Mecánica Relativista: Masa y Energía

La imposibilidad de superar la velocidad de la luz obliga a introducir modificaciones fundamentales en la mecánica clásica, especialmente en los conceptos de masa y energía.

Masa Relativista

Para que se cumpla la ley de conservación de la cantidad de movimiento ($p = m v = ext{cte.}$) en cualquier sistema de referencia, redefinimos la masa de la siguiente manera:

• $m$: Masa de la partícula a cierta velocidad (kg).
• $m_0$: Masa propia de la partícula (masa en reposo). Es la masa que se mide desde un sistema de referencia en el que la partícula está en reposo (kg).
• $v$: Velocidad de la partícula (m/s).
• $c$: Velocidad de la luz en el vacío ($3 \times 10^8$ m/s).

Cuando las velocidades ($v$) son cercanas a la velocidad de la luz ($c$), la masa aumenta hasta casi el infinito. Para mover una partícula con tanta masa, la fuerza requerida tendería a ser enorme, por lo que nunca se alcanza dicha velocidad.

Energía Relativista

Dado que la velocidad modifica la masa de un cuerpo, debemos modificar la fórmula clásica de la energía cinética. La energía total de una partícula se define mediante la siguiente expresión:

Energía en Reposo o Energía Propia ($E_{\text{reposo}}$)

$$E_{\text{reposo}} = m_0 c^2$$

Donde $m_0$ es la masa propia y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío.

Energía Relativista Total ($E$)

$$E = m c^2$$

Siendo $m$ la masa relativista. Por lo tanto, la energía cinética ($E_c$) de una partícula es la diferencia entre la energía total y la energía en reposo:

$$E_c = m c^2 – m_0 c^2 = \Delta m c^2$$

Cuando aumenta la velocidad del cuerpo, aumenta su energía cinética.

Principio de Conservación de la Masa y de la Energía

La expresión $E = m c^2$ relaciona la energía con la masa, lo cual ha sido comprobado experimentalmente en procesos como:

• La creación de partículas masivas a partir de fotones, que no tienen masa, pero sí energía.
• La transformación de masa en fotones en los procesos de fisión nuclear que tienen lugar en las estrellas.

El principio de conservación de la masa y energía, según la mecánica relativista, establece:

“La masa de un cuerpo puede transformarse en una cantidad equivalente de energía, y viceversa. La energía puede transformarse, en las condiciones adecuadas, en una cantidad equivalente de masa, según la ley de conservación: $\Delta E = \Delta m c^2$.”

El Efecto Fotoeléctrico

La teoría ondulatoria clásica predice que la emisión de electrones debería producirse siempre que la intensidad de la luz incidente sea suficiente. Sin embargo, se observa que la emisión de los fotoelectrones ocurre solo para frecuencias mayores a una determinada, llamada frecuencia umbral ($f_0$), característica de cada metal.

Interpretación de Einstein y Ecuación

Albert Einstein propuso en 1905 que la luz está constituida por una serie de partículas elementales, llamadas fotones, cuya masa en reposo es cero y carecen de carga eléctrica. La energía de estos fotones viene dada por la ecuación de Planck:

$$E = h f$$

Donde $f$ es la frecuencia de la luz incidente y $h$ es la constante de Planck, cuyo valor es $h = 6,626 \times 10^{-34}$ J·s.

Los electrones serán arrancados de la superficie del metal cuando se les proporcione la energía suficiente para liberarlos de la interacción del resto del átomo. A esta energía mínima se le llama trabajo de extracción ($W_0$) y está relacionada con la frecuencia umbral ($f_0$):

$$W_0 = h f_0$$

Por lo tanto, nos podemos encontrar con tres posibilidades:

1. Si la energía incidente es menor que la umbral ($E No se emiten electrones.
2. Si la energía de la radiación incidente es igual que la umbral ($E = W_0$): Se produce el efecto fotoeléctrico (emisión de electrones), pero estos no tienen velocidad.
3. Si la radiación incidente tiene mayor energía que la umbral ($E > W_0$): Los electrones emitidos tienen velocidad y, por lo tanto, energía cinética. La energía total se reparte: $E = W_0 + E_c$.

A mayor intensidad de radiación incidente, mayor número de fotones alcanzan el metal, pero todos con la misma energía asociada. Esto significa que se arrancan más electrones, pero sin variar la velocidad de estos. Además, no hay retraso entre el impacto de los fotones y la emisión de los electrones, ya que cada fotón tiene la energía necesaria para producir dicho efecto de manera individual.

Radiactividad y Emisiones Nucleares

Se sabe que la radiactividad tiene su origen en el núcleo atómico. La energía puesta en juego es mucho mayor que la que proviene de la excitación o desexcitación de los electrones. Estas emisiones radiactivas pueden adoptar varias formas:

Tipos de Radiación

Partículas Alfa ($\alpha$)

• Composición: Formadas por dos protones y dos neutrones (núcleos de helio-4) expulsados de núcleos mucho más complejos.
• Carga: $q = +2e = 3,2 \times 10^{-19}$ C.
• Masa: $6,64 \times 10^{-27}$ kg.
• Energía: Del orden de unos pocos MeV. Provienen de átomos con núcleos muy pesados e inestables.
• Poder de Penetración: Escaso. Son frenadas por unos centímetros de aire o una hoja de papel. Son muy ionizantes.

Partículas Beta ($\beta$)

• Composición: Son electrones ($\beta^-$) que provienen de la transformación de un neutrón en un protón, o positrones ($\beta^+$), que proceden de la transformación de un protón en un neutrón.
• Carga: $q = -e = -1,602 \times 10^{-19}$ C (para electrones) y $q = +e = 1,602 \times 10^{-19}$ C (para positrones).
• Masa: Es la de un electrón ($9,109 \times 10^{-31}$ kg).
• Energía: Suele ser una fracción de MeV.
• Poder de Penetración: Atraviesan varios metros de aire y necesitan, al menos, una lámina de papel de aluminio para ser detenidas. Son menos ionizantes que las partículas alfa.

Radiación Gamma ($\gamma$)

• Composición: Es un tipo de radiación electromagnética formada por fotones.
• Características: Su frecuencia es muy alta, mayor que los fotones del espectro visible y los rayos X. Son fotones muy energéticos que no transportan ni masa ni carga eléctrica.
• Origen: Provienen de procesos de desexcitación del núcleo atómico.
• Energía: Comprendida entre una fracción de MeV y unos pocos MeV.
• Poder de Penetración: Tienen gran poder penetrante y necesitan 1 metro de hormigón o 1 centímetro de plomo para ser detenidas. Ionizan de forma indirecta, ya que producen electrones muy energéticos en los átomos donde impactan.

Fisión Nuclear

Fisión Nuclear y Reacción en Cadena

La fisión nuclear se produce cuando un núcleo muy grande o masivo se divide en dos más pequeños, liberando en el proceso una gran cantidad de energía.

Este proceso se consiguió por primera vez en 1938 al observar que cuando el uranio-235 se bombardea con neutrones lentos (aproximadamente de 0,03 MeV de energía), se convierte en el núcleo inestable $^{236}\text{U}$, que inmediatamente se divide en dos fragmentos de números atómicos comprendidos entre 30 y 63, liberándose energía y nuevos neutrones.

En estas reacciones nucleares, la energía liberada es de 200 MeV por núcleo, una cantidad millones de veces superior a la energía liberada en una combustión con masas similares.

Posteriormente, se comprobó que isótopos de otros núcleos como el torio, plutonio y protactinio eran fisionables utilizando electrones.

Los neutrones liberados en la reacción del uranio provocan una reacción en cadena que finalmente libera una gran cantidad de energía. Esta reacción en cadena tiene dos aplicaciones principales:

• Aplicaciones pacíficas: Producción de energía eléctrica en las centrales nucleares (fisión nuclear controlada).
• Aplicaciones militares: Fabricación de la bomba atómica (fisión nuclear no controlada).