Ejercicios de Gravitación y Mecánica Celeste
Ejercicio 1: Fuerza Resultante sobre Masas Puntuales
En el punto A(2,0) se sitúa una masa de 2 kg y en el punto B(5,0) se coloca otra masa de 4 kg. Calcula la fuerza resultante que actúa sobre una tercera masa de 5 kg cuando se coloca en el origen de coordenadas y cuando se sitúa en el punto C(2,4).
Ejercicio 2: Módulo del Campo Gravitatorio Terrestre
Calcula el módulo del campo gravitatorio terrestre a una distancia de 100 km sobre la superficie de la Tierra.
Datos:
- MT = 5,98 · 1024 kg
- RT = 6370 km
Ejercicio 3: Campo Gravitatorio y Fuerza en Sistemas de Partículas
Una partícula de masa m₁ = 2 kg está situada en el origen de un sistema de referencia y otra partícula de masa m₂ = 4 kg está colocada en el punto A(6,0). Calcula el campo gravitatorio en los puntos de coordenadas B(3,0) y C(3,4) y la fuerza que actúa sobre una partícula de 3 kg de masa situada en el punto C.
Ejercicio 4: Demostración de la Energía Potencial Próxima a la Superficie
Demuestra la validez de la expresión m · g · h para la variación de energía potencial gravitatoria en puntos próximos a la superficie terrestre.
Ejercicio 5: Energía Potencial y Trabajo en el Desplazamiento de Masas
Dos partículas de masas m₁ = 4 kg y m₂ = 0,5 kg que están situadas a una distancia de 20 cm se separan hasta una distancia de 40 cm. Calcula la energía potencial asociada a las dos posiciones relativas y el trabajo realizado durante el proceso.
Ejercicio 6: Intensidad del Campo Gravitatorio a partir de Gráficas
La gráfica adjunta representa la energía potencial gravitatoria asociada a la posición de una masa de 1 kg en puntos próximos a la superficie de un planeta de 5000 km de radio. Determina la intensidad del campo gravitatorio en su superficie.
Ejercicio 7: Potencial Gravitatorio y Trabajo de Transporte
Una partícula de masa m₁ = 2 kg está situada en el origen de un sistema de referencia y otra partícula de masa m₂ = 4 kg está colocada en el punto A(6,0). Calcula el potencial gravitatorio en los puntos de coordenadas B(3,0) y C(3,4). ¿Qué trabajo se realiza al transportar una masa de 5 kg desde el punto B hasta el punto C?
Ejercicio 8: Sistema Tierra-Luna y Punto de Campo Nulo
Considerando a la Tierra y a la Luna aisladas de toda influencia exterior, se desea saber el potencial gravitatorio en el punto en el que se anula el campo gravitatorio.
Datos:
- Masa de la Tierra (MT) = 5,98 · 1024 kg (equivale a 81 veces la de la Luna).
- Distancia Tierra-Luna = 384,000 km.
Ejercicio 9: Energía Mecánica e Impacto de un Meteorito
Un meteorito de 1000 kg de masa se encuentra en reposo a una distancia sobre la superficie de la Tierra de cinco veces el radio terrestre. ¿Cuál es el valor de la energía mecánica asociada al meteorito en esa posición? Justifica el signo obtenido. Prescindiendo de la fricción con el aire, calcula la velocidad con la que impactará contra la superficie de la Tierra. ¿Dependerá esa velocidad de la trayectoria que siga el meteorito?
Dato: RT = 6370 km.
Ejercicio 10: Lanzamiento Vertical y Altura Máxima
Se lanza verticalmente, desde la superficie de la Tierra, un objeto con una velocidad inicial de 5 km/s. ¿Hasta qué altura subirá, si se prescinde del rozamiento con el aire?
Dato: RT = 6370 km.
Ejercicio 11: Velocidad de Escape y Atmósfera Lunar
El radio de la Tierra es de 6400 km y el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie es de 9,8 m/s²; la masa de la Luna es 1/81 veces la de la Tierra y su radio 1/4 veces el radio terrestre. Con estos datos, determina la velocidad de escape desde la superficie de la Luna. Con el resultado obtenido, ¿se podría explicar la ausencia de atmósfera en la Luna?
Ejercicio 12: Salto de Altura en un Asteroide
En la Tierra, un saltador de altura alcanza los 2 m con un brinco que le comunica una velocidad inicial adecuada. Calcula el radio máximo que debe tener un asteroide esférico (de densidad igual a la terrestre), para que el saltador, al dar en el asteroide el mismo brinco que en la Tierra, salga despedido de este escapando de su acción gravitatoria.
Dato: Radio medio de la Tierra, R = 6,37 · 106 m.
Ejercicio 13: Alteración de la Velocidad Orbital
Un vehículo explorador recorre una órbita de radio r alrededor de un planeta. ¿Qué ocurre si accidentalmente se encienden los motores de forma que la velocidad lineal del vehículo se multiplica por √2?
Ejercicio 14: Parámetros Orbitales de un Satélite
Un satélite de 250 kg de masa está en órbita circular en torno a la Tierra a una altura de 500 km sobre su superficie. Calcula su velocidad y su periodo de revolución. ¿Cuál es la energía involucrada en el proceso de poner al satélite en órbita con esa velocidad?
Datos: Radio de la Tierra = 6380 km y g₀ = 9,8 m/s².
Ejercicio 15: Energía de Puesta en Órbita desde el Ecuador
Determina la energía necesaria para colocar en una órbita de radio r = 3 · RT a un satélite artificial de 65 kg de masa, lanzándolo desde un punto del ecuador terrestre y teniendo en cuenta el movimiento de rotación de la Tierra. ¿Cuál es el periodo del satélite?
Datos: RT = 6380 km y g₀ = 9,8 m/s².
Ejercicio 16: Maniobra de Cambio de Órbita
Un satélite artificial de comunicaciones, de 500 kg de masa, describe una órbita circular de 9000 km de radio en torno a la Tierra. En un momento dado, se decide variar el radio de su órbita, para lo cual enciende uno de los cohetes propulsores del satélite, comunicándole un impulso tangente a su trayectoria antigua. Si el radio de la nueva órbita descrita por el satélite es de 13000 km, calcula la velocidad del satélite en la nueva órbita y la energía involucrada en el proceso.
Datos: Radio de la Tierra = 6380 km y g₀ = 9,8 m/s².