Conceptos Clave de Inferencia Estadística: De la Muestra a la Población

Conceptos Fundamentales de Inferencia Estadística

La inferencia estadística es el proceso de deducir propiedades de una población a partir de una muestra. A continuación, se definen sus conceptos clave.

Modelo de Bernoulli: Representa un experimento aleatorio con dos únicos resultados posibles (éxito o fracaso). Se denota como B(1, p), donde p es la probabilidad de éxito.
Inferencia Estadística: Proceso de extensión de conclusiones obtenidas de una muestra a la población general de la que procede.
Población: Conjunto completo de elementos que son objeto de estudio.
Muestra: Subconjunto representativo extraído de la población.
Muestra Aleatoria Simple (m.a.s.): Conjunto de elementos seleccionados de una población que son independientes e idénticamente distribuidos (i.i.d.). La selección de un elemento no altera la probabilidad de seleccionar los siguientes.
Parámetro (θ): Valor numérico que describe una característica de una población (ej. la media poblacional μ).
Estadístico: Cualquier función de los valores de una muestra que no contiene parámetros poblacionales desconocidos. Su distribución de probabilidad se deriva de la distribución de la muestra.
Estimador: Un estadístico utilizado para estimar el valor de un parámetro poblacional desconocido. Es una variable aleatoria a priori (antes de tomar la muestra) y un valor numérico a posteriori (después de tomarla).
Estimador Suficiente: Aquel que resume toda la información relevante contenida en la muestra acerca del parámetro desconocido.
Estimador Robusto: Aquel que no se ve afectado, o se ve afectado débilmente, por pequeños cambios en las hipótesis sobre la distribución de la población.

Métodos de Estimación

Método de los Momentos (MM): Asigna como estimador de un parámetro poblacional su análogo muestral (ej. la media muestral como estimador de la media poblacional).
Método de Máxima Verosimilitud (MMV): Asigna como estimador de un parámetro poblacional aquel valor que maximiza la función de verosimilitud. Estos estimadores son asintóticamente insesgados, eficientes y consistentes.
Función de Verosimilitud: Mide la credibilidad que posee un determinado valor de un parámetro a la luz de la información contenida en la muestra.

Contraste de Hipótesis

El contraste de hipótesis es un procedimiento que permite decidir entre dos afirmaciones opuestas sobre una población basándose en la evidencia de una muestra.

Hipótesis Estadística: Conjetura sobre el valor de un parámetro poblacional desconocido (θ). Se clasifican en:

Hipótesis Simple: Especifica un único valor para el parámetro (ej. H₀: μ = 5).
Hipótesis Compuesta: Asigna un rango de valores al parámetro (ej. H₁: μ > 5).
Hipótesis Nula (H₀): Afirmación que se asume como cierta a menos que la evidencia muestral indique lo contrario.
Hipótesis Alternativa (H₁): Afirmación que se acepta si se rechaza la hipótesis nula.

Errores en el Contraste

Error de Tipo I (α): Ocurre cuando se rechaza la hipótesis nula (H₀) siendo esta verdadera.
Error de Tipo II (β): Ocurre cuando no se rechaza la hipótesis nula (H₀) siendo esta falsa.

Relaciones en la Estimación por Intervalos

Precisión y Longitud del Intervalo: A mayor longitud del intervalo de confianza, menor es la precisión de la estimación, y viceversa.
Nivel de Confianza y Precisión: Para un tamaño de muestra fijo, aumentar el nivel de confianza (ej. de 95% a 99%) implica un intervalo más ancho y, por tanto, una menor precisión.
Tamaño Muestral (n): Si aumenta el tamaño de la muestra, es posible:
- Aumentar el nivel de confianza manteniendo la misma precisión.
- Aumentar la precisión (intervalo más estrecho) manteniendo el mismo nivel de confianza.

Pruebas Estadísticas y Teoremas Clave

Pruebas de Bondad de Ajuste

Prueba de Kolmogorov-Smirnov: Compara la función de distribución empírica (de la muestra) con una teórica. Solo es válida para variables continuas y pierde potencia si los parámetros de la distribución teórica deben ser estimados a partir de la muestra.
Prueba de Shapiro-Wilks: Es una prueba específica para contrastar la normalidad de un conjunto de datos. El contraste es unilateral, rechazando la hipótesis de normalidad para valores pequeños del estadístico de prueba.
Prueba Chi-cuadrado (χ²): Se considera poco potente con tamaños muestrales pequeños, lo que significa que tiene una alta probabilidad de no rechazar una hipótesis nula falsa (Error de Tipo II).

Teoremas y Distribuciones

Teorema Central del Límite (TCL): Garantiza que, para una m.a.s. suficientemente grande, la distribución de la media muestral se aproxima a una distribución normal, sin importar la distribución original de la población.
Aproximación de Binomial a Poisson: Una distribución Binomial B(n, p) con n grande (n > 30) y p pequeña (p < 0,1) puede aproximarse por una Poisson de parámetro λ = np.
Aproximación de Binomial a Normal: Una distribución Binomial B(n, p) con n grande (cumpliendo np > 5 y n(1-p) > 5) puede aproximarse por una Normal N(μ = np, σ = √(np(1-p))).
Distribución F de Snedecor: Se define como el cociente de dos variables aleatorias Chi-cuadrado (χ²) independientes, divididas por sus respectivos grados de libertad. Se denota como F(m, n).

Preguntas y Respuestas sobre Inferencia

¿Por qué en inferencia se asume que los parámetros son desconocidos?

Porque generalmente es inviable o demasiado costoso estudiar a todos los elementos que componen la población.

¿Cuál es el objetivo fundamental de la inferencia estadística?

Caracterizar una población completa a partir del estudio de una muestra representativa extraída de ella.

¿Qué ventaja ofrece el muestreo aleatorio simple (m.a.s.) sobre un muestreo no probabilístico?

La capacidad de cuantificar la incertidumbre y medir la probabilidad de error a través del nivel de confianza y el margen de error.

¿Por qué el objetivo de un contraste es intentar rechazar la hipótesis nula?

Porque el procedimiento está diseñado para controlar y fijar de antemano la probabilidad de cometer un Error de Tipo I (α), es decir, la probabilidad de rechazar H₀ cuando es cierta.

¿Qué es el p-valor?

Es la probabilidad de obtener un resultado muestral al menos tan extremo como el observado, asumiendo que la hipótesis nula es cierta. Un p-valor pequeño indica que la evidencia muestral es poco compatible con H₀.

¿De qué depende el p-valor?

Depende de: a) la muestra observada, b) el estadístico de prueba utilizado, y c) la distribución de dicho estadístico bajo la hipótesis nula.

¿Qué ocurre cuando no se rechaza la hipótesis nula?

Significa que no hay suficiente evidencia estadística para rechazarla. En esta situación, se corre el riesgo de cometer un Error de Tipo II (β), cuya probabilidad generalmente es desconocida.

¿Cuál es el estimador de máxima verosimilitud de la varianza σ² en una población Normal?

La varianza muestral, calculada como S² = (1/n) * Σ(xᵢ – x̄)². Es importante notar que este estimador es sesgado, mientras que la cuasivarianza muestral (dividiendo por n-1) es insesgada.

¿Qué modelo de probabilidad describe la variable «número de empresas que crearán empleo de un total de n=20»?

Si se asume que cada empresa es un ensayo independiente con una probabilidad constante p de crear empleo, la variable sigue una distribución Binomial B(n, p).