -q_2\cdot K\frac{q_1}{10}$.
Punto de equilibrio: $\frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(10-x)^2}$.
Resolución: $\frac{10-x}{x} = \sqrt{\frac{q_2}{q_1}} = \sqrt{\frac{10}{6}} = \sqrt{\frac{5}{3}}$.